Решение алгебраического уравнения n-ой степени
Доклад - Математика и статистика
Другие доклады по предмету Математика и статистика
B.А. Будников
Б 903 Решение алгебраического уравнения n-ой степени - Новосибирск: Интернет, Блоги: budnikov57@mail.ru, 2010. - 26 с.
В работе предложено аналитическое решение (в радикалах) алгебраического уравнения n - ой степени. Решены Проблемы собственных значений для нахождения Функций от Матриц и устойчивости решений линейных дифференциальных и разностных уравнений. Метод решения основан на последовательном получении алгебраического уравнения относительно квадратов независимой переменной и его Решении с последующим возвратом к корням исходного уравнения. Метод характеризуется простотой и требует только умения решать квадратные уравнения и извлекать корни n - ой степени из комплексного числа. Алгоритм решения легко поддаётся программированию. Приведены конкретные примеры решения алгебраических уравнений с третьей по восьмую степень включительно.
Статья может быть полезна Специалистам, занимающимся решением задач Высшей Алгебры, а также Студентам высших учебных заведений, интересующимся сложными математическими Проблемами.
Введение
Проблема решения в радикалах алгебраического уравнения произвольной степени, так называемого Векового уравнения, интересовала математиков всех времён и народов. Удача Тартальи и Феррари в решении уравнений третьей и четвёртой степеней внесла надежду на успехи в этом направлении и далее. Однако Решения долгое время найти не удавалось / 1/. Могу с уверенностью сказать, что все Великие математики, в течение последних пятисот лет, занимались решением уравнений высших степеней. Уравнение пятой степени решали Ньютон, Лейбниц, Лагранж, Эйлер, Гаусс, Тэйлор, Абель, Галуа, Пуанкаре, Клейн, Гильберт и многие другие (Список можно было бы ещё долго продолжать). В справочниках по высшей Математике сказано, что НЕ СУЩЕСТВУЕТ решения в радикалах алгебраических уравнений выше четвёртой степени / 2/. Казалось бы, не существует и решать не надо! Однако в Технике очень важно выбирать параметры Систем в соответствие с принципами Оптимальности, чтобы Объекты, описываемые системами дифференциальных или разностных уравнений, удовлетворяли заданному Критерию качества (например, минимуму потребляемой Энергии или максимальному быстродействию).
Для пояснения дальнейших рассуждений введём систему условных обозначений.
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ:
* - знак умножения,
** - знак возведения в степень,
ABS (x) - абсолютная величина комплексной переменной x,
Re x, Im x - действительная и мнимая величины комплексной переменной x соответственно,
Mod x, Fi x - модуль и угол комплексной переменной x соответственно,
SIN (x), COS (x) - тригонометрические функции sinx и cosx,
ARCTAN (Im x, Re x) - обратная тригонометрическая функция arctg ( (Im x) / (Re x)).
SQRT (x) - операция извлечения квадратного корня из действительного числа x.
PI = 3.141592653589793 - число ?.
В 1683 году друг Г.В. Лейбница Э.В. фон Чирнгауз (1651 - 1708) опубликовал в журнале "Acta Eruditorum" метод преобразования алгебраического уравнения в уравнение той же степени с меньшим числом членов.
Чирнгауз из уравнения
(x**n) + A1* (x** (n - 1)) + A2* (x** (n - 2)) + … + An = 0,
и уравнения с неопределёнными коэффициентами
y = B1* (x** (n - 2)) + B2* (x** (n - 3)) + … + Bn-1,
исключал x. Он полагал, что в полученном уравнении
(y**n) + C1* (y** (n - 1)) + C2* (y** (n - 2)) + … + Cn = 0,
можно будет подобрать коэффициенты Bi, от которых зависят Ci, так, что все коэффициенты Ci, кроме одного, обратятся в нуль. Тогда последнее уравнение примет вид
( y**n) + Cn = 0,
и исходное уравнение относительно переменной x будет разрешимо в радикалах.
Отметим, что в общем случае коэффициент Cn может быть комплексной величиной, для которой, в соответствие с теорией функций комплексного переменного, существуют понятия модуля и угла вектора на комплексной плоскости. Для упрощения рассуждений будем полагать коэффициент Cn действительной величиной ( (-Cn) > 0)
Пусть q = (-Cn) ** (1/n), тогда уравнение относительно переменной yi легко может быть решено
yi = q* (COS (2* (i - 1) *PI/ n) + j*SIN (2* (i - 1) *PI/ n),
где q - арифметический корень n - ой степени из числа (-Cn),
i - порядковый номер корня уравнения, i = 1, n;
j - квадратный корень из ( - 1), мнимая величина.
Выражение COS (2* (i - 1) *PI/ n) + j*SIN (2* (2* (i - 1) *PI/ n) задаёт корни уравнения
( (x**n) - 1) / (x - 1) = 1 + x + (x**2) + … + (x** (n - 1)) = 0.
Последнее представляет собой выражение для суммы n членов геометрической прогрессии с основанием x.
Чирнгаузу удалось решить таким образом уравнение при n = 3, но в общем случае приём к цели не приводил. Лейбниц, которому Чирнгауз сообщил письмом в 1677 году идею метода, заметил, что ничего не получается даже для уравнения пятой степени.
Исаак Ньютон (1643 - 1727) после безуспешных попыток точно решить уравнение пятой степени разработал приближённый метод численного определения действительного корня алгебраического уравнения произвольной степени, получивший его имя и используемый до сих пор (так называемый метод касательных Ньютона). Суть метода заключается в следующем: Предположим, что действительный корень заданного алгебраического уравнения y1 находится в интервале (a, b).
Вычисляют значение алгебраической функции F (a) или F (b), ( F (a) = (a**n) + A1* (a** (n - 1)) + A2* (a** (n - 2)) + …+ An ), записывают уравнение касательной в этой точке и определяют точку пересечения касательной с осью абсцисс, которой присваивают новое значение a или b.
Процесс вычислений выполняют до тех пор, пока не будет достигнута требуемая степень т?/p>