Разработка физической модели оптического датчика частоты вращения с математическим обоснованием
Дипломная работа - Транспорт, логистика
Другие дипломы по предмету Транспорт, логистика
?азывают "датчик-распределитель".
Математическая обработка результатов эксперимента
В результате анализа было проведено N = 22 опытов в одинаковых условиях.
Исходные данные:
,9 4,4 4,4 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,8 4,8 4,8 4,9 4,9 5,0 5,0 5,0 5,0 5,2 5,3 5,3 5,7 6,0.
) Определим приближенную ширину интервала:
) Учитывая нежелательность совпадения отсчетов с границами интервалов вычислим:
возьмем
возьмем
) Определим число интервалов группирования экспериментальных данных:
Таблица 1
ПараметрОбозначениеN интервала123456Границы интервала3,9 - 4,254,25 - 4,64,6 - 4,954,95 - 5,35,3 - 5,655,65 - 6Середины интервала4,0754,554,7755,1255,4755,825Частота157702Относительная частота0,050, 230,320,320,00,09Накопленная частота1613202022Оценка интегральной функции0,050,270,590,910,911,0Оценка дифференциальной функции0,1178230,5891150,824760,8247600,235646
4) Определим среднее значение экспериментального распределения:
) Определим дисперсию вариационного ряда:
6) Среднее квадратичное отклонение:
) Определим предельную абсолютную ошибку интервального оценивания математического ожидания:
, где:
?=0,05 - уровень значимости;
?=N-1=21;
t0,05;21=2,2973.
) Определяем доверительный интервал:
Таким образом, с вероятностью PD=1-0,05=0,95 математическое ожидание будет находиться в интервале от 4,2 до 4,9 и только 5% будет иметь математическое ожидание вне этого интервала.
) Определим относительную точность оценки математического ожидания:
Это значит, что половина ширины доверительного интервала составляет 7,7% от величины среднего значения и характеризует относительную точность оценки математического ожидания.
) Размах вариации экспериментальных результатов:
10) Размах колебаний выборки:
Из этого следует, что размах колебаний выборки вокрух среднего значения составляет 15%.
Подбор вероятностной математической модели
Для процессов ТЭА и решения практических задач наиболее характерны вероятностные математические модели, описывающие следующие законы распределения: нормальный, логарифмический нормальный, Вейбулла, экспоненциальный (показательный).
Нормальное распределение является двухпараметрическим. Параметр Х - оценка математического ожидания, характеризует положение центра рассеивания относительно начала отсчета, а параметр ?х - среднее квадратичное отклонение характеризует растянутость распределения вдоль оси абiисс. Физические закономерности формирования нормального распределения следующие. На протекание процесса и следовательно, формирование их показателей оказывает влияние сравнительно большое число независимых элементарных факторов, каждый из которых в отдельности оказывает ничтожное влияние на все вместе взятые. В этом случае процесс хорошо согласуется с мат моделью нормального распределения. Т. о, данное распределение весьма удобно для математического описания суммы случайных величин.
Логарифмически нормальное распределение имеет место тогда, когда не сама случайная величина, характеризующая результаты эксперимента, а ее логарифм распределен по нормальному закону. Физический смысл такое распределение формируется тогда, когда на протекание исследуемого процесса и его результат влияет сравнительно большое число случайных и независимых параметров, интенсивность действия которых зависит от достигнутого случайной величиной состояния. Эту модель удобно использовать для математического описания произведения исходных факторов.
Распределение Вейбулла - удобно если изучаемая система состоит из группы независимых элементов; отказ одного из них приводит к отказу всей системы.
Экспоненциальное. Физическая модель данного закона не учитывает постепенного изменения факторов, влияющих на протекание данного процесса рассматривает так называемые нестареющие элементы и их отказы. данный закон используют при описании внезапных отказов.
При обработке результатов эксперимента на ЭВМ исходные данные аппроксимируются, как правило, несколькими теоретическими моделями. Задача исследователя заключается в обоснованном выборе оптимальной математической модели, обеспечивающей минимальный уровень ошибок в дальнейших расчетах. Данная задача может быть решена следующим образом.
По сходству вида гистограммы эмпирических частостей и плавных кривых теоретических частостей оценок вероятностей Р(xi) в каждом из законов можно сделать предварительное заключение о предполагаемом виде вероятностной математической модели.
Значения коэффициентов вариации для различных законов должны находиться в следующих пределах:
нормальный закон: ?x< 0,4;
логарифмически нормальный закон: ?x =0,3... 0,7;
закон распределения Вейбулла: ?x = 0,35...0,8;
экспоненциальный: ?x > 0,8.
Расчетное значение критерия Пирсона ц| должно быть меньше или равно табличному (теоретическому), т.е
Где ? - уровень значимости
? - число степеней свободы
?=k-S-1
где S - число параметров вероятностной математической модели (для экспоненциального распределения S - 1, для других математических S=2.
Значения приведены в таблице 1.2
Таблица 2
Значения критерия Пирсона
?12345б78910а=0,12,7064,6056,2517,7799,23610,64512,01713,36214,68415,987а=0,053,8415,9917,8159,44811,07012,59214,06715,50716,91918,307
Если для нескольких математических