Geum.ru


Теоретические основы математических и инструментальных методов экономики

Информация - Разное

Другие материалы по предмету Разное

t;противоположный" ему элемент , такой, что ,

  • для любого ,

  • для любого и любых ,

  • для любого и любых ,

  • для любого и любых .

    • Подчеркнем, что перечисленные аксиомы являются естественным обобщением хорошо известных свойств сложения и умножения чисел, сложения векторов и их умножения на число и т.д. Иногда рассматривают линейное пространство не над полем комплексных, а над полем действительных чисел R (т.е. вместо операции умножения на комплексные числа рассматривается операция умножения на действительные числа). Аксиомы линейного пространства при этом не меняются. Приведем некоторые типичные примеры линейных пространств. Пример 1. Линейное пространство векторов на плоскости (или в трехмерном пространстве) с обычными операциями сложения векторов и умножения вектора на действительное число. Нулевым элементом является нулевой вектор. Пример 2. Линейное пространство всевозможных последовательностей комплексных чисел с операциями

    .

    Нулевой элемент - последовательность (0, 0, ..., 0, ...).

    Пусть теперь - некоторые элементы линейного пространства L, а - произвольные комплексные (или действительные) числа. Элемент пространства L, равный , называется линейной комбинацией элементов .

    Определение. Система (набор) элементов пространства L называется линейно независимой, если линейная комбинация равна нулевому элементу пространства только в случае .

    Иными словами, система называется линейно независимой, если из равенства следует, что .

    Определение. Система элементов пространства L называется линейно зависимой, если равенство выполнено при некотором наборе констант , хотя бы одна из которых отлична от нуля.

    Таким образом, система называется линейно зависимой, если она не является линейно независимой.

    Определение. Линейное пространство имеет размерность n (или, коротко, n-мерно), если в нем найдется n линейно независимых элементов, но любые (n+1) элемент линейно зависимы. Линейное пространство называется бесконечномерным, если в нем можно указать любое наперед заданное число линейно независимых элементов.

    Определение. Система элементов линейного пространства называется базисом этого пространства, если любой элемент этого пространства можно единственным образом представить в виде линейной комбинации элементов данной системы.

    Как мы убедились, в n-мерном пространстве любая линейно независимая система из n элементов образует базис.

    Определение. Множество M называется метрическим пространством, если каждым двум элементам x, y этого множества поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое и называемое расстоянием между элементами x и y, причем выполнены следующие аксиомы:

    1. для любых , причем в том и только в том случае, когда ;

    2. для любых ;

    3. для любых .

      4. Если x,y - два фиксированных элемента множества M, то

      есть действительное число, однако, полагая x и y равными всевозможным элементам множества M, получим, что является функцией двух переменных x,y. Эта функция называется метрикой данного пространства.

      Определение. Линейное пространство называется нормированным, если каждому элементу x этого пространства поставлено в соответствие действительное число

      (норма x ), причем выполнены следующие аксиомы:

    4. для любого x, причем тогда и только тогда, когда ;

    5. для любого x и любого комплексного ;

    6. для любых x,y из данного пространства.

      7. Для линейных пространств над полем действительных чисел также вводится понятие нормированного пространства с теми же аксиомами. Неравенство, фигурирующее в третьей аксиоме, называется неравенством Минковского.

    Простейшими примерами нормированных пространств могут служить множества действительных чисел R и комплексных чисел C, где в качестве нормы числа рассматривается его модуль, а также пространство векторов на плоскости (или в пространстве) с нормой, равной длине вектора.

    В пространстве непрерывных функций на (действительном или комплексном) норму можно ввести, например, следующими способами:

    , .

    Отметим теперь следующий важный факт. В любом линейном нормированном пространстве можно ввести метрику следующим образом:

    При этом выполнение первой аксиомы метрического пространства следует из первой аксиомы нормированного пространства. Выполнение второй аксиомы также очевидно:

    .

    Наконец, выполнение третьей аксиомы метрического пространства следует из неравенства Минковского:

    Итак, любое линейное нормированное пространство можно сделать метрическим пространством указанным выше естественным способом (так, указанные нами нормы в пространстве непрерывных функций порождают соответственно равномерную и среднеквадратичную метрику, т.е. порождают пространства и соответственно). Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: не в любом метрическом пространстве можно ввести норму, поскольку понятие нормы вводится лишь в линейном пространстве, а метрическое пространство может не быть наделено линейной структурой. Однако, если метрическое пространство наделено линейной структурой (является линейным пространством), то его всегда можно сделать нормированным, введя норму

    Пусть -- вещественное -мерное пространство, в котором задан базис . Тогда векторы и из задаются своими координатами:

    Скалярное произведение векторов, обозначаеся оно об