Разработка программы вычисления корней нелинейных уравнений с помощью метода касательных
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
?етают методы, позволяющие находить корни уравнения (2.1) с любой наперед заданной степенью точности.
Задача нахождения приближенного значения корня делится на два этапа:
) отделение корней - выделения отрезка, принадлежащего области
существования функции f(x), на котором расположен только один корень;
) уточнение приближенных корней, т. е. вычисление их с требуемой
точностью.
Для каждого из этапов решения задачи разработаны свои численные методы.
2.1 Аналитический метод отделения корня
Процесс отделения корней уравнения (2.1) основан на теореме Больцано-Коши:
Если непрерывная функция f(x) принимает на концах отрезка [а,b] значения разных знаков, т.е. f(а)•f(b)<0, то внутри этого отрезка содержится, по крайней мере, один корень. Этот корень будет единственным, если производная f(x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала (а, b).
Рассмотрим на примере аналитический метод отделения корня.
х5 + 5х4-2х3-4x2+7x-3=0
Решение
Составим таблицу знаков функции f(x) (табл. 2.1), полагая x равным:
а) критическим значениям функции (корням производной) или близким к ним;
б) граничным значениям (исходя из области допустимых значений неизвестного).
Имеем. f(x)=5x4+20x3-6x2-8x+7
Корни производной. x=-7, х = -1, x=7/5, x=1, x = 7
Таблица 2.1 - Таблица знаков функции
-?-7-1+17/5+7+?---++++
Из таблицы 2.1 видно, что уравнение имеет один действительный корень: X01(-1;1).
Следовательно, X01(-1;1).
2.2 Уточнение приближенного корня
Искомый корень уравнения (2.1) отделен, т.е. найден отрезок [а, b], на котором имеется один и только один корень уравнения. Любую точку этого отрезка можно принять за приближенное значение корня. Погрешность такого приближения не превосходит длины [а, b]. Следовательно, задача отыскания приближенного значения корня с заданной точностью E сводится к нахождению отрезка [а, b], удовлетворяющего условие
|b-а|<E(2.2)
Эту задачу называют задачей уточнения корня. На практике широкое распространение получили следующие методы:
1) метод половинного деления;
2) метод Ныотона (метод касательных);
3) метод хорд;
4) комбинированный метод хорд и касательных;
5) метод простой итерации.
.3 Метод касательных (метод Ньютона)
Метод Ньютона, или метод касательных, является наиболее часто применяемым методом уточнения корней, пригодным для решения алгебраических и трансцендентных уравнений.
В дальнейшем будем считать, что искомый корень x0 уравнения (2.1) отделен отрезком [а, b], на котором функция f(x) удовлетворяет следующим условиям:
) непрерывна вместе со своими производными до второго порядка, включительно;
) на концах отрезка принимает значения различных знаков;
) производные отличны от нуля и сохраняют определенный знак.
Геометрически это означает, что график функции у = f(x) в любой точке отрезка [а, b] имеет касательную и не имеет экстремумов и точек перегиба (рис. 2.1).
Рис. 2.1 - График функции у = f(x)
За первое приближение корня положим такое значение x1, (x1 [а, b]), при котором знаки функции f(x1) и ее второй производной f (x1) совпадут, и через точку M1(X1,f(x1)) проведем касательную к кривой. Уравнение касательной:
- f(x1) = f (x1)•(x - x1).
Найдем точку x2 пересечения касательной с осью абсцисс. Учитывая, что
y2 = 0, получим
f(x1) = f (x1)•( x2- x1).
Отсюда получаем второе приближение корня
x2 = x1 - f(x1)/ f (x1).
Через точку M2(x2 , f(x2)) снова проводим касательную к кривой, точка пересечения которой с осью Ох даст нам третье приближение корня, и т. д.
Продолжив описанный процесс построения касательных и в вычисления точек их пересечения с осью Ох, получим формулу итерационного метода Ньютона:
, n = 1, 2, 3, …(2.3)
Если первое приближение выбрано достаточно близко к корню, то метод Ньютона всегда сходится.
Отметим одно важное достаточное условие сходимости метода Ньютона. Пусть f(a) -f(b)<0, а f (x) и f (x) отличны от нуля и сохраняют определенные знаки на отрезке [а, b]. Тогда для любого х [а, b], удовлетворяющего условию:
f (x1) f (x1) > 0,(2.4)
метод сходится.
При выполнении условия (2.4) приближение xn+1 будет лежать между xn и x0, т. е. ближе к корню, поэтому при возрастании n приближение xn монотонно стремится к точному решению. Неудачный выбор начального приближения x1 (x1 = а, рис. 2.2) может привести к тому, что последующие приближения выйдут за пределы отрезка [а, b].
Обозначим через М наибольшее значение | f "(х)|, а через т - наименьшее значение | f (х)| на отрезке [а, b]. Тогда абсолютные погрешности двух последовательных приближений хn и xn+1 связаны неравенством
(2.5)
Оценка (2.5) показывает, что погрешность аппроксимации (ограничения) каждого нового приближения уменьшается пропорционально квадрату погрешности предыдущего. Поэтому, если начальное приближение х выбрано так, что
,
то каждое новое приближение удваивает число верных десятичных знаков, т. е. сходимость будет квадратичной. Следовательно, метод Ньютона обеспечивает быструю сходимость, если известно хорошее начальное приближение корня.
Если два последовательных приближения xn+1 и xn , полученные по методу Ньютона, совпадают с точностью E, то это еще не гарантирует совпадения с той же точностью приближения xn+1 с точным решением x0. Для оценки погрешности можно воспользоваться следующим неравенством
(2.6)