Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
й Tform , Tchart .
К заключению стоит заметить , что программа PrandCo M version 2.41 - разработана на языке Borland Pascal под защищенный режим работы процессора и имеет доступ ко всей оперативной памяти компьютера . Реализует гибкий интерфейс , облегчающим работу с программным обеспечением . Позволяет решить систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Адамса-Башфорта , с возможность просмотра результатов вычисления в виде графиков .
Как показали тестовые программы разработанный алгоритм предоставляет точность вычислений , погрешность которых не превышает 1% .
Тексты программной оболочки PrandCo M version 2.41 приведены в приложении 4 .
5.ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ
Для анализа достоверности получаемых результатов рассмотрим следующие примеры :
5.1.Решение одного дифференциального уравнения
Первым этапом анализа достоверности была проверка правильности решения одного дифференциального уравнения . Полученное численное решение сравнивается с аналитическим .
Пусть требуется решить уравнение :
при начальном условии y(0)=1 , 0<=x<=1 , и шаге интегрирования h=0.1 . Это линейное уравнение , имеющее следующее точное решение :
которое поможет нам сравнить точность численного решения для случая с постоянным шагом , т.к. точность решений с переменным шагом выше . Результаты расчета представлены в Таблице 1 .Как видно из таблицы, отличие между численными и аналитическими решениями удовлетворительное даже для такого большого шага , и не превышает 2% . Теперь решим этот же пример тем же методом , но с переменным шагом . Получаем любопытные зависимости точности от выбора шага , а также шага сходимости , - которые носят периодический характер . Результаты исследования приведены в таблице 2 . Как мы видим, погрешность резко уменьшается с использованием метода с переменным шагом , и показывает очень высокую точность решения для численных методов , не превышающею 1% .
Таблица 1
Таблица 2
Начальный шагМаксимальная погрешностьСведение к шагу 0.11.683 % 0.0250 0.011.163 % 0.0100 0.0010.744 % 0.0040 0.00010.568 % 0.0032 0.000010.451 % 0.0025 0.0000010.723 % 0.0040 0.00000010.578 % 0.0032 0.000000010.462 % 0.0026 0.0000000010.740 % 0.0041 0.00000000010.592 % 0.0033 0.000000000010.473 % 0.0026
Иллюстрация решения данного дифференциального уравнения в виде графика приведена в Приложении 2 .
5.2.Решение системы дифференциальных уравнений
Вторым этапом анализа достоверности полученных результатов была проверка правильности решения системы линейных дифференциальных уравнений с аналитическим решением .
Рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений , которую требуется решить методом Адамса-Башфорта :
Начальными условиями здесь являются :
. Возьмем начальный шаг интегрирования h=0.00001 , время интегрирования по трех точечному методу прогноза и коррекции tp=0.1 и время интегрирования по методу Адамса-Башфорта ta=1 .
Результаты исследования для разных начальных шагов интегрирования приведены в таблице 2 . Мы приходим к выводу , что точность решения одного уравнения и системы дифференциальных уравнений совпадают .
Иллюстрация решения данной системы дифференциальных уравнений приведены в виде графика в приложении 3 .
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной курсовой научно-исследовательской работе разработан алгоритм и программа решения систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка пяти точечным методом прогноза и коррекции Адамса-Башфорта .
Проведены тестовые расчеты , подтвердившие высокую эффективность и точность метода Адамса-Башфорта со стартованием трех точечным методом прогноза и коррекции с переменным шагом .
Проведены ряд исследований решения систем как с постоянным шагом , так и с переменным шагом на сходимость к постоянному шагу .
Во всех случаях получены результаты высокой точности .
Список используемой литературы
1.Дж.Ортега , У.Пул “Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений ”. Пер.с англ.; под редакцией А.А.Абрамова - М.;Наука.Гл.ред.физ.мат.лит.1986.-288с.
2.Р.В.Хемминг “Численные методы для научных работников и
инженеров ”: Пер с англ.:Под редакцией Р.С.Гутера .-
Гл.ред.физ.мат.лит.1968.-203 с.
- Т.Шуп.”Решение инженерных задач наЭВМ. Практическое пособие “
Пер.с англ.-М.Мир.1982.-238с.
Приложение 1 :
Блок схема Алгоритма
-
+
-
+
Пр?/p>