Принятие решений в условиях неопределенности
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
10)/4 = -12/4 = -3
Максимальный средний ожидаемый доход равен 12, что соответствует 3-му решению.
Правило минимизации среднего ожидаемого риска.
9 0 3 30
R = 3 4 0 10
0 2 5 0
15 10 20 22
рj = ( 1/2 1/4 1/5 1/20 )
9 0 3 30
R1 :
1/4 1/4 1/4 1/4
3 4 0 10
R2 :
1/4 1/4 1/4 1/4
0 2 5 0
R3 :
1/4 1/4 1/4 1/4
15 10 20 22
R4 :
1/4 1/4 1/4 1/4
R1 = (9+3+30)/4 = 42/4 = 10,5
R2 = (3+4+10)/4 = 17/4 = 4,25
R3 = (2+5)/4 = 7/4 = 1,75
R4 = (15+10+20+22)/4 = 67/4 = 16,75
Минимальный средний ожидаемый риск равен 1.75, что соответствует 3-му решению.
При данных вероятностях состояний теперь требуется проанализировать семейство из 4-х операций: каждая операция имеет две характеристики средний ожидаемый доход и средний ожидаемый риск. Точка (q, r) доминирует точку (q, r), если qq и rr. Точка, не доминируемая никакой другой, называется оптимальной по Парето.
Нанесем для каждой операции эти характеристики на плоскую систему координат для выявления операции, оптимальной по Парето, доход по вертикали и риск по горизонтали.
q 2.6 6.2 7.7 -5.9
r 6.6 3 1.5 15.1
Получим четыре точки. Чем выше точка (q, r), тем доходнее операция, чем правее точка, тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать выше и левее. Это точка Q3 (7.7, 1.5). Она является оптимальной по Парето, т.к. доминирует остальные точки.
Затем найдем выпуклую оболочку множества полученных точек и дадим интерпретацию точек полученной выпуклой оболочки.
Точка Q5 находится на равных расстояниях от точек Q1 и Q4, и соответственно имеет координаты (10.9, -1.7). Аналогично, точка Q6 расположена между точками Q1 и Q2 и имеет координаты (4.8, 4.4).
Байесовский подход к принятию решений.
Предположим, предприниматель раздумывает над выбросом на рынок нового перспективного товара. Но он не знает, “пойдет” ли товар. Для уточнения ситуации он производит пробную партию и смотрит, как он раскупается. После этого ситуация становится более определенной, более прогнозируемой. Для уточнения этой ситуации можно выпустить еще одну пробную партию и проанализировать какие-нибудь другие моменты.
В общем, байесовский подход выглядит следующим образом. Предположим, мы имеем вероятностный прогноз ситуации S: P(S=Hi)=pi. Имея такой прогноз, можно найти средний ожидаемый доход или средний ожидаемый риск. Рассмотрим возможность проведения пробной операции, которая уточнит {pi}. Новое распределение вероятностей есть {pi}. Новому распределению вероятностей соответствуют новые характеристики: средний ожидаемый доход, средний ожидаемый риск. Если ЛПР решит, что при уточнении пробная операция оправдывается (например, если увеличение среднего ожидаемого дохода превышает затраты на проведение пробной операции), то он ее проводит.
0 6 5 2
Q = 6 2 8 22
9 4 3 32
-6 -4 -12 10
рj = ( 1/6 1/6 1/3 1/3 )
0 6 5 2
Q1 :
1/6 1/6 1/3 1/3
6 2 8 22
Q2 :
1/6 1/6 1/3 1/3
9 4 3 32
Q3 :
1/6 1/6 1/3 1/3
-6 -4 -12 10
Q4 :
1/6 1/6 1/3 1/3
Q1= 6/6 + 5/3 + 2/3 = 20/6
Q2 = 6/6 + 2/6 + 8/3+ 22/3 = 68/6
Q3 = 9/6 + 4/6 + 3/3 + 32/3 = 83/6
Q4 = - 6/2 - 4/4 - 12/5 + 10/20 = -14/6
Наибольший доход при пробной операции будет получен при 3-ем решении. Теперь выясним, стоит ли производить пробную операцию, т.е. найдем разность между средним ожидаемым доходом от основной операции (см. Правило максимизации среднего ожидаемого дохода) и полученными в результате пробной операции данными, (83/6 - 7,7 = 184/30 = 92/15 @ 6,13). В итоге можно сказать, что стоимость пробной операции в данном примере не должна превышать @ 6,13.
Для нахождения лучших операций иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая для пар (Q, r) дает одна число, по которому и определяют лучшую операцию.
Для анализа ситуаций можно применить взвешивающую формулу E(Q, r) = 4Q - r. Данная формула говорит, что доход ценится в четыре раза больше, чем риск, т.е. увеличение риска на 4 компенсируется увеличением дохода на единицу.
E1 = 4*2.6 - 6.6 = 3.8
E2 = 4*6.2 - 3 = 21.8
E3 = 4*7.7 - 1.5 = 29.3
E4 = 4*(-5.9) - 25.1 = -48.7
Согласно этой формуле лучшей операцией считается операция № 3, а худшей операция № 4.
Часть I I. Анализ доходности и рискованности финансовых операций.
- ( 10, 1/4 ) ( 8, 1/4 ) ( 2, 1/3 ) ( 4, 1/6 )
- ( -6, 1/4 ) ( -2, 1/4 ) ( 10, 1/3 ) ( -6, 1/6 )
- ( 10, 1/3 ) ( 2, 1/3 ) ( 4, 1/6 ) ( 16, 1/6 )
- ( -6, 1/3 ) ( 15, 1/3) ( -4, 1/6 ) ( 3, 1/6 )
Составим матрицу Q.
10 8 2 4
Q = -6 -2 10 -6
10 2 4 16
-6 15 -4 3
pj = ( 1/4 1/4 1/3 1/6 )
Риск как среднее квадратическое отклонение.
Риск как среднее квадратическое отклонение еще одно понимание риска. Рассмотрим какую-нибудь операцию, доход которой есть случайная велич?/p>