Сравнения высших степеней
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
це число.
Властивість 10. Числа а і b, конгруентні між собою за модулем т, мають з ним одного і того самого найбільшого спільного дільника.
1.2. Класи за даним модулем
Візьмемо деяке натуральне число т; при діленні на т, будь-яких цілих чисел можна дістати тільки т різних невідємних остач, а саме: 0, 1,2, ... , т-1. Отже, множина всіх цілих чисел розібється на т класів чисел, що не перетинаються; при цьому числа, які при діленні на т, даватимуть одну і ту саму остачу r (0 ? r < т), тобто числа, конгруентні за модулем т, утворюють клас чисел за модулем т.
Із сказаного випливає, що всім числам даного класу відповідає одна і та сама остача r; отже, дістанемо всі числа цього класу, якщо в формі mq+r, де r стале, припустимо, що q набирає значення всіх цілих чисел.
З означення конгруентності двох чисел а і b за модулем т із щойно сказаного відразу ж випливає таке твердження.
Два цілих числа а і b тоді і тільки тоді належать до одного класу за модулем т, коли вони конгруентні за цим модулем..
Позначимо через C0 клас чисел, які діляться на т; через C1 клас чисел, які при діленні на т дають в остачі 1, і т. д. і нарешті, через Cm-1 клас чисел, які при діленні на т дають в остачі т-1.
Будь-яке число даного класу називається лишком, або представником цього класу. Отже, якщо число a є представником деякого класу за модулем т, то будь-яке інше число b цього класу задовольняє умову: b?a(mod m), або b=а + тt, де t деяке ціле число, тобто, інакше кажучи, b = а + тt є загальний вигляд цілих чисел, які належать до того самого класу, що й а.
2. Конгруенції з невідомою величиною
Як видно з наведеного нижче малюнку, конгруенції в теорії чисел поділяються на конгруенції за простим та за складеним модулями.
Види конгруенцій
Рисунок
2.1. Класи розвязків конгруенції довільного степеня
Припустимо, що т натуральне число. Конгруенція виду
f (x) ? 0(mod m), (1)
де f (х)= а0хп + а1хп-1 + . . . + аn-1x + an, є многочлен степеня n з цілими коефіцієнтами і а0 ? 0 (mod m) називається алгебраїчною конгруенцією п-го степеня з одним невідомим x.
Цілі значення х, що задовольняють конгруенцію (1), називаються коренями або розвязками цієї конгруенції.
Розвязати конгруенцію це означає знайти всі значення невідомих, які її задовольняють.
Дві конгруенції з одним невідомим називаються еквівалентними, якщо всякий розвязок однієї конгруенції є розвязком іншої.
Теорема 1. Якщо x = x1 задовольняє конгруенцію (1), то всяке число, яке належить до того самого класу лишків за модулем т , що й число x1, також задовольняє цю конгруенцію, тобто розвязком буде весь клас чисел
х ? х1(mod т).
Це твердження безпосередньо випливає з властивостей конгруенцій. Справді, нехай х2 будь-яке число, яке належить до того самого класу лишків за модулем т, що й х1; тоді х2 ? x1(mod m). За умовою х1 є розвязок конгруенції (1), тобто має місце тотожна конгруенція f(x1) ? 0 (mod т), але тоді матиме місце й конгруенція f(x1) ? 0 (mod т), тобто x2 також буде розвязком конгруенції. Оскільки x2 будь-яке число класу х ? х1(mod т), то весь цей клас задовольнятиме дану конгруенцію.
Розвязки конгруенції (1), що належать до одного класу чисел за модулем т, приймають за один розвязок даної конгруенції. При цьому конгруенція (1) має стільки розвязків, скільки класів чисел її задовольняють.
Приклад. Конгруенція
8x5 12x3 13x2 15x + 6 ? 0 (mod 5)
є еквівалентною конгруенції
Зх5 2x3 Зx2 +1 ? 0 (mod 5),
або конгруенції
Зх5 + 3x3 + 2x2 +1 ? 0 (mod 5).
Щоб знайти розвязки останньої конгруенції, випробуємо, приклад, абсолютно найменші лишки за модулем 5: 0, 1, 2, -2, -1. Безпосередньо видно, що 0, 1, -1 задану конгруенцію не задовольняють. При дальшому випробуванні можна скористатись схемою Горнера ( Див. Додаток) з тією тільки відмінністю, що для полегшення кожного разу можна відкидати числа, кратні модулю.
303201236?15?0249?4-236? -15?02-49?4
Отже, конгруенція Зх5 + 3x3 + 2x2 +1 ? 0 (mod 5) не має розвязків, а тому не має розвязків і конгруенція
8x5 12x3 13x2 15x + 6 ? 0 (mod 5).
При розвязуванні конгруенції з невідомою величиною іноді доводиться множити обидві частини конгруенції на ціле число. Для тотожних конгруенцій ця операція, як раніш було показано, завжди законна. Для конгруенцій з невідомою величиною таке перетворення не завжди законне, тобто, інакше кажучи, при такому перетворенні конгруенції може порушитись еквівалентність даної і добутої конгруенцій.
Приклад. Конгруенція
x4 + х3 + х2 + х + 1 ? 0 (mod 5),
як ми вище бачили, має один розвязок: x ? 1 (mod 5). Але, якщо обидві частини цієї конгруенції помножити на 5, то дістанемо конгруенцію:
5x4 + 5х3 + 5х2 + 5х + 5 ? 0 (mod 5),
розвязком якої буде вже будь-яке ціле число. Вона, по суті, перетворюється в конгруенцію 0 ? 0 (mod 5).
Конгруенції виду 0 ? 0 (mod 5) мають очевидно розвязком будь-яке ціле значення невідомого х, тобто є тотожною конгруенцією.
Після наведеного щойно прикладу виникає питання, коли множення обох частин конгруенції з невідомою величиною на ціле число є законним? Відповідь на це дає теорема 2.
Теорема 2. Якщо обидві частини конгруенції (1) помножити на ціле число k, взаємно просте з модулем т, то дістанемо конгруенцію, еквівалентну даній.
Справді, припустимо, що
х = ? (mod т)
є який-небудь розвязок конгруенції (1), тоді
f (?) ? 0 (mod m).
Помножаючи обидві частини цієї конгруенції на k, дістанемо:
k•f (?) ? 0 (mod m). (2)
Отже, ми бачимо, що ? є розвязком конгруенції
k•f (x) ? 0 (m