Решение дифференциальных уравнений в частных производных методом функционального программирования в Maple
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
КУРСОВАЯ РАБОТА
Решение Дифференциальных уравнений в частных производных методом функционального программирования в maple
РЕФЕРАТ
Курсовая работа посвящена решению дифференциальных уравнений в частных производных методом функционального программирования в прикладном математическом пакете Maple.
Составлены таблицы типов информации и типы операций, требующиеся при формальном построении решения дифференциального уравнения в частных производных.
На примере были рассмотрены функциональные алгоритмы построения формальных решений одномерных и двумерных уравнений параболического типа методами, такими как метод разделенных переменных, методы Грина и другие. В приложении показаны примеры решения неоднородных уравнений параболического типа методом Грина.
Работа состоит из введения, 3 разделов, 2 таблиц, заключения, библиографического списка из 4 источников, одного приложения, в котором приведена реализация примеров решения уравнений.
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
.Построение формального решения на входном Maple-языке
.Метод разделения переменных
.Метод функций Грина и другие методы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
ПРИЛОЖЕНИЕ А
ВВЕДЕНИЕ
Прикладной математический пакет MAPLE обладает большим набором инструментов для работы с дифференциальными уравнениями в частных производных. Среди них: установление порядка уравнения, исследование на возможность разделения переменных, определение условий поиска решения в виде суммы или произведения функций, получение решения из функций, получаемых командой pdsolve для разделенных уравнений, выполнение замены переменных и различных подстановок и т.п.
Между тем последовательное решение дифференциальных уравнений в частных производных (даже в самых простых случаях) представляет собой сложную комплексную задачу, требующую специальных математических навыков, корректного учета начальных и граничных условий, проведения исследования полученных решений. При этом трудоемкие разделы математики - векторный анализ, специальные функции, теория рядов, интегральные преобразования и другие - являются необходимыми средствами для решения задач математической физики. Заметим, что эти математические инструменты высокоразвиты в MAPLE и удобны для применения, по их использованию в научных исследованиях и образовании имеется обширная литература. Проблема же решения дифференциальных уравнений в частных производных с использованием математических пакетов в виду ее сложности до сих пор требует особых подходов и разработок. При этом оказывается, что для большого числа задач с использованием символьного MAPLE-процессора можно составить достаточно универсальные алгоритмы, с помощью которых на входном MAPLE-языке можно запрограммировать формальное построение решения дифференциальных уравнений в частных производных. Построенные общие решения могут быть программными же средствами использованы для конкретных физических задач.
1. Построение формального решения на входном Maple-языке
Проблема решения дифференциальных уравнений в частных производных средствами MAPLE представляет собой программную задачу, сочетающую использование инструментов пакета с необходимыми дополнительными алгоритмами: учет начальных и граничных условий (НУ и ГУ), сложные и, зачастую, нетривиальные преобразования промежуточных результатов (основанные, например, на исследовании асимптотического поведения функций), программное использование дополнительной и/или специальной информации (например, использование рекуррентных соотношений для некоторых специальных функций, которые пока недоступны средствами MAPLE) и т.п. Более того, при решении сложных задач требуется программирование отдельных этапов решения с последующим объединением промежуточных результатов, а также создания комплексов программ (например, при комплексном аналитическом и численном - решении уравнений и различных способах визуализации и интерпретации результатов).
Для программирования построения формального решения на входном MAPLE-языке необходим ввод необходимой начальной информации (табл. 1) с последующим выполнением определенных алгоритмических операций (табл. 2).
Таблица 1
Типы информации при решении дифференциальных уравнений в частных производных средствами MAPLE
Тип информацииСодержаниеОсновная Информация Вызов пакетов расширения.Задание системы координат.Ввод дифференциального уравнения в частных производных.Ввод начальных и граничных условий.Ввод различных функций и операторов.Вызов средств аналитического или численного решения уравнений.Дополнительная информацияПредставление функции при разделении переменных.Выполнение замены переменных(при необходимости).Переопределение постоянных, которые по умолчанию присваиваются пакетом.Ввод математической информации, недопустимой в Maple.Ввод специфических данных(физические параметры, габариты и т.д.).Ввод и вывод информации, связанной с текущим контролем выполняемых операций(получение результата для известного частного случая, контроль другими средствами).Ввод информации о форме представления результата (экспоненциальная, тригонометрическая и т.п. формы решения).Ввод информации для исследования промежуточных и конечных результатов (о порядке разложения в ряд, асимптотике, сравнениях и т.п.).Р