Банаховы пространства. Метрические и нормированные пространства
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
ае необходимости) будем подразумевать, что пространство снабжено естественной (индуцированной) метрикой .
Пусть теперь - некоторая последовательность элементов линейного нормированного пространства L, а - некоторый фиксированный элемент L. Для каждого номера n найдем . Тем самым получим числовую последовательность .
Определение. Элемент линейного нормированного пространства L называется пределом последовательности элементов , если
(или ).
Обозначение: (если необходимо, то указывают, по какой норме рассматривается предел).
Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся (по норме данного пространства), в противном случае - расходящейся.
Пример. Рассмотрим последовательность функций в пространстве . Функция является ее пределом, т.к.
при .
Однако в пространстве эта же самая последовательность расходится. Действительно, допустим, что в равномерной метрике. Тогда
При каждом фиксированном
,
очевидно,
,
и, следовательно,
, т.е.
Но .
Итак, .
Однако такая функция не является непрерывной на , т.е. вообще не принадлежит рассматриваемому пространству. Таким образом, в данная последовательность предела не имеет.
Как видим, одна и та же последовательность может иметь предел в одной метрике и не иметь в другой.
Если последовательность имеет предел, то этот предел единственен. В самом деле, пусть и . Тогда
.
При правая часть стремится к нулю, следовательно, левая часть также стремится к нулю. Но - константа, поэтому =0, а значит, .
Определение предела последовательности элементов нормированного пространства основано на понятии предела числовой последовательности. Используя определение предела числовой последовательности, "расшифруем" более подробно понятие предела в нормированном пространстве.
Элемент линейного нормированного пространства L является пределом последовательности элементов , если для любого (сколь угодно малого) найдется номер N, такой, что для всех номеров n, больших N, выполнено неравенство . Или, в символьной записи,
Рассмотрим теперь понятие фундаментальной последовательности, тесно связанные с понятием предела.
Определение. Последовательность элементов линейного нормированного пространства называется фундаментальной, если
Очевидно, что любая сходящаяся последовательность фундаментальна: если
, то
тогда
для всех номеров что и доказывает фундаментальность последовательности .
Из курса анализа известен критерий Коши: числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна. Иными словами, пространство R устроено так, что в нем не только из сходимости следует фундаментальность, но и наоборот. Однако не любое линейное нормированное пространство устроено таким образом: например, в пространстве рациональных чисел Q (с обычными линейными операциями и нормой ) фундаментальная последовательность может расходиться (такая ситуация имеет место, если пределом последовательности рациональных чисел является число иррациональное).
Определение. Линейное нормированное пространство называется полным, если в нем любая фундаментальная последовательность сходится.
Банахово пространство
Полное линейное нормированное пространство называют также банаховым пространством (по имени выдающегося польско-украинского математика Стефана Банаха (1892-1945)).
Пространства R и C - банаховы, а пространство Q - нет.
Рассмотренное выше пространство - банахово. В самом деле, пусть - фундаментальная последовательность в .
Тогда ( Тогда для любого фиксированного , причем номер N не зависит от x. По критерию Коши равномерной сходимости это означает равномерную сходимость последовательности .
Переходя в неравенстве к пределу при , получим: , откуда следует, что , что означает сходимость последовательности к по норме . Таким образом, пространство - полное, а значит - банахово.
Любопытно, что пространство полным не является. В качестве примера рассмотрим в последовательность . Предположим, что некоторая непрерывная функция f (x) является пределом этой последовательности в метрике .
Очевидно, , а следовательно, если сходится к f (x) в метрике , то сходится и в метрике . Однако, на отрезке [0, 1] рассматриваемая последовательность совпадает с рассмотренной выше последовательностью и имеет своим пределом в функцию, тождественно равную нулю. Аналогично, f (x) является пределом в , а поскольку на [1, 2], то и предел этой последовательности в тождественно равен 1.
В силу единственности предела, получаем, что на [0, 1] и на [1, 2] и при этом f (x) непрерывна на [0, 2]. Очевидно, таких функций не существует.
метрическое линейное банахово пространство
Следовательно, последовательность в расходится. Вместе с тем
при n, m > N.
Выбирая для произвольного фиксированного номер , убеждаемся в фундаментальности данной последовательности в .
Построенный пример легко обобщается с отрезка [0, 2] на произвольный отрезок [a, b]. Итак, пространство неполно.
Примеры. Встречающиеся в математич. анализе Б. п. - это чаще всего множества функций или числовых последовательностей, подчиненные нек-ры