Теорія і практика обчислення визначників
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
є 1. Тоді C = 1/24. У такий спосіб:
det А = (x 2)(x 6)(x 12)(x 20).
Задача 3. Обчислити визначник: .
Рішення. Зрозуміло, що вихідний визначник можна одержати, якщо до всіх елементів визначника додати х = 4. Тоді скористаємося методом зміни елементів визначника (властивість 13). Одержуємо:
.
Визначник діагонального вигляду дорівнює добуткові діагональних елементів (5! = 120). Алгебраїчні доповнення дорівнюють: А11 = 5! = 120;
А22 = 3.4.5 = 60; А33 = 2.4.5 = 40; А44 = 2.3.5 = 30 і А55 = 2.3.4 = 24.
Решта Аij = 0. Одержуємо: det А = 120 + 4(120 + 60 + 40 + 30 + 24) = 120 + 4.274 = 1216.
Задача 4. Обчислити визначник n-го порядку .
Рішення. Розкриємо визначник за елементами 1-го рядка:
,
а останній визначник розкриємо за елементами 1-го стовпця. Одержуємо:
n = 5n 1 4n 2. (*)
Записане співвідношення називається рекурентним співвідношенням і дозволяє виразити n через такі ж визначники більш низького порядку.
З (*) одержуємо:
- n n 1 = 4(n 1 n 2) = 42(n 2 n 3) = … = 4n 2 (2 1) =
= 4n 2 (21 5) = 4n .
- n 4n 1 = n 1 4n 2 = n 2 4n 3 = … = 2 41 = 21 4.5 = 1.
Маємо систему рівнянь: . Віднімаючи з 1-го рівняння 2-е, одержуємо: 3n 1 = 4n 1. У такий спосіб: .
4. Задачі і вправи для самостійного розвязування
- Визначити число безладів у перестановках (за вихідне розташування завжди, якщо немає особливих вказівок, приймається розташування 1, 2, 3, ... у зростаючому порядку):
а) 2, 1, 5, 4, 3; б) 6, 3, 2, 5, 1, 4; в) 7, 5, 6, 4, 1, 3, 2;
г) 2, 1, 7, 9, 8, 6, 3, 5, 4; д) 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.
а) 4; б) 10; в) 18; г) 18; д) 36. ^
- Зясувати, які з наведених нижче добутків входять у визначники відповідних порядків і, якщо входять, то з яким знаком:
а) а43а21а35а12а54; б) а13а24а23а41а55;
в) а61а23а45а36а12а54; г) а32а43а14а51а66а25;
д) а27а36а51а74а25а43а62; е) а33а16а72а27а55а61а44;
ж) а12а23а34 …аn1 n а25аkk (1 k n); з) а12а23а34 …аn-1nаn1n.
а) ; б) не входить у визначник; в) +; г) +; д) не входить у визначник; е) +; ж) не входить у визначник; з) (1)n. ^
- Вибрати значення i і k так, щоб наступні добутки входили у визначники відповідного порядку із зазначеним знаком:
а) а1iа32а4kа25а53 з + ; б) а62аi5а33аk4а46а21 з ;
в) а47а63а1iа55а7kа24а31 з + .
а) i = 1, k = 4; б) i = 5, k = 1; в) i = 6, k = 2. ^
- Користуючись тільки визначенням, знайти члени визначників, які мають у собі множники х4 і х3:
а) ; б) .
а) 2х4, х3; б) 10х4, 5х3. ^
- Знайти члени визначника 4-го порядку а) що містять елемент а32 і входять у визначник зі знаком + ; б) що містять елемент а23 і входять у визначник зі знаком .
а) а11а24а32а43, а13а21а32а44, а14а23а32а41; б) а11а23а32а44, а12а23а34а41, а14а23а31а42. ^
- Виписати всі члени визначника 5-го порядку, що мають вигляд
. Що вийде, якщо з їхньої суми винести а14а23 за дужки?
- Як зміниться визначник n-го порядку, якщо всі його стовпці записати в зворотному порядку? Визначник помножиться на (1)(n(n1))/2. ^
- Не розкриваючи визначників, довести, що:
. ^
а) ;
б) ;
в) ;
г) ; д) .
а) властивості 7, 3; б) властивості 7, 3, 5; в) властивості 7, 3, 5; г) властивість 5;
д) властивість 5. ^
- Знайти мінори елементів а13, а24, а43 визначника
.
- Знайти алгебраїчне доповнення елементів а14, а23, а42 визначника
М13 = 24; М24 = 126; М43 = 52. ^
.
А14 = 8; А23 = 0; А42 = 12. ^
- Обчислити визначник, розкриваючи його по 3-му рядку
.
- Обчислити визначник, розкриваючи його по 2-му стовпцю:
.
- Обчислити наступні визначники, знижуючи їхній порядок за допомогою розкладання за елементами деякого рядка або стовпця:
8a + 15b + 12c 19d. ^
5a 5b 5c + 5d. ^
а) ; б) ; в) .
а) abcd; б) abcd; в) xyzuv. ^
- Обчислити наступні визначники 3-го порядку:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
а) 0; б) 6; в) 0; г) 2; д) 27; е) 27. ^
- Обчислити наступні визначники 3-го порядку:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
а) 7; б) 0; в) 1; г) 4; д) 40; е) 3. ^
- Обчислити наступні визначники 3-го порядку:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
а) 100; б) 5; в) 1; г) 2; д) 4; е) 8. ^
- Обчислити наступні визначники 3-го порядку:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ;
е) .
а) (1 3)2; б) abc + x(ab + bc + ac); в) 0; г) 2(x3 + y3); д) 0; е) 0. ^
- Обчислити наступні визначники 4-го порядку:
а) ; б) ; в) ; г) .
а) 7; б) 0; в) 1; г) 18. ^
- Обчислити наступні визначники 4-го порядку:
а) ; б) ; в) ; г) .
а) 1; б) 5; в) 0; г) 3. ^
- Обчислити наступні визначники 4-го порядку:
а) ; б) ;
в) ; г) .
а) 1; б) 48; в) 1; г) . ^
- Обчислити визначники 4-го порядку:
а) ; б) ; в) ; г) .
а) 8; б) 9; в) 6; г) 10. ^
- Обчислити визначники 5-го порядку:
а) ; б) . а) 52; б) 5. ^
- Зведенням до трикутного вигляду обчислити визначники:
а) ; б) ;
в) ; г) .
а) n!; б) 2n + 1; в) хn(а0 + а1 + … + аn); г) . ^
- Обчислити визначники методом виділення лінійних множників:
а) ; б) ;
в) ; г) .
а) (х 1)(х 2)…(х n +1); б) (x a b c)(x a + b + c)(x + a b + c)(x + a + b c);
в) (х2 1)(х2 4); г) x2z2, вказівка: визначник не зміниться, якщо 1-й стовпець поміняти місцями з 2-м стовпцем і одночасно 1-й рядок із 2-м рядком; при х = 0 визначник дорівнює 0, аналогічно по z. ^
- Розвязати рівняння:
а) ; б) ;
в) ; г) (х R).
а) хi = ai, i = 1, 2, … , n 1; б) хi = ai, i = 1, 2, … , n; в) х = 0, 1, 2, … , n 1; г) x = 1. ^
- Використовуючи метод рекурентних співвідношень, обчислити визначники: а)
; б) ; в) .
- Обчислити визначники методом представлення їх у вигляді суми визначників:
а) ; б) 2n + 1 1; в) . ^
а) ; б) .
? а) хn + (а1 + а2 + … + аn)хn 1; б) вказівка: xi (xi a