Течение вязкой жидкости в канале прямоугольной формы
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
Используя выражение для кинематического коэффициента вязкости:
,(10)
подставив в нашу систему полное давление, получим:
(11)
Легко догадаться, что динамическое давление не будет зависеть от y и z. Левая часть уравнения зависит только от x, значит, левые и правые части должны быть равны одной и той же величине:
. (12)
Это означает, что перепад давления на единицу длины в направлении движения постоянен. Таким образом, наша задача сводится к решению дифференциального уравнения Пуассона:
,(13)
где правая часть есть постоянная величина, границы, вдоль которых течёт вода, не деформируются и остаются не подвижными, что удовлетворяет условию прямолинейного параллельного движения. Используя условие прилипания, мы сводим нашу задачу к задаче Пуассона при нужных нам граничных условиях. Так как правая часть остаётся постоянной, то уравнение сводится к уравнению Лапласа заменой:
.(14)
При такой замене рассматриваемая задача о прямолинейном параллельном движении вязкой жидкости внутри канала прямоугольной формы, будет сводиться к решению уравнения Лапласа для функции :
(15)
при граничных условиях на неподвижных стенках:
(16)
на свободной границе:
(U=const)(17)
С помощью известного из математической физики метода Фурье, получим решение полученной системы. Данный метод широко применяется для решения уравнений математической физики. Его суть заключается в том, что мы функцию из уравнения (15) представляем в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:
(18)
Подставляем данную замену в уравнение (15) и разделим переменные:
(19)
Разделим переменные:
В (19) левая часть зависит только от y, а правая - только от z равенство между ними возможно, только если обе части
(знак при выбран для удобства) (20)
Отсюда: (21)
Полученная пара уравнений может быть решена стандартным способом. Дополним уравнения условиями (16) и (17).
Требуется указать такие и такую , тождественно не равную нулю, чтобы (6) имело решение.
Рассмотрим три случая для :
. ищем решение в виде: , где С - const,
= -(находится из граничных условий) , а по условию: , не подходит
. =0 (аналогично получаем, что не подходит)
. характеристическое уравнение имеет два корня: , решение имеет вид: . Подставив граничные условия (16) и (17), получаем что , а решение примет вид:
.(22)
Решим уравнение системы (21) относительно z, с уже найденным :
,(23)
где , - произвольные постоянные.
Тогда, решение уравнение Лапласа имеет вид:
.(18)
Подставив полученное решение в уравнение (14) получим искомое значение давления:
. (20)
4. Заключение
Когда речь заходит о построении математической модели какого-либо явления, принадлежащего к физике, социологии, экономике или другой области знаний, встаёт вопрос о правильном построении системы дифференциальных уравнений и её решения, исходя из начальных или граничных условий.
Современную физику невозможно представить без математики, и с появлением новых областей исследования, новых теорий, встаёт необходимость в пополнении математической базы, исследовании новых методов. Многие задачи современной физики могут быть решены только с помощью численных методов. В интенсивном взаимодействии теоретической физики и современной математики создаются качественно новые классы моделей современной математической физики.
В данной работе представлен аналитический метод решения стационарного уравнения Навье-Стокса в трехмерной геометрии. Решение получено для несжимаемой жидкости. Решение нелинейных уравнений ищется методом последовательных приближений. Метод последовательных приближений позволяет свести задачу к решению последовательности систем линейных дифференциальных уравнений для неизвестной функции с учетом нелинейной части, в которую входят известные функции. Затем используется преобразование Лапласа для временной переменной и преобразование Фурье - для пространственных переменных.
5. Список использованной литературы:
1.Сборник задач по уравнениям математической физики \ Под ред. В. С. Владимирова. - М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 288 с.
.Динамика вязкой не сжимаемой жидкости \ Слёзкин Н.А. -М.:1955.- 519с.
.КМГЭ для решения плоских задач Гидродинамики \ Учебное пособие \ К.Е. Афанасьев, С.В. Стуколов -Кемерово:2001.