Упорядоченные множества
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
? отношения ? обеспечивают f = g. Слабая ассоциативность доказана.
Проверим катенарность S.
Пусть ав вс , обозначим ав = х , вс = y, отсюда х ? в, у ? в, т.е.
в общая верхняя грань х и у. Т.к. ЧУМ S категорийно, то существует inf{х,у}, т.е. существует в S ху. Обозначим ху = z, покажем ,что
а(вс) = хс = z. Имеем z ? x, z ? y (т.к. z = inf{х,у}), y ? z z ? x, z ? c,
z нижняя грань для х и с.
Обеспечим точность.
Пусть t ? x , t ? c ( t какая либо нижняя грань ), т.к. t ? x , то t ? a, t ? в, по условию t ? с, т. е. t общая нижняя грань для в и с. Отсюда следует по определению у , t ? y.
Итак, t ? x, t ? у следовательно t ? z (по определению z).
Катенарность доказана.
Теорема 2.
Если (S ; ) катенарный идемпотентный коммутативный слабо ассоциативный частичный группоид, то отношение
? = { (а,в) SS | ав = а} (2)
Является отношением порядка. При этом ЧУМ является катенарным.
Доказательство:
Докажем рефлексивность отношения ? . Т.к. частичный группоид S идемпотентен , то aa = a отсюда , по определению (2) а ? а.
Проверим антисимметричность.
Если а ? в , в ? а ,то ав = а, ва = в, левые части равны в виду коммутативности , значит равны и правые, следовательно а = в.
Осталось доказать транзитивность.
Пусть а ? в , в ? с, тогда ав = а, вс = в, ас = (ав)с. В силу катенарности имеем (ав)с , а(вс) , отсюда в силу слабой ассоциативности
(ав)с = а(вс), а поэтому, ас = а(вс) = ав = а.
Итак, ас = а, т.е. а ? с.
Т.о. имеем ЧУМ .
Проверим категоричность ЧУМ.
Пусть z общая верхняя грань для х и у. Следовательно, х ? z, y ? z , отсюда хz = x, yz = y, тогда zy = y. В силу катенарности (xy)z xy .
Обозначим ху =s, докажем , что s точная нижняя грань .
Имеем sx = (xy)x = x(xy) = (xx)y = xy = s (в виду катенарности и слабой ассоциативности), следовательно, s ? x, т.е. s общая нижняя грань.
Из этих теорем вытекают известные в теории полурешеток два следствия.
Следствие 1.
Если - идемпотентная коммутативная полугруппа, то отношение ? , определенное равенством (2), является частичным порядком. При этом для любых двух элементов в S существует точная нижняя грань.
Следствие 2.
Если - частично упорядоченное множество, в котором любых двух элементов существует точная нижняя грань, то относительно операции
ав = inf{a,в} (3)
множество S является идемпотентной коммутативной полугруппой.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В заключении можно отметить, что теорию упорядоченных множеств создал Г. Кантор. В 1883 он ввёл понятие вполне упорядоченного множества и порядкового числа, а в 1895 понятие упорядоченного множества и порядкового типа. В 190607 С. О. Шатуновский сформулировал определения направленного множества (у Шатуновского расположенный комплекс) и предела по направленному множеству (амер. математиками Э. Г. Муром и Г. Л. Смитом эти же понятия были рассмотрены независимо от Шатуновского, но значительно позднее в 1922). Общее понятие частично упорядоченного множества принадлежит Ф. Хаусдорфу (1914).
Таким образом, теория частичных алгебраических действий, будучи продолжением теории полных действий, пользуясь ее достижениями, связанная с ней идеями и опытом приложений за пределами алгебры, все же должна оформиться как самостоятельное направление в обширной области современной алгебры.
К настоящему времени опубликованы сотни работ, специально посвященных изучению частичных действий. Что касается работ, в которых те или иные частичные действия встречаются по ходу исследования, то число их не поддается оценке. О частичных действиях говорится и в некоторых общих алгебраических трудах, но всегда очень кратко.
Список литературы
- А.К. Клифорд, Г. Престон. Алгебраическая теория полугрупп. 1972.
- Грейцер. Общая теория решеток.Москва.-284с.
- Кожевников О.Б. Частично упорядоченные множества частичных группоидов.Москва,1998. 680с.
- Е.С. Ляпин. Полугруппы. Москва: физмат, 1960.- 354с.
- Ляпин Е.С. Алгебра и теория чисел. Москва, 1980.-589с.