Статистическая обработка результатов измерений
Методическое пособие - Математика и статистика
Другие методички по предмету Математика и статистика
Содержание
Контрольная работа № 1. Обработка многократных измерений
Контрольная работа № 2. Проверка гипотезы о виде распределения
Контрольная работа № 3. Объединение результатов измерений
Список используемой литературы
Контрольная работа № 1. Обработка многократных измерений
Цель работы - освоение основных приемов статистической обработки результатов многократных измерений.
Измерения - один из важнейших путей познания природы человеком. Они играют огромную роль в современном обществе. Наука и промышленность не могут существовать без измерений. Практически нет ни одной сферы деятельности человека, где бы интенсивно не использовались результаты измерений, испытаний и контроля.
Многократные измерения - измерения, при которых число измерений превышает число измеряемых величин в n/m раз, где n - число измерений каждой величины, m - число измеряемых величин. Обычно для многократных измерений принято n > или = 3. Многократные измерения проводят с целью уменьшения влияния случайных составляющих погрешностей измерения.
Диапазон измерительных величин и их количество постоянно растут и поэтому возрастает и сложность измерений. Они перестают быть одноактным действием и превращаются в сложную процедуру подготовки и проведения измерительного эксперимента и обработки полученной информации.
Другой причиной важности измерений является их значимость. Основа любой формы управления, анализа, прогнозирования, контроля или регулирования - достоверная исходная информация, которая может быть получена лишь путем измерения требуемых физических величин, параметров и показателей. Только высокая и гарантированная точность результатов измерений обеспечивает правильность принимаемых решений.
измерение статистическая обработка массив
Таблица 1
Протокол результатов измерений
7,747,937,948,37,757,877,387,927,877,858,337,667,917,858,138,088,168,317,687,798,177,728,228,118,168,37,948,348,377,938,068,17
Построим вариационный ряд значений результатов измерений (рис.1).
Xmax = 8,37
Xmin = 7,38
Wn = Xmax - Xmin = 0,99 - размах варьирования.
r = 5 - число интервалов.
h = 0,99/5 = 0, 198 - шаг интервала.
Результаты расчетов представлены в табл.2.
Таблица 2
Таблица данных для построения гистограммы
Номер интервалаИнтервалСреднее значение в интервалеЧисло значений в интервале nk (частота) Частость (nk/n) НачалоКонец17,3807,5787,47910,031327,5787,7767,67750,156337,7767,9747,875110,343847,9748,1728,07380,250058,1728,3708,27170,2188
Построим гистограмму (рис.2). На ней проведем кривую, сглаживающую гистограмму. Далее рассчитаем теоретическую кривую вероятности попадания результата отдельного измерения в k-й интервал в виде табл.3 и сплошной линии на гистограмме по значениям Pk.
Рисунок 1
Рисунок 2
Рассчитаем необходимые точечные значения:
= = 255,94/32 = 7,998.
Sx2 = = = 0,058.
Sx = = = 0,241.
= (7,94 + 7,38) / 2 = 7,935.
= 7,87.
= = = 0,043.
Судя по графику нельзя утверждать, что результаты измерений подчиняются нормальному закону распределения. Подтвердить или опровергнуть эту гипотезу помогут дальнейшие расчеты.
Таблица 3
Данные для построения кривой теоретических вероятностей
Номер границы инт. kЗначение границы интервалаZk = Ф (Zk) Pk = Ф (Zk+1) - Ф (Zk) 17,38-2,56580,005127,578-1,74390,04060,035437,776-0,92200,17830,137747,974-0,10010,46010,281958,1720,72180,76480,304768,371,54370,93870,1739
Проверим результаты измерений на промахи по формулам:
и
= = 1,568
= = 2,607
кр = 2,792.
Поскольку рассчитанные значения меньше критического значения, промахи в измерениях отсутствуют.
Нанесем на график значения фактической и теоретической вероятностей (рис.3).
Ф (Zk) = - интегральная функция нормированного нормального распределения.
Р2 = Ф2 - Ф1
Р3 = Ф3 - Ф2
Р4 = Ф4 - Ф3
Р5 = Ф5 - Ф4
Р6 = Ф6 - Ф5
Р2 = 0,0406 - 0,0051 = 0,0354
Р3 = 0,1783 - 0,0406 = 0,1377
Р4 = 0,4601 - 0,1783 = 0,2819
Р5 = 0,7648 - 0,4601 = 0,3047
Р6 = 0,9387 - 0,7648 = 0,1739
Согласно графикам, предположение о нормальном законе распределения не подтверждается. Поскольку вид распределения установить не удается, определим погрешность результата измерения с помощью неравенства Чебышева:
?.
При = 0,90, = 3,2 * .
Т.е. интервал с вероятностью, большей или равной 0,90, накрывает неизвестное истинной значение. Вместо будем использовать выборочную оценку .
Доверительный интервал будет следующим:
Хист = 7,988 3,2 * 0,043 = 7,998 0,136. = 0,90. n = 32.
Вид распределения не установлен.
Рисунок 3
Контрольная работа № 2. Проверка гипотезы о виде распределения
Цель работы - Освоить основные методы и приемы проверки гипотезы о виде закона распределения результатов отдельных измерений методом линеаризации интегральной эмпирической функции распределения (метод вероятностной бумаги) с помощью критерия Колмогорова и критерия согласия ?2 на примере нормального распределения.
Проверка гипотезы о виде закона распределения заключается в том, чтобы установить, не противоречат ли данные выборочных наблюдений выдвинутой гипотезе. С этой целью производится количественная оценка степени достоверности предлагаемой гипотезы, которая осуществляется с помощью специальных построенных критериев.
. Использование вероятностной бумаги.
Расположим результаты измерений в неубывающем порядке (табл.4).
Построим график, нанеся по оси абсцисс точки с координатами, равными Хi, а по оси ординат - Zi. Р?/p>