Упорядоченные множества
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
которая функция из SS > S.
Можно сказать, что на S задано частичное действие (частичное умножение), если для любых элементов а,в S произведение ав либо не определено, либо определено однозначно. Попросту говоря, здесь не любые элементы перемножены.
Множество S с заданным в нем частичным умножением называется частичным группоидом и обозначается (S ; ) в отличие от полного группоида .
Если для полного группоида можно говорить о таблице Кэли, то для частичного группоида можно говорить о некотором аналоге таблицы Кэли, а именно о такой таблице, когда некоторые клетки пусты это в том случае, когда произведение элементов неопределенно.
Пример 1.
aвсаaвсв-в-сва-
ав= в, но ва не определено, т.е. ва = . Символ тАЬ тАЬ не принадлежит S , т.е. не является элементом из S.
Пример 2.
Рассмотрим ЧУМ (S ; ? ).
S = {a,в,c,d}, где а ? а, в ? в, с ? с, d ? d, с ? а, с ? в, d ? а, d ? в.
В произвольном ЧУМе (S ; ? ) условимся обозначать:
ав = inf{a,в}.
Тогда указанное в примере ЧУМ относительно этого частичного действия , является частичным группоидом (S ; ), таблицей Кэли которого является следующая
^авсdaa-cdв-всdсccc-ddd-d
В этом параграфе мы рассмотрим три вида ассоциативности: сильная ассоциативность, средняя ассоциативность, слабая ассоциативность.
Определение 1.
Частичный группоид (S ; ) называется слабо ассоциативным, если
(х,y,zS) (xy)z x(yz) > (xy)z = x(yz) (*)
Определение 2.
Частичный группоид (S ; ) называется средне ассоциативным, если
(х,y,zS) (xy)z yz > (xy)z = x(yz)
Определение 3.
Частичный группоид (S ; ) называется сильно ассоциативным, если
(х,y,zS) [(xy)z x(yz) > (xy)z = x(yz)] (*)
В сильно ассоциативном частичном группоиде выполняется свойства средней и слабой ассоциативности. Однако обратное отнюдь не обязательно.
Пример 3.
Дано А = {a,в,с}. Зададим на А частичное действие умножение тАЬ частичной таблицей КэлитАЭ.
aвса---вс--с-вс
Получим некоторый частичный группоид. Проверим будет ли группоид сильно ассоциативным.
Пусть (xy)z т.к. х а, то либо х = с х = в
1) пусть х = с, тогда у = в у = с
а) пусть у = в, тогда z = a
(св)а с(ва) определено
(св)а = с(ва) равенство выполняется
б) пусть у = с, тогда z = в z = с
а) если z = в , тогда
(сс)в с(св) определено
(сс)в = с(св) равенство выполняется
б) если z = с, тогда
(сс)с с(сс) определено
(сс)с = с(сс) равенство выполняется
2) пусть х = в, тогда у = а , а z = в z = c
а) если у = а и z = в
(ва)в = в(ав) не определено
(ва)в в(ав) равенство не выполняется
б) пусть у = а и z = с
(ва)с = в(ас) не определено
(ва)с в(ас) равенство не выполняется
Итак, по определению, частичный группоид не является сильно ассоциативным . Но это еще не означает, что (S ; ) не является слабо ассоциативным.
Выясним это.
Пусть (xy)z x(yz) .
При х а, у а, а именно, когда
х = в х = с
у = в у = с
этот частичный группоид является слабо ассоциативным.
Пример 4.
Пусть А = {a, в,с}, можно задать на А следующую таблицу Кэли. Получим некоторый частичный группоид. Проверим будет ли этот группоид средне ассоциативным.
aвсаса-всаа-
Пусть (xy)z т.к. х в, тогда х = а х = с
1) пусть х = а, тогда у = а у = в
а) пусть у = а, тогда z = a, z = в
а) если z = а , тогда
(аа)а аa определено
(аа)а а(аa) равенство не выполняется
б) если z = в, тогда
(аа)в ав определено
(аа)в а(ав) равенство не выполняется
Отсюда, мы видим, что группоид не является средне ассоциативным. Выясним является ли он слабо ассоциативный.
Пусть (xy)z x(yz) , т.к. х в, тогда х = а х = с
1) пусть х = а, тогда у = а у = в
а) пусть у = а, тогда z = a, z = в