Стратегии теории игр в современных экономических условиях
Дипломная работа - Менеджмент
Другие дипломы по предмету Менеджмент
?й lсчитается стратегия Ai0, максимизирующая показатель оптимальности Нi():
Коэффициент выбирается субъективно в пределах от 0 до 1, включая концы,lоптимизма в зависимости от опасности ситуации: чем более опасной представляется ситуация, ; чем болееlтем меньше оптимизма и тем меньше коэффициент оптимизма можно выбиратьlблагоприятная ситуация, тем больше оптимизма и значит ближе к 1.
При = 0 данный критерийlнаименьшем значении коэффициента оптимизма превращается в максиминный критерий крайнего пессимизма, а при наибольшем = 1 рассматриваемый критерийlзначении коэффициента оптимизма = 1/2lпревращается в максимаксный критерий крайнего оптимизма. При максиминно-максимаксный критерий можно считать критерием реализма.
Критерий 9.1 является критерием Гурвица относительно выигрышей ([1], с. 505; [2], с. 120; [3], с. 47; [5], с. 57).
1.7 Минимаксно-миниминные критерии
Минимаксно-миниминные критерии являются результатом комбинации минимаксного и миниминного критериев. Показатель неоптимальности стратегии Ai определяется следующим образом:
где [0,1]- коэффициент оптимизма, аl - показатели неоптимальности стратегии Ai соответственно в минимаксном и миниминном критериях (см. п. 4 и п. 6). Функции игры в этих двух критериях лучше выбирать соответствующими друг другу, как это указано в табл. 7.
Таблица 7
КритерииВыигрыши aРиски rВероятности состояний природы qS (a, r, q)M (a, r, q)10.1+rr10.2++qr(1-q)r10.3++r-ar-a10.4+++qr-(1-q)a(1-q)r-qa
Оптимальной по критерию является стратегия Ai0, для которой
Данный = 0, в миниминныйlкритерий превращается в минимаксный критерий при = 1, в критерии Гурвица относительно рисков приlкритерий при
(критерий 10.1).
Утверждение 4. При одном и том же коэффициенте оптимизма максиминно-максимаксные критерии 9.3 и 9.4 эквиваленты соответственно минимаксно-миниминным критериям 10.3 и 10.4.
Доказательство. Для критериев 10.3 и 9.3 имеем:
откуда
т.е. будет минимальным для того значения i,l показатель неоптимальностиDi() будет максимален. Такимlдля которого показатель оптимальности Hi( 10.3 доказана.образом, эквиваленция 9.3
Эквиваленция 10.4 доказывается аналогично. n9.4
Рассмотрим игру с природой, в которой игрок А имеет возможность применить одну из четырех стратегий А1, А2, А3, А4, а природа П может находиться в одном из трех состояний П1, П2, П3 с вероятностями соответственно q1 = 0,7; q2 = 0,1; q3 = 0,2. Известны выигрыши (aij) игрока А. Найдем оптимальные стратегии по рассмотренным выше критериям.
Выпишем таблицы показателей игры и в дополнительных столбцах - показатели оптимальности и неоптимальности для соответствующих критериев. При этом на основании утверждений 1-4 из эквивалентных критериев будем рассматривать только один.
