Geum.ru

Топологические пространства

Курсовой проект - Педагогика

Другие курсовые по предмету Педагогика

1. Топологические пространства

(предварительные сведения)

  1. Непрерывные отображения топологических

пространств

Пусть Х и Y топологические пространства.

Определение 1. Отображение f: Х>Y называется непрерывным, если у всякого множества О, открытого в пространстве Y, полный прообраз f1(О) открыт в пространстве Х.

Замечание 1. Для любого подмножества А пространства Y и отображения f: X>Y справедливо следующее равенство:

(1).

Теорема 1.1. Отображение f: X>Y является непрерывным тогда и только тогда, когда у всякого множества F, замкнутого в Y, полный прообраз f1(F) замкнут в Х.

Доказательство. Необходимость. Пусть отображение f: X>Y является непрерывным, т.е. для любого множества О, открытого в Y, прообраз f1(O) открыт в Х, и пусть F произвольное замкнутое в Y множество. Тогда множество CF открыто в Y, и множество открыто в Х, в силу непрерывности отображения f и равенства (1). Следовательно, множество f1(F) замкнуто в Х.

Достаточность. Пусть для любого множества F, замкнутого в Y, полный прообраз f1(F) замкнут в Х. Рассмотрим произвольное открытое в Y множество О. Тогда множество CO будет замкнутым в Y. Поэтому замкнутое в Х множество. Следовательно, множество открыто в Х. Таким образом, для любого множества О, открытого в Y, полный прообраз открыт в Х и отображение f: X>Y непрерывное по определению.

 

1.2. Связность топологических пространств

Определение 4. Топологическое пространство Х называется несвязным, если его можно разбить на два непустых непересекающихся открытых множества:

Х = О1 О2.

Определение 5. Пространство Х называется связным, если такого разбиения не существует.

Заметим, что если несвязное пространство Х разбито на два непустых открытых множества О1 и О2, не имеющих общих точек, то О1=CO2 и O2=CO1. Поэтому можно дать другое определение связного пространства:

Определение 6. Топологическое пространство Х называется связным, если в нём одновременно открытым и замкнутым множеством является лишь само пространство или пустое множество.

Определение 7. Множество Н в топологическом пространстве Х называется связным, если оно является связным пространством относительно индуцированной топологии.

Теорема 1.2. Для топологического пространства Х следующие условия эквивалентны:

  1. существуют непустые открытые множества О1 и О2, для которых О1?О2= и О1

    О2=Х;

  2. существуют непустые замкнутые множества F1 и F2, для которых F1?F2= и F1

    F2=Х;

  3. в Х существует нетривиальное открыто-замкнутое множество G;
  4. существует непрерывная сюръективная функция ?: Х {1, 2}.
    5. Доказательство. Из (1) следует (2). Пусть О1 и О2 непустые открытые множества, для которых О1?О2= и О1

    О2=Х. Рассмотрим множества F1=СО1 и F2=СО2. Они являются непустыми замкнутыми множествами, причём F1?F2= и F1F2=Х.

    Из (2) следует (3). Пусть F1 и F2 непустые замкнутые множества, для которых F1?F2= и F1F2=Х. Рассмотрим множество G=F1Х. Множество F1 замкнутое по условию и открытое, как дополнение до замкнутого множества F2 (F1=CF2). Поэтому множество G=F1 является нетривиальным открыто-замкнутым множеством в Х.

Из (3) следует (4). Пусть G нетривиальное открыто-замкнутое множество в Х. Тогда множество Q=CG тоже нетривиальное открыто-замкнутое в Х.

Рассмотрим функцию ?: Х {1, 2}, при которой

?(х) =

Функция ? является непрерывной и сюръективной, т.к. для любых элементов 1 и 2 множества {1, 2} прообразы их соответственно равны множествам G и Q, открытым в Х.

Из (4) следует (1). Пусть ?: Х {1, 2} непрерывная сюръективная функция и пусть множество M={1, 2}, т.е. ?(Х)=М. Множества A ={1} и B={2} непустые, непересекающиеся открытые в М и . Функция ? сюръективная, поэтому справедливо следующее равенство:

Х=?1(М)=?1(АВ)=?1(А)?1(В),

причём ?1(А) и ?1(В) непустые непересекающиеся множества. В силу того, что функция ? непрерывная, множества О1=?1(А) и О2=?1(В) непустые, непересекающиеся открытые в Х и Х=О1О2.

Теорема 1.3. Пусть в топологическом пространстве Х даны два дизъюнктных замкнутых множества F1 и F2 и непустое связное множество М, содержащееся в объединении F1F2. Тогда М содержится только в одном из множеств, входящих в объединение, т.е. либо в F1, либо в F2.

Доказательство. Пусть F1 и F2 дизъюнктные замкнутые в Х множества и непустое связное множество МF1F2. Тогда

М=(М?F1)(M?F2).

Так как множества F1 и F2 замкнутые в Х, то множества М?F1 и M?F2 замкнутые в М. Но множество М связно, т.е. его нельзя разбить на два непустых непересекающихся замкнутых множества, поэтому одно из множеств, например M?F2, пустое. Тогда

М=М?F1F1.

Аналогично доказывается

Теорема 1.4