Теория вероятности решение задач по теории вероятности
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
µление на отрезке [a, b], и пишут ? Ua,b если
Заметьте, что в точках a и b функция распределения недифференцируема, и плотность можно задать как угодно.
Показательное.
Говорят, что ? имеет показательное распределение с параметром ?, ? > 0 и ? Е?, если
Показательное распределение является единственным абсолютно непрерывным распределением, для которого выполнено свойство не старения (и в этом смысле оно является непрерывным аналогом дискретного геометрического распределения).
Теорема 21. Свойство Не старения. Пусть ? Е?. Тогда для любых х, у > 0
Нормальное.
Говорят, что ? имеет нормальное распределение с параметрами а и ?2 , где а R, ? > 0, и пишут ? если ? имеет следующую плотность распределения:
для любого x R
Убедимся, что f?(x)действительно является плотностью распределения. Так как f?(x) > 0 для всех x R, то свойство (f1) выполнено. Проверим выполнение (f2). Используем табличный интеграл (интеграл Пуассона)
Нормальное (иначе называемое гауссовским по имени Карла Гаусса распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей, поэтому мы очень подробно изучим все свойства этого распределения.
8.2 Свойства нормального распределения
Нормальное распределение задается, как мы видим, с помощью плотности распределения. Связано это с тем, что нельзя выписать первообразную от функции иначе как в виде интеграла, поэтому функцию распределения этого закона можно записать лишь в таком виде:
Мы часто будем использовать обозначение для функции распределения нормального распределения с параметрами а и ?2.
Стандартное нормальное распределение
Нормальное распределение при а = 0 и ?= 1 называется стандартным нормальным распределением. Плотность стандартного нормального распределения имеет вид
для любого x R
а функция распределения
табулирована (то есть ее значения вычислены при многих х) почти во всех математических справочниках. Установим связь между
Свойство 5. Для любого x R справедливо соотношение
То же самое на языке случайных величин можно сформулировать так:
Следствие 5. Если то
Следствие 6. Если то
Как мы видим, вычисление любых вероятностей для нормально распределенной случайной величины сводится к вычислению функции распределения Ф0,1. Ее свойства
Свойство 6. Ф0,1(0) = 0,5
Свойство 7. Ф0,1(-х) = 1 - Ф0,1(х)
Свойство 8. Если ? N0,1, то
Свойство 9 ( Правило трех сигм).
Если то
Смысла в запоминании числа 0.0027 нет никакого, а вот помнить, что почти вся масса нормального распределения сосредоточена в границах [a - 3?, a - 3?] всегда полезно.
Смысла в запоминании числа 0.0027 нет никакого, а вот помнить, что почти вся масса нормального распределения сосредоточена в границах [a-3?, a+3?], всегда полезно.
Раздел 9. Случайные вектора и их распределения
Определение 29. Если случайные величины заданы на одном вероятностном пространстве, то вектор () мы будем называть случайным вектором.
Определение 30. Функция называется функцией распределения случайного вектора () или функцией совместного распределения случайных величин .
9.1 Свойства функции совместного распределения
Для простоты обозначений все дальнейшие рассуждения и формулировки приводятся в случае n = 2 для случайного вектора ()
F0)
F1) не убывает по каждой координате вектора (x1 x2).
F2) Для любого i = 1, 2, существуют
При этом
F3) Функция по каждой координате вектора (x1 x2) непрерывна слева.
Только теперь этих свойств оказывается недостаточно для описания класса функций совместного распределения. Иначе говоря, выполнение этих свойств для некоторой функции F: R2 R вовсе не гарантирует, что эта функция является функцией распределения некоторого случайного вектора.
Пример 25. Функция
a) удовлетворяет всем свойствам (F0)-(F3);
б) не является функцией распределения никакого вектора (?1, ?2.) хотя бы потому, что, найдись такой вектор, найдется и прямоугольник [a1 b1] x [a2 b2], вероятность попасть в который (вычисленная с помощью этой функции распределения) отрицательна:
P(a1 ?1< b1 , a2 ?2<b2 ) < 0!
Как же связана вероятность вектору попасть в прямоугольник с функцией распределения этого вектора?
Упражнение. Доказать, что
P(a1 ?1< b1 , a2 ?2<b2 )= F ?1 ?2 (b1, b2) - F ?1 ?2 (a1, b2) - F ?1 ?2 (b1, a2) + F ?1 ?2 (a1, a2) (8)
Оказывается, если потребовать дополнительно от функции F, чтобы для всякого [a1 b1] x [a2 b2] вероятность P(a1 ?1< b1] , [a2 ?2<b2], связанная с функцией F равенством (8), была неотрицательна, то любая функция, обладающая этим свойством и свойствами (F0)-(F3), уже будет функц