Трансформация преобразований
Курсовой проект - Педагогика
Другие курсовые по предмету Педагогика
?ставляет собой трансформация сдвига гомотетией , для этого возьмем произвольную точку А и найдем ее образ при данной трансформации (рис. 8).
Точка А при гомотетии перейдет в точку А1, которая при сдвиге перейдет в точку А2 такую, что А1А2|| q, . Точка А2 при гомотетии перейдет в точку А3. Заметим, что прямая инвариантная прямая всей трансформации (по теореме о неподвижных прямых). Из точки А1 проведем перпендикуляр на прямую q А1В1, а из точки А на прямую q1 АВ. Тогда АВ образ отрезка А1В1 при гомотетии , также АА3 образ отрезка А1А2 при гомотетии , значит, и АА3||А1А2||q||q1, (потому что при гомотетии прямая переходит в параллельную ей прямую), следовательно, и АА3||q1. Мы получили, что при этой трансформации точка А смещается параллельно прямой q1 на расстояние, пропорциональное ее расстоянию от прямой q1: . Следовательно, в силу произвольности точки А, искомая трансформация есть сдвиг с осью и коэффициентом m.
14. Трансформация аффинного преобразования движением
14.1. Трансформация произвольного аффинного преобразования движением
14.1.1. Трансформация аффинного преобразования параллельным переносом
Данную трансформацию рассмотрим в пространстве. Пусть параллельный перенос задан вектором , (a, b, c). Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z), найдем ее образ при преобразовании . При параллельном переносе точка М переходит в точку М1(x-a, y-b, z-c). Далее, при аффинном преобразовании g точка М1 переходит в точку М2(a1x + b1y + + c1z - aa1 - bb1 - cc1 + d1, a2x + b2y + c2z - aa2 - bb2 - cc2 + + d2, a3x + b3y + c3z - aa3 - bb3 - cc3 + d3). M2 при параллельном переносе переходит в М3(a1x+b1y+ c1z - aa1 - bb1 - cc1 + d1 + a, a2x + b2y + c2z - aa2 - bb2 - cc2 + d2 + + b, a3x + b3y + c3z - aa3 - bb3 - cc3 + d3 + c) (п. 13). Тогда - аффинное преобразование, аналитически оно задается следующим образом.
(36)
Мы получили, что
,(37)
где (- aa1 - bb1 - cc1 + d1 + a, - aa2 - bb2 - cc2 + d2 + b, - aa3 - bb3 - cc3 + d3 + c).
14.1.2. Трансформация аффинного преобразования центральной симметрией
Рассмотрим центральную симметрию ZO в пространстве, выберем систему координат таким образом, чтобы центр симметрии О совпал с началом координат, тогда О(0, 0, 0). Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z), найдем ее образ при преобразовании . Т.к. центральная симметрия инволютивна, то . При центральной симметрии ZO точка М переходит в точку М1(-x, -y, -z). Далее, при аффинном преобразовании g точка М1 переходит в точку М2(-a1x - b1y - c1z + d1, -a2x - b2y - c2z + d2, -a3x - b3y - c3z + d3) (п. 13). M2 при центральной симметрии ZO переходит в М3(a1x + b1y + c1z - d1, a2x + b2y + c2z - d2, a3x + b3y + c3z - d3). Тогда - аффинное преобразование, аналитически оно задается следующим образом.
(38)
Мы получили, что
,(39)
где (-2d1, -2d2, -2d3).
14.1.3. Трансформация аффинного преобразования осевой симметрией
Рассмотрим осевую симметрию Sl в пространстве, выберем систему координат таким образом, чтобы ось симметрии l совпала с осью OZ, тогда Sl будет задаваться следующим образом. Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z), найдем ее образ при преобразовании . Т.к. осевая симметрия инволютивна, то . При осевой симметрии Sl точка М переходит в точку М1(-x, -y, z). Далее, при аффинном преобразовании g точка М1 переходит в точку М2(-a1x - b1y + c1z + d1, -a2x - b2y + c2z + d2, -a3x - b3y + c3z + d3) (п. 13). M2 при осевой симметрии Sl переходит в М3(a1x + b1y - c1z - d1, a2x + b2y - c2z - d2, a3x+ b3y - c3z - d3). Тогда - аффинное преобразование, аналитически оно задается следующим образом.
(40)
14.1.4. Трансформация аффинного преобразования зеркальной симметрией
Рассмотрим зеркальную симметрию S? преобразование постраноства, выберем систему координат таким образом, чтобы плоскость симметрии ? совпала с плоскостью XOY, тогда S? будет задаваться следующим образом. Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z), найдем ее образ при преобразовании . Т.к. зеркальная симметрия инволютивна, то . При зеркальной симметрии S? точка М переходит в точку М1(x, y, -z). Далее, при аффинном преобразовании g точка М1 переходит в точку М2(a1x + b1y - c1z + d1, a2x + b2y - c2z + d2, a3x + b3y - c3z + d3) (п. 13). M2 при зеркальной симметрии S? переходит в М3(a1x + b1y - c1z + d1, a2x + b2y - c2z + d2, -a3x - b3y + c3z - d3). Тогда - аффинное преобразов