Решение систем уравнений
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
Задача 1.16
Доказать совместность системы линейных уравнений и решить ее двумя методами:
) методом Крамера,
) методом Гаусса,
Решение:
Система является совместной, если определитель матрицы, составленной из ее коэффициентов, не равен 0
. Метод Крамера.
Где ? - определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы; ?1 ,?2 ,?3 - определители матриц, составленных из коэффициентов системы при замене соответственного столбца на столбец свободных коэффициентов.
? = - 10
Отсюда
. Метод Гаусса. Основан на преобразованиях, которые не изменяют множество решений системы:
перестановка уравнений;
умножения уравнения на число, отличное от нуля;
замена уравнения на сумму этого уравнения и другого из этой же системы.
Посредством этих преобразований приводим систему к треугольному виду.
Умножаем второе уравнение на 3 и складываем с первым. Умножаем первое уравнение на 2, третье - на (- 3) и складываем их
Умножаем третье уравнение на 4 и складываем со вторым.
Мы привели систему к треугольному виду. Отсюда получаем решение:
Задача 2.16
Найти общее и одно частное решение системы линейных уравнений
Решение:
Найдем ранг матрицы
вычтем из третьей строки первую, затем умножим вторую строку на 2 и вычтем из нее первую;
вычтем из третьей строки вторую.
Ранг матрицы равен r = 2 < 3, следовательно выполняется условие существования ненулевого решения однородной системы уравнений.
Выберем в качестве базисного минора
Запишем укороченную систему
В качестве базисных выберем неизвестные х1 и х2. Тогда х3, х4, х5- свободные неизвестные. Полагая х3 = с3, х4 = с4, х5 = с5, получим
Таким образом, общее решение будет
Частное решение найдем, придав сi любые значения, например 1. Тогда частное решение будет
Задача 3.16
Даны координаты вершин пирамиды АВСD.
1. Найти модуль вектора
. Найти площадь грани АВС
. Найти длину высоты, опущенной из вершины D.
. Найти косинус угла между векторами и
. Записать уравнение плоскости АВС
. Записать уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС.
, , ,
Решение
. Найти модуль вектора
. Найти площадь грани АВС. Площадь треугольника АВС численно равна половине модуля векторного произведения любых двух сторон треугольника АВС:
Найдем векторное произведение.
. Найти длину высоты, опущенной из вершины D
Найдем уравнение плоскости АВС. Для этого подставим координаты точек А, В, С в общее уравнение плоскости и решим получившуюся систему уравнений
Решим систему методом Гаусса
В результате имеем уравнение плоскости АВС
Длину высоты находим как расстояние от точки D до плоскости АВС по формуле
. Найти косинус угла между векторами и
Косинус угла между векторами находим как скалярное произведение этих векторов, деленное на произведение их длин
. Записать уравнение плоскости АВС
Уравнение плоскости АВС нашли в п.3
. Записать уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС.
Уравнение высоты находим из тех соображений, что ее направляющий вектор должен быть перпендикулярен плоскости, а, следовательно, совпадать с нормалью. Вектор нормали к плоскости запишем из уравнения плоскости: (- 1, 5, 4)
Тогда уравнение высоты, т.е. прямой, перпендикулярной плоскости с нормалью (- 1, 5, 4) и проходящей через точку будет (исходя из общего уравнения прямой)
Задача 4.16
Даны две смежные вершины квадрата А(1, - 3), В(2, 1). Составить уравнения его сторон.
Решение:
Составим сначала уравнение стороны АВ, исходя из общего уравнения прямой
Прямые АD и BC перпендикулярны прямой АВ, следовательно, их угловой коэффициент будет равен
, а уравнения этих прямых будет
АD: BC:
Свободные члены уравнений найдем, подставив в уравнения координаты точек:
Уравнения, следовательно, будут
АD: BC:
Уравнение прямой СD будет иметь угловой коэффициент такой же как и уравнение прямой АВ и будет иметь вид
Чтобы найти свободный член, найдем длину стороны квадрата АВ
Найдем расстояние l от прямых АВ и CD до начала координат. Для этого найдем координаты точек пересечения этих прямых и перпендикуляра, опущенного из начала координат:
Тогда расстояние до начала координат будет
Так как для прямой АВ b = - 7 , то
Расстояние между прямыми АВ и CD равно стороне квадрата. Следовательно, расстояние от прямой CD до начала координат, можем найти:
Будем учитывать, что сторона СD может лежать как с одной стороны от стороны АВ, так и с другой, поэтому задача решается неоднозначно.
Но , откуда
В результате имеем уравнение прямой СD
Ответ: Уравнения сторон квадрата бу?/p>