Пьер Ферма и его теорема
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
оны, выражение 2l+1 может быть простым лишь тогда, когда l - степень двойки. Итак, каждый нечётный множитель р1=+1.
Числа вида +1 получили название чисел Ферма. Первые пять чисел Ферма (при k=0,1,2,3,4) - 3, 5, 17, 257, 65537 - действительно оказались простыми. Как обнаружил Эйлер, шестое число Ферма 1 делится на 641.
Со времён Эйлера числами Ферма интересовались математики разных стран. В частности, почти ровно сто лет назад 1878 году, на заседании Петебургской академии наук слушалось сообщение Е.И. Золотарева о работе, представленной академии священником Ионном Первушиным. В этой работе устанавливалось, что число делится на 167722161 = 5225+1.
В последнее время многие числа Ферма исследованы на компьютерах. Среди них простых чисел обнаружить так и не удалось, так что до сих пор неизвестно, существуют ли простые числа Ферма, кроме первых пяти. Поэтому я вынуждена сформулировать ответ на задачу в может ещё не окончательной форме:
Правильный n-угольник допускает построение циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда n=2kр1р2…рk , где р1 - попарно различные числа Ферма.
Великая теорема Ферма
Для любого натурального числа n> 2 уравнение xn+yn=zn не имеет натуральных решений x,y и z.
Теорема была сформулирована Пьером Ферма примерно в 1630 году на полях книги Диофанта "Арифметика" следующим образом: "невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем". И далее добавил: "я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком малы". В бумагах Пьера Ферма нашли доказательство теоремы Ферма для n = 4. Нездоровый интерес к доказательству этой теоремы среди неспециалистов в области математики был в свое время вызван большой международной премией, аннулированной в конце первой мировой войны. Предполагается, что доказательство теоремы Ферма вообще не существовало.
Для n = 3 теорему Ферма доказал Л. Эйлер, для n = 5 И. Дирихле и А. Лежандр, для n = 7 - Г. Ламе. Теорему Ферма достаточно доказать для любого простого показателя n = p> 2, т. е. достаточно доказать, что уравнение
+yn=zn
не имеет решений в целых ненулевых взаимно простых числах x, y, z.
Можно также считать, что числа x и y взаимно простых с p. При доказательстве теоремы Ферма рассматривают два случая:
первый случай, когда (xyz, p) = 1 и
второй случай, когда p|z.
Доказательство второго случая теоремы Ферма более сложно и обычно проводится методом бесконечного спуска.
Теорема Ферма может быть сформулирована так: для любого натурального числа n> 2 на кривой Ферма xn + yn = 1 нет рациональных точек, кроме тривиальных (0, 1), (1,0). Рациональные точки на кривой Ферма исследуются методами алгебраической геометрии. Этими методами доказано, что число рациональных точек на кривой Ферма во всяком случае конечно, что следует из гипотезы Морделла, доказанной Г. Фалтингсом.
Уравнение Ферма рассматривается в алгебраических числах, целых функциях, матрицах и т.д. Имеются обобщения теоремы Ферма для уравнений вида
ферма число теорема доказательство
xn+yn=Dzn.
Облегчённая теорема Ферма
Если х, у, z, n - натуральные числа, причём n?z, то равенство xn+yn=zn невозможно.
Доказательство:
Пусть существуют натуральные числа x, y, n, я такие, что n?z и xn+yn=zn. Нетрудно заметить, что xxn, вопреки нашему ожиданию, что xn+yn=zn. Отсюда следует справедливость утверждения.
Что и требовалось доказать.
Малая теорема Ферма
Для любого простого р и целого а, ар-1 - 1 делится на р.
Доказательство:
Рассмотрим два случая: a делится на p; a не делится на p.
) a делится на p;
запишем:? 0 (mod p);? 0 (mod p);">Тогда используя сравнения запишем:? 0 (mod p);? 0 (mod p);
Илиap ? a (mod p).
В этом случае теорема доказана.
) a не делится на p;
Рассмотримчислаa, 2a, 3a,...,(p - 1)a(*).
Покажем, что эти числа дают разные остатки при делении на p. Очевидно, остаток также не может быть 0.
Докажем от обратного.
Пусть какие-то два числа ka, na имеют одинаковые остатки при делении на p (пусть k>n). Тогда разность ka - na делится на p. Значит (k - n)a делится на p. Но a не делится на p, а разница k - n меньше p и отлична от нуля, потому также не делится на p. Мы пришли к противоречию - наше предположение, что числа(*)могут давать одинаковые остатки при делении на p ошибочно. Запишемэто:
a ? r1 (mod p);
a ? r2 (mod p);
...
(p - 1)a ? rp - 1 (modp);
Используя свойства сравнения перемножаем предыдущие сравнения. Так как всего множителей p - 1, а все остатки при делении на p разные, то справа будет (p - 1)!
ap - 1(p - 1)! ? (p - 1)! (modp);
(ap - 1 - 1)(p - 1)! ? 0 (modp);
Но (p - 1)! не делится на p, так как p - простое, а все множители факториала меньше p. Значит (ap - 1 - 1) делится на p.
(ap - 1 - 1) ? 0 (mod p);- 1 ? 1 (mod p);? a (modp);
Что и требовалось доказать.
Пример 1.
Вычислить остаток от деления степени 34746 на 13.
Решение:
По малой теореме Ферма, если p - простое, то остаток от деления степени ар-1 на р равен 1.
Поэтому при вычислении остатка от деления 34746 на 13 мы можем не только сразу уменьшить основание степени до 8 - остатка от деления 34 на 13, но заметив, что 812 при делении на 13 даёт остаток 1, записываем далее:
=812*62+1= 812*62*8, поэтому искомый остаток равен 8.
Пример 2.
Какой остаток при делении на 17 даёт число 96514?
Решение:
Малая т