Продольное и поперечное обтекание тел вращения
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
?ят к модели идеальной жидкости, которая оказывается пригодной для описания многих важных сторон явлений обтекания тел, но по самой своей сущности не может, например, объяснить происхождения сопротивления тел, разогревания жидкостей и газов за счет диссипации механической энергии в тепло, тепломассопереноса в жидкости и др. Для описания этих явлений необходимо пользоваться более сложной моделью вязкой, проводящей тепло и обладающей способностью переноса примесей (диффузии) жидкости или газа.
1. Продольное обтекание тел вращения
Для расчета внешнего осесимметричного обтекания тел вращения (см. Приложение 1) возьмем в меридианальных плоскостях (r, x) эллиптическую систему координат (, ), связанную с (r, x) соотношениями
х = с ch cos , 0 ,
r = с sh sin , 0 2,
где величина c представляет расстояние фокусов семейства координатных линий сoфокусных эллипсов и гипербол от начала координат.
Положим
ch = , cos = , l , -1 1;
тогда связь между координатами (r, x) и (, ) будет иметь вид
х = с,r = с 2 1 1 2. (1)
Определив производные
найдем коэффициенты Ламе
(2)
После этого уже нетрудно составить и основное дифференциальное уравнение Лапласа для потенциала скоростей. Согласно формуле
(*)
получим (3)
Будем искать частное решение этого уравнения в виде произведения двух функций от переменных и в отдельности
= L() M(); (4)
тогда в уравнении (2) переменные разделятся и из равенства
в силу независимости и будет следовать, что каждая из частей равенства должна быть постоянной. Полагая эту постоянную равной n (n+1), где n целое положительное число, получим для определения L() и М() два обыкновенных линейных уравнения второго порядка лежандрова типа
(5)
Этим уравнениям удовлетворяют два класса независимых решений:
- функции Лежандра 1-го рода полиномы Лежандра Pn (х), определяемые равенствами
P0(x) = 1, Р1(х) = х, P2(x) = 0.5 (Зх2-1), P3(x) = 0.5 (5x3-3x),…
и рекуррентным соотношением для вычисления последующих полиномов
(n + 1) Pn +1(х) = (2n + 1) хРn(х) nРn-1(х);
2) функции Лежандра 2-го рода Qn(х), определяемые равенствами
и рекуррентным соотношением
(n + 1) Qn+1(х) = (2n + 1) xQn(х) nQn-1(х),
совпадающим с предыдущим соотношением для полиномов Лежандра.
Представим решение уравнения (3) как сумму двух потенциалов: 1) потенциала однородного потока, набегающего на тело со скоростью U; этот потенциал по первой из формул (1) будет равен = Ux = Uc. и 2) потенциала скоростей возмущений, который выразим суммой частных решений (4).
Функция Pn(х), как полином n-й степени, обращается в бесконечность при бесконечно возрастающем аргументе, функция же Qn(х) при этом стремится к нулю, но зато логарифмически бесконечна при х = 1. В случае внешнего обтекания тела координата = ch может достигать бесконечных значений, а координата ограничена. Примем во внимание, что потенциал скоростей возмущенного движения (т.е. обтекания за вычетом однородного потока со скоростью, равной скорости на бесконечности) должен стремиться к нулю при удалении от поверхности тела, причем .
Из приведенных соображений следует, что искомые частные решения должны иметь вид произведений Qn() Pn() (n = 1, 2,…);
подчеркнем, отсчет n при суммировании начинается с единицы, а не с нуля. Это подтверждается наличием следующих очевидных асимптотических равенств, справедливых при больших значениях , а, следовательно, согласно (1), и R = = х2 + r2, имеющего тот же порядок, что и :
Таким образом, будем иметь правильный порядок убывания на бесконечности, если положим
,(6)
где An - постоянные коэффициенты, зависящие от формы поверхности тела.
Складывая потенциалы и , получим искомый потенциал скоростей продольного обтекания тела вращения со скоростью на бесконечности, равной U,
(7)
Для определения коэффициентов An найдем выражение функции тока . По формуле (2) будем иметь
или после подстановки разложения (7)
Переписывая второе равенство в виде
подставим под знак суммы выражение для Pn из основного дифференциального уравнения функций Лежандра (5)
Тогда будем иметь
Интегрируя по и добавляя необходимую функцию от , получим окончательное выражение для функции тока
(8)
Уравнение нулевой поверхности тока будет
(9)
Сравнивая его с заданным уравнением профиля тела вращения в эллиптических координатах, можно определить величины коэффициентов Аn, что и решает задачу. Конечно, именно этот пункт и является наиболее сложным с вычислительной стороны.
Имея выражение потенциала скоростей, найдем скорость по формуле (10).
2. Поперечное обтекание тел вращения
Наряду с продольным обтеканием тел вращения представляет интерес и поперечное обтекание, перпендикулярное (Приложение 1, б) к оси симметр?/p>