Суммирование расходящихся рядов
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
µменно
Современный анализ ставит вопрос по-другому. В основу кладется то или иное точно сформулированное определение “обобщенной суммы" ряда, не придуманное только для конкретно интересующего нас числового ряда, но приложимое к целому ряду классов таких рядов. Определение “обобщенной суммы" обычно подчиняется двум требованиям.
Во-первых, если ряду приписывается “обобщенная сумма" А, а ряду - “обобщенная сумма" В, то ряд , где p, q - две произвольные постоянные, то должен иметь в качестве “обобщенной суммы" число . Метод суммирования, удовлетворяющий этому требованию, называется линейным.
Во-вторых, новое определение должно содержать обычное определение как частный случай. Точнее говоря, ряд, сходящийся в обычном смысле к сумме А, должен иметь “обобщенную сумму", и притом также равную А. Метод суммирования, обладающий этим свойством, называют регулярным. Разумеется, интерес представляют лишь такие регулярные методы, которые позволяют устанавливать “сумму” в более широком классе случаев, нежели обычный метод суммирования: лишь тогда с полным правом можно говорить об “обобщенном суммировании”. Мы переходим к теперь непосредственно к рассмотрению особо важных с точки зрения приложений методов обобщенного суммирования".
Глава 2. Метод степенных рядов
2.1 Суть метода
Этот метод, в существенном принадлежит Пуассону, который сделал первую попытку применить его к тригонометрическим рядам. Он состоит в следующем.
По данному числовому ряду (А) строится степенной ряд
(1)
Если этот ряд для сходится и его сумма при имеет предел А:
,
то число А и называют “обобщённой (в смысле Пуассона) суммой” данного ряда. Примеры.1) Ряд, рассмотренный Эйлером:
Здесь уже в силу самого определения приводит к степенному ряду, сумма которого при стремится к пределу . Значит, число , действительно, является “обобщенной суммой” указанного в точном установленном здесь смысле.
2) Возьмем более общий пример: тригонометрический ряд
(2)
является расходящимся при всех значениях
Действительно, если имеет вид , где и - натуральные числа, то для значений , кратных , будет , так что нарушено необходимое условие сходимости ряда. Если же отношение иррационально, то, разлагая его в бесконечную непрерывную дробь и составляя подходящие дроби , будем иметь, как известно,
откуда
Таким образом, для бесконечного множества значений
, так что .
Это также свидетельствует о нарушении необходимого условия сходимости. Если образовать степенной ряд:
(здесь буква заменяет прежнюю букву ), то его сумма при значении , отличном от 0, будет
(3)
и при стремится к 0. Таким образом, для “обобщенной суммой” ряда будет 0. если , то ряд (2), очевидно имеет сумму, равную ; впрочем, выражение (3), которое в этом случае сводится к , также имеет пределом .
3) Аналогично ряд
,
который сходится лишь при или , приводит к степенному ряду
.
Так что “обобщенная сумма" на этот раз оказывается равной при и равной нулю при .
Непосредственно ясно, что рассматриваемый метод “обобщенного суммирования” является линейным. Что же касается регулярности этого метода, то она устанавливается следующей теоремой принадлежащей Абелю.
2.2 Теорема Абеля
Теорема. Если ряд (А) сходится и имеет сумму А (в обычном смысле), то для сходится степенной ряд (1), и его сумма стремится к пределу А, когда .
Доказательство. Начнем с того, что радиус сходимости ряда (1) не меньше 1, так что для ряд (1), действительно, сходится. Мы имели уже тождество
(где ); вычтем его почленно из тождества
.
Полагая , Придем к тождеству
(4)
Так как то по произвольно заданному найдется такой номер , что , лишь только .
Разобьем сумму ряда в правой части (4) на две суммы
Вторая оценивается сразу и независимо от :
Что же касается первой, то она стремится к 0 при и при достаточной близости к 1 будет
так что окончательно что и доказывает утверждение.
Если ряд (А) суммируем по Пуассону-Абелю к сумме А, то в обычном смысле, как мы видели, он может и не иметь суммы. Иными словами из существования предела
, (5)
вообще говоря, не вытекает сходимость ряда (А). Естественно возникает вопрос, какие дополнительные условия надлежит наложить на поведение членов этого ряда, чтобы из (5) можно было заключить о сходимости ряда (), т.е. о существовании для него суммы в обычном смысле. Первая теорема в этом направлении была доказана Таубером.
2.3 Теорема Таубера
Теорема. Пусть ряд (1) сходится при 0<x<1, и имеет место предельное равенство (5). Если члены ряда (А) таковы, что
(6)
то и
Доказательство. Разобьем доказательство на две части. Сначала
предположим, что Если положить то при величина , монотонно убывая, стремится к нулю.
Имеем при любом натуральном N
так что:
Взяв произвольно малое число , положим
Так что при . Пусть теперь выбрано достаточно большим чтобы: выполняло?/p>