Подвійний інтеграл
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
ПОДВІЙНИЙ ІНТЕГРАЛ
Содержание
1. Задачі, що приводять до поняття подвійного інтеграла
Задача про обєм циліндричного тіла
Задача про масу пластини
2. Поняття подвійного інтеграла. Умови його існування та властивості
3. Обчислення подвійного інтеграла
1. Задачі, що приводять до поняття подвійного інтеграла
Задача про обєм циліндричного тіла
Нехай маємо тіло, обмежене зверху поверхнею , знизу - замкненою обмеженою областю площини , з боків - циліндричною поверхнею, напрямна якої збігається з межею області , а твірні паралельні осі (рис.1). Таке тіло називають циліндричним.
Обчислимо його обєм . Для цього довільним способом розібємо область на частин , які не мають спільних внутрішніх точок, і площі яких дорівнюють , . У кожній області виберемо довільну точку , знайдемо значення функції в цій точці і обчислимо добуток . Цей добуток дорівнює обєму циліндричного стовпчика з твірними, паралельними осі , основою і висотою . Усього таких стовпчиків є , і сума їхніх обємів
(1)
наближено дорівнює обєму циліндричного тіла . Це наближення тим точніше, чим більше число і чим менші розміри областей . Назвемо діаметром замкненої обмеженої області найбільшу відстань між двома точками межі цієї області. Позначимо через найбільший з діаметрів областей . Тоді природно обєм даного тіла визначити як границю суми (1) при :
. (2)
Задача про масу пластини
Нехай маємо плоску неоднорідну матеріальну пластину, формою якої є область (рис.2). В області задана неперервна функція , яка визначає густину пластини в точці . Знайдемо масу пластини. Для цього довільним способом розібємо область на частини , які не мають спільних внутрішніх точок, і площі яких дорівнюють , .
У кожній області візьмемо будь-яку точку і знайдемо густину в цій точці:
.
Рисунок 1 - Циліндричне тілоРисунок 2 - Матеріальна пластина
Якщо розміри області достатньо малі, то густина в кожній точці мало відрізнятиметься від значення . Тоді добуток наближено визначає масу тієї частини пластини, яка займає область , а сума
(3)
є наближеним значенням маси всієї пластини. Точне значення маси отримаємо як границю суми (3) при :
. (4)
Таким чином, різні за змістом задачі ми звели до знаходження границь (2) і (4) одного й того самого виду. Можна навести ще ряд задач з фізики і техніки, розвязання яких призводить до обчислення подібних границь. У звязку з цим виникає потреба у вивченні властивостей цих границь, незалежно від змісту тієї чи іншої задачі. Кожна така границя називається подвійним інтегралом. Дамо точні означення.
2. Поняття подвійного інтеграла. Умови його існування та властивості
Нехай функція визначена в замкненій обмеженій області . Вважатимемо, що межа області складається із скінченного числа неперервних кривих, кожна з яких визначається функцією виду або . Розібємо область на частини , які не мають спільних внутрішніх точок і площі яких дорівнюють , . У кожній області візьмемо довільну точку і утворимо суму
, (5)
яку назвемо інтегральною сумою для функції за областю . Нехай - найбільший з діаметрів областей . Якщо інтегральна сума (5) при має скінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття області на частинні області , ні від вибору точок в них, то ця границя називається подвійним інтегралом і позначається одним із таких символів:
або .
Таким чином, за означенням
. (6)
У цьому випадку функція називається інтегровною в області;
- областю інтегрування; - змінними інтегрування; (або ) - елементом площі.
Звернемося до задач п. Якщо границі в рівностях (2) і (4) існують, то з цих рівностей і формули (6) отримуємо формули для обчислення обєму циліндричного тіла
(7)
та маси пластинки
. (8)
Якщо у формулі (7) покласти , , то отримаємо формулу для обчислення площі області :
. (9)
Рівності (7) і (8) розглядають відповідно як геометричний та механічний зміст подвійного інтеграла, якщо підінтегральна функція невідємна в області.
Теорема (достатня умова інтегровності функції). Якщо функція неперервна в замкненій обмеженій області, то вона інтегровна в цій області.
Є ще й інші умови існування подвійного інтеграла, але надалі ми вважатимемо, що підінтегральна функція в області інтегрування є неперервною.
Порівнюючи означення подвійного інтеграла (6) та означення визначеного інтеграла
,
бачимо, що конструктивно ці означення цілком аналогічні: в обох випадках розглядається деяка функція , але в першому випадку це функція однієї змінної, визначена на одновимірній області - відрізку , а в другому - це функція двох змінних, визначена у двовимірній області. В обох випадках область визначення розбивається на частини, в кожній з яких береться довільна точка і в ній знаходиться значення функції. Після цього знайдене значення функції множиться на міру відповідної частини області визначення. У випадку однієї змінної такою мірою була довжина відрізка , а у випадку двох змінних - площа області . Наступні кроки знову однакові: у?/p>