Таблица 8
Таблица для критериев 3.1 и 5.1Таблица для критерия 3.2Пj AiП1П2П3WiMiПj AiП1П2П3WiA147117*A11,26,30,80,8(aij) =A24353*5A21,22,74,01,2A365226A31,84,51,61,6*A406306A40,05,42,40,0
Таблица 9 - для критериев 4.1 и 6.1 Таблица для критерия 4.2
Пj AiП1П2П3SiEiПj AiП1П2П3SiA120440*A11,40,00,81,4(rij) =A224040*(qjrij) =A21,40,40,01,4A30233*0*A30,00,20,60,6*A461261A44,20,10,44,2
Таблица 10 - для критерия 3.3 и 5.3 Таблица для критерия 3.4
Пj AiП1П2П3WiMiПj AiП1П2П3WiA127-3-37*A1-0,26,30,0-0,2(аij-rij)=A22-15-1*5((1-qj )аij- qjrij)=A2-0,22,34,0-0,2A363-1-1*6A31,84,31,01,0*A4-651-65A4-4,25,32,0-4,2Таблица 11 - для критерия 5.2 и 7.1 Таблица для критерия 6.2
Пj AiП1П2П3MiLiПj AiП1П2П3EiA12,80,70,22,83,7A10,60,03,20,0*(qjаij) =A22,80,31,02,84,1((1-qj)rij) =A20,63,60,00,0*A34,20,50,44,2*5,1*A30,01,82,40,0*A40,00,60,60,61,2A41,80,91,60,9
Таблица 12 - для критерия 5.4
Пj AiП1П2П3Mi A12,20,7-3,02,2(qjaij - (1-qj) rij) =A22,2-3,31,02,2 A34,2-1,3-2,04,2* A4-1,8-0,3-1,0-0,3
Теперь выпишем таблицы показателей оптимальности для критериев 9 с коэффициентом = lоптимизма
Таблица 13 - для критерия 9.1 Таблица для критерия 9.2
Ai AiA1174*A10,82,81,8A2354*A21,22,82,0A3264*A31,64,22,9*A4063A40,00,60,3
Таблица 14 - для критерия 9.3 Таблица для критерия 9.4
Ai Ai A1-372A1-0,22,21,0A2-152A2-0,22,21,0A3-162,5*A31,04,22,6*A4-65-0,5A4-4,2-0,3-2,25
Звездочкой * во всех таблицах отмечены оптимальные по соответствующему критерию стратегии.
Для лучшей обозримости сведем полученные результаты в таблицу.
Таблица 15 - оптимальных стратегий по различным критериям
№ критерияКритерии. Функции игрыОптимальная стратегия3Максиминные критерии (крайнего пессимизма)3.1W(a,r,q)=aA23.2W(a,r,q)=(1-q)aA33.3W(a,r,q)=a-rA2 , A33.4W(a,r,q) =(1-q)a-qrA34Минимаксные критерии (крайнего пессимизма)4.1S(a,r,q)=rA34.2S(a,r,q)=qrA35Максимаксные критерии (крайнего оптимизма)5.1М(a,r,q)=аА15.2М(a,r,q)=qаА35.3М(a,r,q)=а-rA15.4М(a,r,q)=qa-(1-q)rА36Миниминные критерии (крайнего оптимизма)6.1E(a,r,q)=rA1, A2, A36.2E(a,r,q)=(1-q)rA1, A2, A37Критерий максимизации взвешенного среднего выигрыша (критерий Лапласа)7.1L(a,r,q) = qаА39Максиминно-максимаксные критерии с коэффициентом =1/2lоптимизма 9.1W(a, r, q)= М(a, r, q) = аA1, A2, A39.2W(a,r,q)=(1-q)a; М (a,r,q)=qаА39.3W(a,r,q)= М(a,r,q)=a-rА39.4W(a,r,q)=(1-q)a-qr; М(a,r,q)=qa-(1-q)rА310Минимаксно-миниминные критерии с коэффициентом = l оптимизма 10.1S(a,r,q) = E(a,r,q)=rА310.2S(a,r,q)=qr; E(a,r,q)=(1-q)rА3
Из этой таблицы видно, что в качестве оптимальной стратегии A1 и A2 выступают по 5 раз, стратегия А3 - 16 раз, а стратегия А4 - ни разу. n
Поэтому, если у лица, принимающего решение, нет серьезных возражений, то стратегию А3 можно считать оптимальной.
2. Практическая часть
Задача 1 - планирование посевов
Руководство сельскохозяйственного предприятия определяет вариант использования имеющихся посевных площадей (100 га), пригодных для выращивания двух типов зерновых культур. Урожайность этих культур и ожидаемые цены (за один центнер) при различных вариантах возможных погодных условий представлены в табл.
Матрица НКультуры:Матрица СКультуры:Лето: Сухое2 2Л