Расчёт в программе оптимального набора ценных бумаг в портфеле инвестиций
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
?аздо более уверенно, нежели их мелкие конкуренты, поскольку крупные инвестиции позволяют приобретать более диверсифицированные портфели и тем самым в значительной мере обезопасить компанию от рыночных рисков.
1.3 Формирование оптимального портфеля
Портфель Марковица минимального риска.
Существует несколько вариантов задач оптимизации рискового портфеля. Рассмотрим одну из них. Это так называемый портфель Марковица. Эта задача была сформулирована и решена американским экономистом Г. Марковицем в 1952 году, за что позднее он получил Нобелевскую премию.
Пусть имеются n видов ценных бумаг, из которых инвестор хочет сформировать портфель. Необходимо найти xi, минимизирующие вариацию портфеля:
Vp = SS xiЧxjЧVij,
при условии, что обеспечивается заданное значение эффективности портфеля mp, т.е.
SxiЧmi = mp.
Поскольку xi - доли, то в сумме они должны составлять единицу: Sxi=1.
Оставив за инвестором выбор средней эффективности портфеля и помогая ему минимизировать в этом случае неопределенность, получаем следующую задачу по оптимизации портфеля ценных бумаг:
SS xiЧxjЧVij (min)
Sxi = 1
SmiЧxi = mp
xi?0,…, xn?0
Опустив условия неотрицательности переменных, получаем собственно задачу Марковица.
Решение.
С помощью функции Лагранжа сведем задачу на условный экстремум к задаче на безусловный экстремум:
L(x1, …, xn, m, l)= SS VijЧxiЧxj - lЧ (Smi -1) - mЧ(SmiЧxi - mp),
= 2ЧSVisЧxi - l - mЧms = 0, s = 1, …, n. (2)
Производные по l, m воспроизводят указанные выше два соотношения, тем самым для (n+2) переменных x1,…, xn, l, m получаем (n+2) уравнения.
Запишем полученные уравнения в матричной форме, используя следующие обозначения:
, , , X= (x1,…, xn), M= (m1,…, mn).
Штрих применяется для обозначения операции транспонирования матрицы.
B - матрица ковариаций, B-1 - обратная ей матрица. Следовательно, уравнения (1) примут вид:
B Ч X = (l/2) Ч E + (m/2) Ч M,
EЧ X = 1,
mЧ X = mp.
Основное допущение этой модели состоит в том, что между эффективностями m1,…, mn нет линейной связи, поэтому ковариационная матрица B невырождена (|B| ? 0), следовательно, существует обратная матрица В-1. Используя этот факт, разрешим в матричной форме относительно Х:
Х = (l/2)*В-1Ч Е + (m/2) Ч В-1Ч М (3)
Подставив это решение в первое и второе условия, получим два уравнения для определения l/2 и m/2:
(Е Ч В-1 Ч Е) Ч (l/2) + (Е Ч В-1 Ч М) Ч (m/2) = 1
(М Ч B-1 Ч Е) Ч (l/2) + (М Ч В-1 Ч М) Ч (m/2) = mp.
Решая два последних уравнения по правилу Крамера, находим:
l/2 = ((М Ч В-1 Ч М) - mp Ч (Е Ч В-1 Ч М)) / ((Е Ч В-1 Ч Е) Ч (М Ч В-1 Ч М) - (М Ч B-1 Ч Е)2)
m/2 = (mp Ч (Е Ч В-1 Ч Е) - (М Ч B-1 Ч Е)) / ((Е Ч В-1 Ч Е) Ч (М Ч В-1 Ч М) - (М Ч B-1 Ч Е)2)
С помощью подстановки можно убедиться, что Е Ч Х* = 1 и М Ч Х* = mp.
Тогда = , что и является минимальным риском портфеля.
Если ?0, то это означает рекомендацию вложить долю наличного капитала в ценные бумаги i-го вида. Если же <0, то содержательно это означает провести операцию short sale (короткая продажа). Инвестор, формирующий портфель, обязуется через какое-то время поставить ценные бумаги i-го вида (вместе с доходом, какой они принесли бы их владельцу за это время). За это сейчас он получает их денежный эквивалент. Эти деньги он присоединяет к своему капиталу и покупает рекомендуемые оптимальным решением ценные бумаги. Так как ценные бумаги других видов (т.е. не i-го вида) более эффективны, то инвестор оказывается в выигрыше. Математически эта операция значит, что нужно исключить этот вид ценных бумаг из рассмотрения и решить задачу заново.
2. Задача формирования портфеля максимальной эффективности из всех портфелей, имеющих риск не более заданного
Постановку Марковица задачи формирования оптимального портфеля можно словами сформулировать так: сформировать портфель минимального риска из всех портфелей, имеющих эффективность не менее заданной.
Но столь же естественна и задача формирования портфеля максимальной эффективности из всех портфелей, имеющих риск не более заданного:
Найти xi, максимизирующие ожидаемую эффективность портфеля:
при условии, что обеспечивается заданное значение риска портфеля, т.е.
поскольку хi - доли, то в сумме они должны составлять единицу:
Для решения описанных выше задач было разработано приложение для ЭВМ.
2.1 Руководство пользователя
Название приложения: OptimalPortfolio.exe.
Дополнительные ресурсы: папка с примерами.
Общий вид программы при запуске.
Это форма предназначена для операций расчёта оптимального набора ценных бумаг в портфеле инвестиций.
Для начала работы пользователь должен ввести исходные данные задачи:
количество ценных бумаг, из которых состоит портфель, в предназначенное для этого поле:
доходности и стандартные отклонения для каждой бумаги в таблицу:
коэффициенты корреляции между доходностями ценных бумаг в таблицу:
выбрать задачу, которую нужно решить, отметив, что будет вводиться: желаемая доходность или допустимый риск:
ввести значение выбранного параметра в поле:
Убедившись, что все данные введены корректно, нужно нажать кнопку
<