Течение вязкой жидкости в канале прямоугольной формы
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
Министерство образования и науки Российской Федерации
Новокузнецкий филиал-институт
Кемеровского государственного университета
Кафедра математики и математического моделирования
Курсовая работа
по дисциплине: Математическое моделирование в естествознании и методы их исследования
на тему: Течение вязкой жидкости в канале прямоугольной формы
Выполнил:
студент группы ПМИ-071
Черная Ю.А.
Проверил:
преподаватель кафедры МиММ
Седова Е.А.
Новокузнецк, 2011
Содержание
1. Введение
. Постановка задачи
. Решение
. Заключение
. Список литературы
1. Введение
вязкая жидкость канал прямоугольный уравнение
Идеальная жидкость, т. е. жидкость без внутреннего трения, является абстракцией. Всем реальным жидкостям и газам в большей или меньшей степени присуще внутреннее трение, называемое также вязкостью. Вязкость проявляется, в частности, в том, что возникшее в жидкости или газе движение, после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается. Сопротивление жидкости к изменению формы характеризуют динамической вязкостью (внутренним трением). Сила внутреннего трения в жидкости ? на единицу площади, определяют по закону Ньютона:
, (1)
где - градиент скорости в направлении перпендикулярном течению, абсолютная и динамичная вязкость жидкости. Кинематическая вязкость - отношение динамической вязкости к плотности: . Одной из целей расчёта течения является нахождение поля давлений в зависимости от координат и времени. В вязкой жидкости в каждой точке геометрической области существует три компоненты давления, для несжимаемой жидкости:
(2)
Среднее давление находится в результате решения системы Навье-Стокса.
Движение жидкости в канале называется безнапорным движением. Особенностью его является наличие свободной поверхности с одинаковым давлением по всей ее длине. С точки зрения гидравлики безнапорные потоки можно разделить на установившиеся потоки с равномерным движением жидкости и неустановившиеся потоки, часто называемые быстротоками.
Русла подразделяют по параметрам, определяющим изменение площади сечения по длине потока, на непризматические и призматические (и цилиндрические). У непризматических русел, форма и (или) геометрические размеры поперечного профиля меняются по длине русла. Поэтому площадь сечения потока является функцией длины русла и функцией глубины потока вдоль русла. В таком русле движение неравномерное. В призматических руслах форма и размеры элементов поперечного профиля по длине сохраняются неизменными. Площадь живого сечения потока может изменяться только в связи с изменением глубины потока. По форме профиля поперечного сечения русла могут быть правильной и неправильной формы. Призматические русла имеют правильную форму. Они могут быть прямоугольные, треугольные, трапецеидальные. В нашем случае русло прямоугольной формы. Для решения системы дифференциальных уравнений (уравнения движения жидкости и уравнение неразрывности) необходимо задать начальные и граничные условия. Начальные условия задают поле скоростей и давлений в жидкости в начальный момент времени. Граничные условия бывают двух типов: кинематические (условия для скорости на границах жидкости) и динамические (связанные с давлением).
2. Постановка задачи
Составить краевую задачу, включающую кинематические соотношения, уравнения движения, определяющие соотношения и решить ее.
Будем рассматривать установившееся движение вязкой и несжимаемой жидкости. Пусть в расчетной области течения D, ограниченной свободной поверхностью С1 и твердыми стенками С2, С3, С4 решается уравнение Лапласа. Ширина канала l, высота h. Предположим что жидкость вязкая, несжимаемая. Течение стационарное, установившееся, не турбулентное.
Рис. 1. Течение вязкой жидкости в канале прямоугольной формы
3. Решение
Общая задача гидродинамики сводится к решению совместной системы из четырёх дифференциальных уравнений Навье-Стокса:
(3)
Система уравнений складывается из уравнений движения по трём направлениям и уравнения неразрывности (вязкости). Раз жидкость не сжимаема то . Так как движение установившееся:
. (4)
Тогда, задача (3) примет вид:
(5)
Так как движение жидкости безвихревое, траектории движения всех частиц будут строго прямолинейными и параллельными между собой, а значит, компоненты скорости: v=0, w=0.
К уравнениям движения добавим граничные условия: на свободной поверхности выполняется кинематическое и динамическое условие. В итоге получаем систему дифференциальных уравнений с граничными условиями:
(6)
Так как движение прямолинейное и параллельное то единственная проекция вектора скорости u будет оставаться постоянной и может изменяться только в поперечном к траекториям направлении:
(7)
, так как в нашем случае синус равен единице то все силы по направлениям приравниваются к ускорению свободного падения.
Представим давление в виде суммы двух составляющих статической и динамической:
.(8)
Статическое давление определяется из уравнения равновесия:
.(9)