Программная реализация вычислительных алгоритмов
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
Министерство образования Российской Федерации
Рязанская государственная радиотехническая академия
Кафедра ВПМ
Пояснительная записка к курсовой работе
по информатике
На тему
Программная реализация вычислительных алгоритмов
Рязань 2011 г.
Содержание
- Задания на курсовую работу
- Введение
Часть 1
а). Численное дифференцирование
б). Поиск оптимального шага
Часть 2
Аппроксимация функции с помощью формулы Тейлора (ряда Тейлора)
- Описание переменных
- Разработка схемы алгоритмов
- Разработка программы и её описание
- Результаты выполнения программы
- Список используемой литературы
1. Задания на курсовую работу
Задание 1
Составить программу и алгоритм для численного дифференцирования с заданной допустимой погрешностью , где, где -номер варианта, - число человек в группе. Вычислить ошибку метода и ошибку округления, чтобы сравнить с точным значение производной. выбрать таким, чтобы значение производной было порядка_1. Найти оптимальное значение шага и соответствующую ему оценку погрешности. . Производную вычислять по формуле:
Задание 2
Записать ряд и вывести рекуррентную формулу. Составить алгоритм и программу аппроксимации функции (без учета ошибки округления). Вывести номер последнего слагаемого, истинную ошибку ; задать относительную погрешность , значение n должно получиться порядка 4-5. провести контрольный раiет на калькуляторе - результаты должны совпасть. Цикл по х организовывать не нужно, х вводить с клавиатуры. Выводить те же самые величины, а также и полную ошибку .
2. Введение
Часто возникает необходимость, как в самой математике, так и её приложениях в разнообразных областях получать решения математических задач в числовой форме. При этом для многих задач известно только о существовании решения, но не существует конечной формулы, представляющей её решение. Даже при наличии такой формулы её использование для получения отдельных значений решения может оказаться неэффективными. Наконец, всегда существует необходимость решать и такие математические задачи, для которых строгие доказательства существования решения на данный момент отсутствуют. Во всех этих случаях используются методы приближённого, в первую очередь численного решения. Как правило, алгоритмы приближённого решения базируются на том, что исходная математическая задача заменяется некоторой более простой или чаще последовательностью более простых задач. Решение этих более простых задач трактуется как приближённое решение задачи исходной. То есть, фактически используется некоторая модель исходной задачи.
Если задана функция y(x), то это означает, что любому допустимому значению х сопоставлено значение у. Но нередко оказывается, что нахождение этого значения очень трудоёмко. Например, у(х) может быть определено как решение сложной задачи, в которой х играет роль параметра. При этом можно вычислить небольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение функции при большом числе значений аргумента будет практически невозможно. Функция у(х) может участвовать в каких-либо физико-технических или чисто математических раiётах, где её приходится многократно вычислять. В этом случае выгодно заменить функцию у(х) приближённой формулой, то есть подобрать некоторую функцию ?(х), которая близка в некотором смысле к у(х) и просто вычисляется. Затем при всех значениях аргумента полагают у(х)??(х). Большая часть классического численного анализа основывается на приближении многочленами, так как с ними легко работать.
, < ?< (1)
< ?< (2)
, < ?< (3)
Формулы (1)-(3) называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами.
Почти всегда используемые на практике решения математических задач имеют некоторые погрешности. Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами:
1.Математическое описание задачи является не точным, в частности, неточно заданы исходные данные описания.
.Применяемый для решения метод часто не является точным: получение точного решения задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, и поэтому вместо получения точного решения приходится прибегать к приближённому.
.При выполнении арифметических операций на ЭВМ или любым другим образом, как правило, производятся округления.( Это же относится к вводу чисел в память ЭВМ и выводу полученных результатов.)
Погрешности, соответствующие этим причинам, называются:
а) неустранимая погрешность;
б) погрешность метода;
в) вычислительная погрешность.
Главная задача численных методов - фактическое нахождение решения с требуемой или, по крайней мере, оцениваемой точностью.
Оценка погрешности и точности вычисления не менее серьёзный и сложный процесс, чем само приближённое вычисление.
Часть 1
а) Численное дифференцирование
Сразу можно сделать оговорку, что это операция довольно неточная. Рассмотрим простейшую формулу численного дифференцирования:
(1.1) ,
заменим на h
,
при h 0, h>0,
,
где - погрешность
(2.1) ,
последнее слага