Структурная надежность радиотехнических систем
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
?ятности исправной работы i-го элемента при условии его исправности, которая, очевидно, равна единице.
Для сокращения дальнейших выкладок введем следующее обозначение ненадежности i-го элемента:
=1-pi (2.16)
С учетом (2.15) и (2.16) можно записать следующие простые правила преобразования выражений, содержащих р и р:
pi i=0
=
pipi=pi (2.17)
=
pipj =pipj-pips
-pi=
Для примера использования этих правил при раiете надежности рассмотрим простейшую сеть связи, изображенную на. рис.2.3 Буквы, стоящие у ребер графа, обозначают показатели надежности соответствующих линий связи.
Узлы для простоты будем iитать идеально надежными. Предположим, что для связи между узлами А и В можно использовать все пути, состоящие из трех и менее последовательно включенных линий, т.е. следует учесть подмножество путей {?} = {ab, cdf, cgb, ahf}. Определим приращение надежности, обеспечиваемое каждым последующим путем, по формуле (2.12) с учетом (2.14):
??r+1=Rr+1 (1тАж) (2.18),
Рисунок.2.3 - Пример сети раiета на ограниченном подмножестве путей
Рисунок 2.4 - Пример сети для раiета надежности по полной совокупности путей, где Ri=1-R1 аналогично (2.16).
Применяя последовательно формулу (2.18) и правила символического умножения (2.17). к рассматриваемой сети, получаем
??1=;
??2=cdf () =cdf*;
??3=cgb () =cgb**;
??4=ahf () =ahf**.
При раiете последнего приращения мы использовали правило 4, которое можно назвать правилом поглощения длинных цепей короткими; в данном случае его применение дает bcgb=b. Если разрешено использование других путей, например пути cdhb, то не представляет труда расiитать обеспечиваемое им приращение надежности ?H5=cdhb (a f g af) = =cdfb*a*f*g. Результирующую надежность сети можно теперь вычислить как сумму приращений, обеспечиваемых каждым из рассмотренных путей:
HR=?Hi (2.19)
Так, для рассмотренного примера в предположении, что надежность. всех элементов сети одинакова, т.е. a=b=c=d=f=h=g=p, получаем H5=p2+p3 (1-p2) + +2p3 (1-p) (1-p2) +p4 (1-p) 3. При машинной реализации в основу раiета можно также положить формулу (2.13), с учетом того, что
Qr=?Qi (2.20)
Согласно (2.13) имеем следующее рекуррентное соотношение
Qr+i=Qr-Rr+1Qr. (2.21)
При начальном условии Q0=l на каждом последующем шаге из полученного ранее выражения для Qr следует вычесть произведение надежности очередного (r+1) - го пути на это же выражение, в котором только показатели надежности всех элементов, входящих в (r+1) - й путь, нужно положить равными единице.
В качестве примера расiитаем надежность сети, изображенной на рис.2.4, относительно узлов А и В, между которыми имеется 11 возможных путей передачи информации. Все раiеты сведены в табл.2.1: перечень элементов, входящих в каждый путь, результат умножения надежности данного пути на значение Qr, полученное при рассмотрении всех предыдущих путей, и результат упрощения содержимого третьего столбца по правилам (2.17). Окончательная формула для qAB содержится в последней колонке, если ее читать сверху вниз. В таблице полностью приведены все выкладки, необходимые для раiета структурной надежности рассматриваемой сети.
Таблица 2.1 Результаты раiета надежности сети, изображенной на рис.2.4
Номер
пути. Rr+1Rr+1QrQr+11ab2fgh-3acdacd*b*acd* * - 4frbfrb* *ghfrb* * - 5arghargh (*-cd**) argh** - 6acmhacmh (b*-d**-rg* *) acmh (fg-rg*) - 7frcdfrcd (**-*gh-b**) frcd** * - 8fgmdfgmd (*-ac**-rb* *-rc***) fgmdh (-ac*-rb*-rc*) - 9argmdargmd [*-c**-h* * - f (-c)] argmd* * * - 10frcmhfrcmh (*-ad* *-b* - a* *c-d** *) frcmh****-11fgmcdfgmcd [*-r**-d* (-r)] fgmcd*** *
Для уменьшения объема вычислений не следует без необходимости раскрывать скобки; если промежуточный результат допускает упрощения (приведение подобных членов, вынесение за скобку общего множителя и т.д.), их следует выполнить.
Поясним несколько шагов раiета. Поскольку Q0= 1 (при отсутствии путей сеть разорвана), то для Q1 из (2.21) Q1=1-ab=ab. Делаем следующий шаг (6.21) для Q2=ab-fghab==ab*fgh и т.д.
Рассмотрим подробнее шаг, на котором учитывается вклад пути 9. Произведение показателей надежности составляющих его элементов, записанное во втором столбце табл.2.1, переносится в третий. Далее в квадратных скобках записана вероятность разрыва всех предыдущих восьми путей, накопленная в четвертом столбце (начиная с первой строки), с учетом правила (2.15), согласно которому показатели надежности всех элементов, вошедших в путь 9, заменяются единицами. Вклад четвертой, шестой и седьмой строк оказывается равным нулю по правилу 1. Далее выражение, стоящее в квадратных скобках, упрощается по правилам (2.17) следующим образом: b [fh-cfh-hfc-fhc] =b (fhc-hfc-fhc) =bc (h-fh) =bchf. Аналогично производится раiет относительно всех других путей.
Использование рассматриваемого метода позволяет получить общую формулу структурной надежности, содержащую в рассмотренном случае всего 15 членов вместо максимального числа 211=2048, получающегося при непосредственном перемножении вероятностей отказов этих путей. При машинной реализации метода удобно представить все элементы сети в позиционном коде строкой бит и использовать встроенные булевы функции для реализации логических элементов преобразований (2.17).
До сих пор мы рассматривали показатели структурной надежности сети относительно выделенной пары узлов. Совокупность таких показателей для всех или некоторого подмножества пар может достаточно полно характериз