Geum.ru

Сечение многогранников

Курсовой проект - Математика и статистика

Другие курсовые по предмету Математика и статистика

дующие методы:

  1. Метод следов. Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры. Последовательно соединяя образы этих точек, получим изображение искомого сечения.
  2. Метод вспомогательных сечений. Этот метод построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь в виду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются скученными. Тем не менее, в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.
  3. Комбинированный метод построения сечений. Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с методом следов и методом вспомогательных сечений.
  4. Координатный метод построения сечений. Суть координатного метода заключается в вычислении координат точек пересечения ребер или многогранника с секущей плоскостью, которая задается уравнением плоскости. Уравнение плоскости сечения вычисляется на основе условий задачи.

Из всех перечисленных способов построения сечения наиболее приемлемым является координатный метод, так как он связан с большим объемом вычислений и имеет простой алгоритм реализации, что целесообразно реализовать с помощью ЭВМ. Достаточно знать координаты вершин каждой грани многогранника и три точки задающие плоскость сечения.

 

2.2 Задание сечений пространственных тел

 

Как уже говорилось, удобнее всего задавать плоскость сечения тремя точками, причем координаты этих точек должны быть известны или должны вычисляться. Рассмотрим возможные варианты задания точек плоскости сечения:

  1. точка расположена вне многогранника;
  2. точка находится внутри многогранника;
  3. точка расположена в грани многогранника;
  4. точка принадлежит ребру многогранника;
  5. точка принадлежит диагонали многогранника;
  6. точка совпадает с вершиной многогранника.

Условие задания секущей плоскости тремя точками будет выполняться не всегда и в этом случае придется вычислять уравнение плоскости сечения, используя другие методы. В данной работе рассматривается лишь способ задания тремя точками.

 

2.3 Построение сечений пространственных тел. Алгоритм

 

Метод построения сечения заключается в нахождении точек пересечения секущей плоскости с гранями многогранника, а вернее с ребрами многогранника. Проверка на пересечение секущей плоскости и ребра многогранника производится следующим образом:

  1. Составление уравнения секущей плоскости по трем точкам;
  2. Подстановка в уравнение координат концов ребра с целью проверки: расположены ли точки в разных полупространствах относительно плоскости сечения.
  3. Нахождение точки пересечения ребра многогранника и плоскости сечения.

Для каждой грани записываются две точки, причем запись производится только для тех граней, где плоскость сечения пересекла два ребра. Далее используя полученные данные, строится многоугольник сечения следующим образом:

  1. Берем первую пару точек и ищем следующую пару точек в которой повторяется одна из точек первой пары.
  2. Найдя следующую пару проделываем для нее тоже самое, что и для первой пары, но исключаем из поиска первую пару.
  3. Проделываем весь алгоритм для каждой пары, пока не останется одна ненайденная точка.
  4. Полученная цепочка является последовательным описанием ребер многоугольника сечения.

Далее запоминаем полученный многоугольник, как новую грань многогранника.

 

2.4 Исследование свойств сечения

 

Перечислим некоторые свойства сечения (исходя из факта, что сечением является многоугольник).

  1. Уравнение плоскости сечения.
  2. Количество вершин многоугольника сечения.
  3. Площадь многоугольника сечения.
  4. Координаты вершин многоугольника сечения.
  5. Двугранный угол между плоскостью сечения и гранями многогранника.
  6. Углы при вершинах многоугольника сечения.

Некоторые из этих свойств реализованы в программе (1,2,3,4).

 

Пример: Нахождение площади сечения. Так как строятся сечения выпуклых многогранников, то многоугольник сечения будет тоже выпуклым, т.е. его площадь можно найти разбиением на треугольники (площадь сечения равна сумме площадей треугольников из которых оно составлено).

Глава III. Визуализация

 

3.1 Способы визуализации трехмерного пространства

 

Для визуализации используются два вида проекций: параллельные (аксонометрические) (на рисунке слева) и центральные (перспективные)

(на рисунке справа). При построении аксонометрической проекции пространственного тела его отдельные точки сносятся на плоскость проекции параллельным пучком лучей, а при построении центральной проекции пучком лучей исходящих из одной точки, соответствующей положению глаз наблюдателя. Частным случаем аксонометрической п