Аналіз стійкості процесів в нелінійній схемі
Контрольная работа - Компьютеры, программирование
Другие контрольные работы по предмету Компьютеры, программирование
Контрольна робота з теми:
АНАЛІЗ СТІЙКОСІ ПРОЦЕСІВ В НЕЛІНІЙНІЙ СХЕМІ
1. Основні поняття теорії стійкості
Будемо розглядати стійкість двох станів нелінійних схем періодичного режиму та положення рівноваги.
В положенні рівноваги схема знаходиться при вимкненій зовнішній дії, але при збережені джерел постійної напруги. Отже, в положенні рівноваги в елементах схеми протікають тільки постійні струми і на елементах діють лише постійні напруги. Цей стан має бути нестійким в автогенераторі і, навпаки, стійким в підсилювачі, помножувачі частоти та інших подібних пристроях.
Нагадаємо, що означає стійкість якого-небудь стана системи. Щоб вирішити стійкий виділений нами стан, треба вивести систему з нього і прослідкувати за її поведінкою. Якщо з часом система повернеться до початкового стану, або приблизиться до нього, то цей стан зветься стійким, або по-іншому стійким за Ляпуновим. Якщо з часом система віддаляється від початкового стану, то його звуть нестійким.
Прийнято наступну термінологію. Початковий стан системи отримав назву незбудженого руху. Процес, протікаючий в системі після того, як вона виведена з початкового стану, зветься збуреним рухом. Різницю між вказаними рухами назвали збуренням. Очевидно, при стані, стійким по Ляпунову, збурення протягом часу не зростають, при асимптотичній стійкості прямує до нуля, а при нестійкому зростають. Таким чином, для аналіза стійкості треба знати поведінку збурень. Складність задачі про їх поведінку визначається початковими значеннями збурень довільне воно або мале порівняно з шуканим рухом. У звязку з цим стійкий стан, знайдений при довільному, але кінцевому відхиленню від нього, звуть стійким в великому. Стійкий стан, отриманий при малому відхиленні від початкового руху, звуть локально стійким (стійким в малому).
Знайдемо рівняння, якому підпорядковані збурення
. (1)
Нехай - стаціонарний стан, стійкість якого досліджується. При маємо положення рівноваги, а при - періодичний режим. Запроваджуючи збурення , запишемо збурений рух
. (2)
Підставимо (2) в (1) і врахуемо, що - рішення (1):
(3)
Отримаємо, що довільні збурення описуються автономним (без правої частини) нелінійним диференційним рівнянням. Нелінійність рівняння зберігається при усякому шуканому стані положенні рівноваги або періодичному режимі.
Розглянемо малі збурення, для яких справедливі умови . Це дає можливість нелінійну функцію з (3) розкласти в ряд по ступеням малих відхилень, обмежуваючись двома першими членами,
,
.
Підстановка в (3) дає
(4)
Тут квадратні дужки вказують на те, що похідні беруться при .
Коли , то , - диференційна провідність і ємність в робочій точці нелінійних елементів. Якщо , то , .
Таким чином, малі збурення описуються лінійним диференційним рівнянням, коефіцієнти якого постійні в випадку, коли розглядається стійкість положення рівноваги, і виявляються періодичними функціями часу для збурень періодичного процесу.
Очевидно, що для виділених станів схеми аналіз стійкості у великому найбільш складний, оскільки він звязаний з рішенням диференційного рівняння. Наступним за складністю буде вивчення локальної стійкості періодичного режиму, а самим простим аналіз локальної стійкості в малому, або в великому важливо при схемотехнічному проектуванні розглядених вузлів.
В автогенераторі положення рівноваги повинно бути нестійким, тому можна обмежитися вивченням локальної стійкості. Той самий стан в підсилювачі потужності і подібних схемах повинен бути стійким. В ході налагодження таких вузлів відхилення від стана рівноваги може і не бути малим. Тому необхідний аналіз стійкості в великому.
Періодичний режим в схемах, де він є робочим, повинен бути стійким, причому бажано, щоб стійкість збереглася і при великих відхиленнях. Стійкість періодичного режиму в великому можливо замінити вимогами про існування в схемі єдиного періодичного режиму. Нелінійні схеми, наділені вказаними властивостями, звуть конвергентними.
Зясуємо характер стійкості, котрий нас цікавить у розгляданих схемах, розглянемо питання, як доцільно проводити аналіз.
Насамперед відмітимо, що критерії конвергентності встановлені лише для кіл з нелінійними опорами. Їх в загальному випадку не можна розповсюджувати на схеми, в яких є нелінійні ємності та індуктивності. Далі, якщо встановлена стійкість положення рівноваги в великому, наприклад, в підсилювачі потужності, то це не гарантує навіть локальної стійкості періодичного режиму.
Прийнявши до уваги викладене, а також складність вивчення стійкості положення рівноваги в великому, приходимо до висновку: на сьогодення змушені обмежиться аналізом стійкості в малому. Це не дозволяє стверджувати, що в проектуємій схемі не виникають ніякі паразитні ефекти. Останнє примусить нас робити в ряді випадків деякі додаткові обчислення. Наприклад, встановити, чи виходить підсилювач потужності із положення рівноваги в періодичний режим при подачі на вхід схеми зовнішнього сигналу.
2. Методи аналізу стійкості положення рівноваги
Малі збурення положення рівноваги описуються лінійним диференційним рівнянням з постійними коефіцієнтами. Так отримаємо
. (5)
Тут - малі збурення, , - диференційн