Соотношение интуитивного и логического в математике
Информация - Философия
Другие материалы по предмету Философия
казать, что это не является какой-то особенностью именно математики. Для примера можно взять юриспруденцию и сравнить законы, которые использовались в средние века, в Новое время и сегодняшний свод законов. Можно увидеть, что при сохранении основных идей (записанных еще в Библии --- не убий, не укради и т.д.) увеличивается детальность и логическая последовательность законов. Тем более это видно в естественных науках. Был момент, когда казалось, что все в математике можно свести к формальным правилам вычислений. Иначе говоря, можно было бы сконструировать некую машину, которая могла бы генерировать все теоремы и их доказательства, а нужда в математике-человеке с его интуицией бы отпала. Только в 30-х годах XX века вновь появилось понимание, что машина не может заменить человека в этой области знаний (и, по-видимому, ни в какой другой).
egincenter
f
О природе математического умозаключения
ndcenter
Сама возможность математического познания при рассмотрении ее с точки зрения логицизма кажется неразрешимым противоречием. Если все предложения в математике выведены одно из другого по правилам формальной логики, то верно ли, что вся математика сводится к бесконечному повторению и тавтологии? Ведь силлогизм Аристотеля не может научить ничему новому, и если все теоремы вытекают из закона тождества, то все должно к сводится к нему и к нескольким аксиомам, лежащим в основе математики. Правда, надо предположить или проверить, что эта система аксиом не сводится к закону противоречия.
Получается, что ни одна теорема не могла бы дать никаких новых знаний, если бы в ее доказательство не входила бы новая аксиома. Ведь сам силлогизм ничего не добавляет к тем данным, которые даются в посылке. Иначе говоря, вся математика сводилась бы к нескольким аксиомам и скрытому способу говорить, что А есть А. Кроме того, если математика имеет дедуктивный характер, то как объяснить тот факт, что 90 процентов математических статей связаны с обобщением уже известных результатов. Чтобы объяснить смысл этих противоречий, надо признать, что математическое умозаключение само по себе имеет род творческой силы, и этим отличается от силлогизма.
Рассмотрим один из важнейших, если не самый важный, тип математических умозаключений, причем сделаем это на простейшем примере, на примере арифметике. Выражение "дважды два равно четырем" используется, когда говорят о чем-то очень простом, элементарном. Это вроде бы ясно, и доказывать тут нечего. Первым пытался доказать это Лейбниц. Для этого необходимо ввести некие понятия (по сути - аксиомы), а именно понятие числа 1 и операции прибавления к некоторому числу х числа 1. Далее определяем числа 2, 3 и 4 следующими равенствами
2=1+1, 3=2+1, 4=3+1. Теперь определим операцию прибавления 2 следующим образом х+2=(х+1)+1. Заметим, что пока ничего содержательного не появилось, но при этом в определении новой операции неявно используется аксиома ассоциативности сложения. Иначе говоря, либо вводится эта аксиома, и тогда новая операция определяется однозначно, либо сначала определяется новая операция прибавления 2, и из нее получается ассоциативность сложения как свойство (а не как аксиома). Далее имеем цепочку равенств 2+2=(2+1)+1=3+1=4. Откуда и получим, что 2+2=4. Таким образом, на основе формально введенных понятий мы доказали формальное(!) равенство. Вроде бы эти рассуждения может проделать и машина, с этим никто не спорит.
Но если спросить любого математика об этом доказательстве, то он скажет, что это рассуждение доказательством не является, это просто проверка. Грань между доказательством и проверкой очень тонкая, и если все математики ее чувствуют интуитивно, то далеко не все смогут ее точно определить. На самом деле проверка - это некое бесплодное рассуждение, где фактически мы просто проверили закон тождества, перевели предпосылки на другой язык. Истинное доказательство должно быть плодотворным, и вывод должен заключать в себе некое новое знание, чем посылка, которое берется не из новых введенных аксиом, а из самой творческой силы умозаключения.
Рассмотрим другое рассуждение, которое, по-видимому, лежит в самой основе математики. Пусть у нас есть некоторое высказывание, зависящее от n, например, что существует n-угольник, у которого 3 острых угла. Ряд силлогизмов будет выглядеть следующим образом
Это верно для n=3.
Если это верно для n=3, то это верно для n=4.
Следовательно, это верно для n=4.
Если это верно для n=4, то это верно для n=5.
Следовательно, это верно для n=5. и т.д.
Таким образом, мы получаем бесконечный ряд силлогизмов. Если мы хотим проверить наше утверждение для 10-угольника, то нам необходимо пройти все предыдущие этапы, и обосновать 7 силлогизмов. Для 100-угольника потребуется немного больше времени --- 97 силлогизмов. Тем не менее это время конечное. А вот если потребуется узнать, верна ли теорема для многоугольника с миллиардом углов, то жизни одного человека уже не хватит. Однако, как бы далеко мы не шли, мы никогда не дойдем до применимой ко всем числам теоремы, которая и есть предмет науки математика. Чтобы ее достигнуть, необходимо пройти бесконечный ряд силлогизмов, то есть надо перескочить бездну, сделать шаг, на который не способна формальная логика, и, следовательно, на этот шаг неспособна машина.
Орудием, которое
позволяет переходить от конечного к бесконечному, является математическая индукция, которая избавляет нас от ряда долгих и однообразных проверок, позволяя получить общую теорему. Надо сказать, что метод математичес