Теория вероятности решение задач по теории вероятности
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
»яется серединой (кроме того случая, когда брошенная наудачу точка попадет в центр круга. Но поскольку вероятность этого события равна нулю, то учет или неучет такого события не влияет на итоговую вероятность). Можно поэтому выбирать наудачу хорду, бросая наудачу точку (середину хорды) в круг. Здесь ? круг радиуса 1, ?(?) = ?, а благоприятными являются положения середины хорды внутри вписанного в треугольник круга (радиусом 1/2).Вероятность получить длинную хорду равна отношению площадей кругов, то есть 1/4.
3. Наконец, можно ограничиться рассмотрением только хорд, перпендикулярных какому-либо диаметру (остальные могут быть получены поворотом). То есть эксперимент может состоять в выборе середины хорды наудачу на диаметре круга отрезке длиной 2. Благоприятными являются положения середины хорды на отрезке длиной 1. Искомая вероятность для такого эксперимента равна 1/2.
В чем причина разницы в ответах на, казалось бы, один и тот же вопрос? На самом деле формулировка задач и не корректна с математической точки зрения. Выбор наудачу хорды в круге может быть по-разному описан с помощью геометрического определения вероятности (что мы и сделали). То есть этот эксперимент можно по-разному описать с помощью выбора наудачу точки в некоторой области.
Слово эксперимент взято в кавычки не напрасно: сказав в круге наудачу выбирается хорда, мы еще не описали физического эксперимента. Действительно, каждому из трех предложенных способов выбора хорд можно сопоставить конкретный физический эксперимент (всякий раз другой).
Так что парадокс исчезает сразу, как только получен ответ на вопрос: что значит в круге наудачу выбирается хорда?
Заканчивая обсуждение понятия геометрической вероятности, сделаем очень важное для дальнейшего замечание.
Замечание 7. Если даже эксперимент удовлетворяет геометрическому определению вероятности, далеко не для всех множеств А ? вероятность может быть вычислена как отношение меры А к мере ?. Причиной этого является существование так называемых неизмеримых множеств, то есть множеств, мера которых не существует.
А если не для всех подмножеств ? мы можем определить их вероятности, следует сузить класс множеств, называемых событиями, оставив в этом классе только те множества, для которых мы можем определить вероятность.
В следующей главе мы займемся построением (вслед за Андреем Николаевичем Колмогоровым) аксиоматики теории вероятностей: познакомимся с понятиями ?-алгебры (или поля) событий, вероятностной меры, вероятностного пространства.
Раздел 3. Аксиоматика теории вероятностей
3.1 ? -алгебра событий
Пусть ? пространство элементарных исходов некоторого случайного эксперимента (то есть, вообще говоря, множество произвольной природы). Мы собираемся определить набор подмножеств ?, которые будут называться событиями, и затем задать вероятность как функцию, определенную только на множестве событий.
То есть событиями мы будем называть не любые подмножества ?, а лишь подмножества из некоторого множества подмножеств ?. При этом необходимо позаботиться, чтобы это множество ? подмножеств ? было замкнуто относительно введенных в параграфе 1.2 операций над событиями, то есть чтобы объединение, пересечение, дополнение событий (то есть элементов ?) снова давало событие (то есть элемент ? ).
Определение 10. Множество ?, состоящее из подмножеств множества ?, (не обязательно всех!) называется ? - алгеброй событий, или ? алгеброй подмножеств ?, если выполнены следующие условия:
(A1) ? ? (? -алгебра событий содержит достоверное событие);
(A2) если , то (вместе с любым событием ? -алгебра содержит противоположное событие);
(A3) если А1, А2… ?, то
(вместе с любым конечным или счетным набором событий ? -алгебра содержит их объединение).
Условия (A1)(A3) часто называют аксиомами ? - алгебры.
Проверим, что этого набора аксиом достаточно для замкнутости множества ? относительно других операций над событиями.
Вместо первой аксиомы достаточно предположить, что ? не пусто, т.е. содержит хоть один элемент.
Свойство 1. ? (? -алгебра событий содержит невозможное событие).
Доказательство. По (A1), ? ?, но = ?/ ? = ? ? в силу (A2).
Свойство 2. При выполнении (A1),(A2) свойство (A3) эквивалентно свойству (A4)
(A4) если А1, А2… ?, то
(вместе с любым конечным или счетным набором событий ? -алгебра содержит их пересечение).
Доказательство. Докажем, что при выполнении (A1),(A2) из (A3) следует (A4).
Если А1, А2… ?, то при всех i = 1, 2,… по свойству (A2) выполнено
Тогда из (A3) следует, что
и, по (A2), дополнение к этому множеству также принадлежит ?, то есть
Но, в силу формул двойственности,
Доказательство в обратную сторону выглядит совершенно аналогично.
Свойство 3. Если А, В ? , то А\ В ?
Пример 12. Пусть ? = {1, 2, 3, 4, 5, 6} пространство элементарных исходов (например, при бросании игрального кубика). Следующие наборы подмножеств ? являются ? -алгебрами (доказать!):
1. ? = { ? , } ={ {1, 2, 3, 4, 5, 6}, } тривиальная ? -алгебра.
2. ? = { ? , ,{1},{1}} ={ {1, 2, 3, 4, 5,