Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с заданной точностью
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
1. Постановка задачи
Дано линейное дифференциальное уравнение второго порядка:
(1.1)
с краевыми условиями:
(1.2)
где функции P(x), Q(x), F(x) непрерывны, и - заданные постоянные, причем: и .
Требуется найти решение y(x) уравнения (1.1), удовлетворяющее краевым условиям (1.2).
В данном варианте курсовой работы необходимо:
Решить краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения с точностью Е=1.е-5. Проверить достигнутую точность. Результаты представить с шагом h=0.02. Решение провести тремя следующими методами:
. Сведением краевой задачи к задаче Коши.
2.Методом конечных разностей.
3.Методом Галёркина.
(1.3)
Из условий следует, что функции P(x) = 0.9x; Q(x) =2.3/x ; F(x) =1.8/(x*x)-4 и постоянные a1 = 1, a2 = 0, b1 = 1, b2 = 0, a =1.3, b =1.8, A = 2.2, B = -1.4.
2. Метод сведения краевой задачи к задаче Коши
.1 Описание метода
Решение дифференциального уравнения (1.1) с краевыми условиями (1.2) будем искать в виде линейной комбинации:
где c=const(2.1)
Подставим y(x) в виде (2.1) в исходное дифференциальное уравнение (1.1) и сгруппируем слагаемые при постоянной с, получим выражение:
(2.2)
Потребуем, чтобы равенство (2.2) выполнялось при любом с, для этого необходимо, чтобы коэффициенты при постоянной с обращались в ноль, получим систему уравнений:
(2.3)
Из системы дифференциальных уравнений (2.3) видно, что функция u=u(x) - ненулевое решение соответствующего однородного уравнения, а v=v(x) - некоторое решение данного неоднородного уравнения (1.1).
Чтобы свести краевую задачу (1.1)-(1.2) к задачам Коши для функций u=u(x) и v=v(x), подставим в первое краевое условие (1.2) выражение для функции y(x) и сгруппируем слагаемые при постоянной c, будем иметь:
(2.4)
Для того чтобы равенство (2.4) было справедливо при любом с, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при постоянной с обращались в ноль, т. е. должны быть выполнены равенства:
(2.5)
Получили систему (2.5) из двух уравнений с четырьмя неизвестными. Решений системы будет бесконечное множество. Найдем хотя бы одно.
Для обеспечения первого равенства системы, например, можно подобрать:
(2.6)
где постоянная k отлична от нуля, так как тривиальное решение u(a)=0 можно отбросить.
Для выполнения второго равенства системы (2.5) можно положить
(2.7)
или
при (2.8)
По условию курсовой работы a1 = 1, a2 = 0, A = -2 будем иметь:
(2.9)
(2.10)
Отсюда видно, что u есть решение задачи Коши (2.9) для однородного уравнения (2.3), удовлетворяющее начальным условиям (2.6), а v есть решение задачи Коши (2.10) для неоднородного уравнения (2.3), удовлетворяющее начальным условиям (2.7) или (2.8). При этом для любого с функция y = cu + v удовлетворяет краевому условию на конце x=a.
Подберем теперь постоянную c так, чтобы функция y(x) удовлетворяла краевому условию (1.2) на конце x=b. Это дает:
откуда:
,
при этом предполагается, что знаменатель
Так как по условию работы b1 = 1, b2 = 0, то коэффициент c будет иметь вид:
Для решения полученных уравнений из системы (2.3) будем использовать метод Рунге-Кутта, который имеет достаточно высокую точность на всем интервале порядка
Рассмотрим второе дифференциальное уравнение из системы (2.3) с начальным условием (2.7). Дифференциальные уравнения системы (2.3) являются однотипными, поэтому решение первого уравнения системы (2.3) с начальным условием (2.6) осуществляется аналогичным способом, при условии .
Для того чтобы решить указанное дифференциальное уравнение методом Рунге-Кутта, сделаем замену:
и подставим ее во второе дифференциальное уравнение из системы (2.3), получим:
,
Расчет производим следующим образом: выберем шаг h, приращение x в зависимости от шага будет:
где n=0,1…k-1
Соответствующие значения и искомых функций v и z определяются формулами:
где:
Чтобы достичь заданную точность вычисляем y(x) двумя способами: один раз с шагом h, другой раз с шагом h/2, получая при этом значения более точные. Если расхождение полученных значений не превышает заданной точности Е =, то выбранный шаг h можно считать достаточным и полученная функция y(x) удовлетворяет заданной точности. Иначе уменьшаем шаг h, пока не будет достигнута заданная точность.
2.2 Описание результатов
При решении данного дифференциального уравнения второго порядка с заданными краевыми условиями (1.3) методом сведения к задаче Коши и последующим её решением методом Рунге-Кутта, были получены следующие результаты, представленные в таблице 1. В столбце Х приведено разбиение отрезка [1.3; 1.8] с шагом h = 0.02, в столбце Y(X) - значение функции (n=1,…,26) в соответствующих точках , в столбце E - значения найденных абсолютных погрешностей.
В результате работы программы, листинг которой приведен в приложении 1, точность была достигнута при шаге 0.01, максимальная погрешность равна как видно из таблицы 1 при n=9.
Точность решений определялась из условия, что норма модуля разности более точного решения и приближенного должна быть меньше заданной точности. Для достижения заданной точности E = шаг h = 0.02 уменьшили в 2 раза, так как при шаге h = 0.02 полученная точность не удовлетворяла заданной.
Легко заметить, что полученная максималь?/p>