Средства визуализации изображений в компьютерной томографии и цифровых рентгенографических системах
Информация - Медицина, физкультура, здравоохранение
Другие материалы по предмету Медицина, физкультура, здравоохранение
л обращения лучевого преобразования есть другой подход, не использующий обобщенные функции в явном виде. Мы покажем здесь, что фактически этот метод тоже основан на использовании преобразования Фурье в смысле обобщенных функций.
Лучевыми данными называется функция
,
Ф = (Ф1, Ф2, Ф3) R3, b S2 (S2 v единичная сфера). (Не трудно видеть, что в наших обозначениях это функция ).
В формулах обращения используются следующие функции:
(2.2.9)
, (2.2.10)
(S2/2 - половина единичной сферы), - скалярное произведение векторов и .
Формулы обращения в имеет вид
, (2.2.11)
где , R v радиус шара, в котором содержится носитель функции f(х), -элемент поверхности на единичной сфере.
Если для любого l, такого, что l < R и любого b S2/2 существует точка Ф на траектории источника такая, что Ф b = l (выполняются условия Кириллова-Туя), то формула (2.2.11) может быть использована для определения функции f(х).
В отмечается, что функция F при трехмерной томографической реконструкции в конусе лучей в определенной степени аналогична роли преобразования Фурье в двумерной томографии. Этот факт не является случайным.
Действительно, в показано, преобразование Фурье по b в смысле обобщенных функций от функции g(b , Ф) имеет вид
. (2.2.12)
Знаменатель в (2.2.12) может быть равен нулю, и (2.2.12) следует понимать в смысле обобщенных функций. В доказано следующее утверждение.
Если f j C2, то
. (2.2.13)
Учитывая (2.2.13), (2.2.12) и (2.2.10) мы видим, что функция , является преобразованием Фурье в смысле обобщенных функций функции g(b , F ), а функция F в формуле обращения определяется функцией .
4.4. Соотношения между преобразованиями Радона, Фурье и лучевым преобразованием.
В предыдущих параграфах были рассмотрены формулы непосредственного обращения лучевого преобразования. Существуют также методы томографической реконструкции, основанные на предварительном вычислении преобразования Фурье искомой функции или ее преобразования Радона. Как уже отмечалось ранее, в случае двух переменных лучевое преобразование и преобразование Радона совпадают. В трехмерном пространстве v это разные преобразования.
Для понимания сути методов томографии весьма полезны соотношения между различными видами преобразований. Многие такие соотношения можно получить в пространствах любой размерности. Однако здесь мы будем, как правило, рассматривать практически важные случаи двух и трех переменных.
Соотношение между преобразованиями Радона и Фурье.
Пусть - преобразование Фурье функции f(x1, x2, x3):
.
Интегрируя сначала при фиксированном p по плоскости l 1x1 + l 2x2 + l 3x3 = p, а затем по p приходим к хорошо известному выражению, связывающему преобразования Фурье и Радона
. (2.3.1)
Соотношение между преобразованием Радона и преобразованием Фурье лучевых данных.
В [21] предложен способ инвертирования лучевого преобразования, основанный на том, что по исходным данным восстанавливается преобразование Радона функции f(x)
,
что позволяет по известным формулам восстановить f(x).
При выводе формул обращения в работе используется функция
. (2.3.2)
Можно показать что для функций и справедливо соотношение
, (2.3.3)
здесь С v некоторая константа. Равенства (2.3.2) и (2.3.3) дают связь между преобразованием Радона и лучевым преобразованием в трехмерном пространстве:
, (2.3.4)
Отметим также, что поскольку
, . Равенство (2.3.4) может быть записано в виде . Из последнего равенства и определения функции следует, что функция x постоянна на плоскостях, ортогональных вектору x , так как для всех x, принадлежащих такой плоскости, скалярное произведение (x, x ) равно константе. Этот факт лежит в основе многих методов обращения лучевого преобразования. Это утверждение получено в [40], для случая комплексных пространств. Для действительных пространств это утверждение содержится в работах. Оно и может быть использовано для восстановления функции в точках x, принадлежащих области D, по значениям на ее границах.
Соотношение между преобразованием Фурье лучевых данных и преобразованием Фурье искомой функции f(x).
В работе получено равенство:
, (2.3.5)
устанавливающее связь между преобразованием Фурье лучевых данных и преобразованием Фурье самой функции f, преобразование Фурье понимается в смысле обобщенных функций. Для того, чтобы использовать эту формулу для нахождения функции f нужно иметь формулы для вычисления обобщенного преобразования Фурье по лучевым данным. Такие формулы были приведены выше.
В заключение, хотелось бы сказать, что раскрытие того множества вопросов, затронутых в данной работе, можно бы было продолжать ещё очень долго, так что ряд тем представлены несколько ужато. Особый интерес представляло изучение именно технической (физической, если угодно) стороны компьютерной томографии, как метода диагностики. Замечаний к работе может, в принципе, возникнуть много, однако надеюсь на несколько снисходительное отношение сроки были сжатые, вопрос обширный (да и сам процесс написания прерывался - пошуровал в компьютере win95.cih).
5. ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА.
1. Розенштраух Л.С. Невидимое стало зримым (успехи и проблемы лучевой диагностики).- М.: Знание, 1987.- 64 с.
2. Томогр