Средства визуализации изображений в компьютерной томографии и цифровых рентгенографических системах
Информация - Медицина, физкультура, здравоохранение
Другие материалы по предмету Медицина, физкультура, здравоохранение
рентгеновская трубка; 3-пациент; 4-селеновый барабан;
5-сканирующие электроды+усилитель; 6-аналого-цифровой преобразо-
ватель; 7-накопитель изображений; 8-видеопроцессор; 9-сеть;
10-цифро-аналоговый преобразователь; 11-монитор; 12-снимок;
13-рентгенолог.
4. Математические основы компьютерной томографии
Исследования внутренней структуры объектов с помощью рентгеновского излучения широко распространены и хорошо известны. Ослабление рентгеновского излучения вдоль луча, соединяющего источник и приемник, является интегральной характеристикой плотности исследуемого объекта. С математической точки зрения речь идет о задаче восстановления функции по ее интегральным значениям вдоль некоторого семейства лучей. Различные лучи соответствуют различным (относительно объекта) положениям источника и приемника излучения. Такая модель является простейшей, но во многих случаях хорошо отражает реальную ситуацию и подтверждается исследованиям реальных тестовых объектов. Плотность реальных объектов является функцией трех пространственных координат. Однако в классической компьютерной томографии трехмерный объект представляют в виде набора тонких срезов. Внутри каждого среза плотность считают функцией только двух переменных. При исследовании фиксированного среза систему источник-приемник устраивают таким образом, что регистрируются данные только по лучам, лежащим в тонком слое относительно центральной плоскости среза. Таким образом приходят к задаче восстановления функции двух переменных по ее интегральным значениям вдоль некоторого семейства лучей Для регистрации в веерной схеме, чаще встречающейся в реальных томографах, используется линейка детекторов, различные положения источника относительно объекта обеспечиваются вращением системы регистрации или объекта.
4.1. Математическая постановка задачи рентгеновской компьютерной томографии, преобразование Радона и формулы обращения.
В компьютерной рентгеновской томографии трехмерный объект представляется обычно в виде набора тонких срезов. Для восстановления плотности среза решается задача обращения двумерного преобразования Радона. Преобразованием Радона функции f(x, y) называется функция, определяемая равенством .
Обычно для восстановления функции двух переменных по ее интегралам вдоль прямых используется метод свертки и обратного проецирования. В этом методе формула обращения преобразования Радона записывается без явного использования обобщенных функций. Однако наиболее общий и естественный вид формулы обращения преобразования Радона приобретают при использовании аппарата обобщенных функций. Далее будет рассмотрено соотношение между методом обобщенных функций и методом свертки и обратного проецирования.
Перед изложением собственно численного алгоритма будет дан вывод формулы обращения, позволяющий естественным образом перейти к построению алгоритма.
В силу равенства
функция при любом фиксированном p определяется своими значениями при . Это позволяет нам перейти к функции
.
Здесь L(r, ?) - прямая, ортогональная лучу, имеющему угол ? ? положительным направлением оси X, и отстоящая от начала координат на расстояние r (r 0), при r < 0 L(r, ?) - прямая, симметричная относительно начала координат прямой L(|r|, ?). Выразим f(x, y) через I(r, ?).
Поскольку
,
где - преобразование Фурье функции f, то, переходя к полярным координатам после элементарных преобразований интеграла по ? на интервале [?, 2?], ?олучаем
.
Введем функцию S(z, ?), полагая
.
При фиксированном ? функция S(z, ?) ?сть обратное одномерное преобразование Фурье от произведения и |r|. Для справедливо равенство
.
Обратное преобразование Фурье от |r| есть обобщенная функция v1/?z2. Переходя от преобразования Фурье произведения к свертке, получаем S(z,?) = I(z,?)(v1/?z2). Используя регуляризацию функции 1/z2 [19] приходим к выражению
. (1.5.1)
Таким образом, для f(x, y) справедлива формула
, (1.5.2)
позволяющая выразить искомую функцию через наблюдаемые данные.
Прежде чем перейти к дискретному варианту сделаем ряд замечаний, связанных с обоснованием корректности рассматриваемых алгоритмов в реальных ситуациях. Обобщенные функции являются функционалами над пространством бесконечно дифференцируемых быстро убывающих функций. Однако при построении аппроксимаций исходных реальных данных по отсчетам, заданным в дискретных точках, желательно иметь менее жесткие требования к гладкости аппроксимирующих функций. Свертка с обобщенными функциями, в частности, с функцией 1/z2, может быть определена для значительно менее гладких функций, это очень важно при доказательстве корректности применения численных алгоритмов, получаемых с помощью аппарата обобщенных функций, к реальным данным.
Перейдем к дискретному варианту. Будем предполагать, что f(x, y) = 0 вне круга радиуса R iентром в нуле. Исходными данными являются величины I(ri, ?i), здесь ri v отсчеты в интервале [-R, R], 1 ? i ? M - отсчеты в интервал [0, ?], 1 ? j ? N. Если теперь при заданных значениях функции I(r, ?) ? отсчетах (ri, ?i) построить аппроксимацию I(r, ?) так, что для S(z,?) ?ыполняется равенство (1.5.1), то используя (1.5.1) и (1.5.2) можно получить приближение к f(x, y). В дальнейшем будем предполагать, что отсчеты на осях r и ? являются равноотстоящими.
При каждом фиксированном ?j определим следующим образом.