Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАНА
НАВОИЙСКИЙ ГОРНО-МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИЙ КОМБИНАТ
НАВОИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГОРНЫЙ ИНСТИТУТ
КАФЕДРА Естественных и общетехнических дисциплин
КУРСОВАЯ РАБОТА
по предмету: ИНФОРМАТИКА И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Выполнил(а): Тошов М.Н.
группа студента 18-11 М
Принял(а): Салимова C.Х.
Зарафшан 2012
Введение
Компьютерная грамотность, владение компьютерными технологиями являются в современной жизни необходимостью.
В указе Президента Республики Узбекистан И.А. Каримова О дальнейшем компьютеризации и внедрений сказано: Внедрение и развитие компьютерных и информационных технологий в отраслях реальной экономике в сфере управления, бизнеса, науки и образования являются первоочередными задачами.
Современное производство требует знания информационных технологий и навыков работ на компьютере.
Информатика - одна из немногих учебных дисциплин, развивающая таким практическим навыки, которые востребуются напрямую и немедленно, сразу после включения молодого специалиста в профессиональную деятельность.
Естественно, процесс овладения компьютерной грамотностью должен начинаться ещё в школе, но на сегодняшний день ещё не все школы оснащены необходимым оборудованием.
1. Задание
. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
. С помощью формул МНК (метод наименьший квадратов) определить коэффициенты линейной y=ax+b и параболической y=ax2+bx+c зависимости
X0.410.460.520.600.650.72Y2.5742.3252.0931.8621.7491.620
Порядок выполнение работа
а) Изучение литературы для выполнения работы
б) Составление алгоритма
в) Составление программы на языке Паскаль
Содержание пояснение текста
а) Введение
б) Постановка задачи
в) Решение поставленной задачи
2. Решение систем линейных уравнений
Дана система линейных уравнений (СЛУ) с n неизвестными:
В матричной форме записи система (1) имеет вид:
(2)
где : n - порядок системы;
- матрица коэффициентов системы;
- вектор свободных членов;
- вектор неизвестных;
В свернутой форме записи СЛУ имеет вид:
(3)
Система называется обусловленной (не вырожденной, не особенной), если определитель системы DA 0, и тогда система (1) имеет единственное решение.
Система называется не обусловленной (вырожденной, особенной), если DA = 0, и тогда система (1) не имеет решений или имеет бесконечное множество решений.
3. Метод исключений Гаусса
Решим рассмотренную ранее систему (пример 1) методом исключения Гаусса.
Пример. Решение проводиться в два этапа.
1 этап Прямой ход - матрица A преобразуется к треугольному виду: путем эквивалентных линейных преобразований уравнений системы поддиагональные коэффициенты матрицы А обнуляются.
x1 + 5x2 - x3 = 2
x1 2x3 = -1
x1 - x2 - 3x3 = 5
Исключим x1 из 2-го и 3-го уравнения: ко 2-му уравнению прибавим 1-ое, умноженное на (-1); к 3-му уравнению прибавим 1-ое, умноженное на (-2).
x1 + 5x2 - x3 = 2
5x2 + 3x3 = -3
11x2 - x3 = 1
Исключим x2 из 3-го уравнения: к 3-му уравнению прибавим 2-ое, умноженное на (-11/5). Полученный вид системы после прямого хода
x1 + 5x2 - x3 = 2
5x2 + 3x3 = -3
38/5x3 = 38/5
2 этап Обратный ход - вычисляются значения неизвестных, начиная с последнего уравнения:
x3* = -1
-5x2 + 3x3*=-3 x2*=(3 + 3x3*)=(3 + 3(-1))=0
x1 +5x2* - x3*=2 x1*=2 + 5x2* + x3*=2 + 50 + (-1)=1
Полученное решение нужно обязательно проверить, подставив в исходную систему!
Алгоритм прямого хода:
Шаг 1. Примем k=1
Шаг 2. Выбираем рабочую строку.
Если akk ? 0, то k-ая строка - рабочая.
Если нет, меняем k-ю строку на m-ю (n?m>k), в которой amk ? 0,
.
Если такой строки нет, система вырожденная, решение прекратить.
Шаг 3. Для строк i=k+1, k+2, …, n вычисляются новые значения коэффициентов.
, ,
и новые правые части
Шаг 4. Увеличиваем k = k + 1. Если k = n, прямой ход завершен, иначе алгоритм повторяется со второго шага.
Получаем верхнюю треугольную матрицу А:
,
Алгоритм обратного хода:
Шаг 1. Вычислим
Шаг 2. Вычислим:
,
Рис. 1. Основной алгоритм решения СЛУ методом исключения Гаусса
Для контроля правильности решения нужно считать невязки ?i по формуле (4.5).
?i , (5)
Если невязки велики, задача решена неверно. Причиной может быть сбой машины (крайне редко), ошибки в программе, погрешность округления (при большом n и когда DA = detA = 0- система плохо обусловлена).
Разновидности метода исключения:
а) Метод исключения Гаусса с выбором главного элемента в столбце.
В алгоритме прямого хода на шаге 2 рабочая строка выбирается из условия
,
т.е. рабочей выбирается та строка, в которой находится наибольший по модулю коэффициент k-го столбца, расположенный на главной диагонали и под ней.
б) Метод Гаусса-Жордана.
В алгоритм прямого хода нужно внести следующие изменения:
н