Подвійний інтеграл
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
?ворюються інтегральні суми і знаходяться їхні границі, коли міра частин області визначення прямує до нуля. Пізніше ми побачимо, що за цією самою схемою будується і потрійний інтеграл, тільки мірою області там є обєм.
У звязку з цим, властивості подвійного інтеграла аналогічні відповідним властивостям визначеного інтеграла. Сформулюємо ці властивості.
Сталий множник можна винести за знак подвійного інтеграла:
, .
Подвійний інтеграл від суми двох функцій дорівнює сумі подвійних інтегралів від цих функцій:
.
Ця властивість має місце для суми довільного скінченного числа функцій.
Якщо в області функція, то
.
Якщо функції і визначені в одній і тій самій області і , то
.
(Адитивність подвійного інтеграла). Якщо область інтегрування функції розбити на області і , які не мають спільних внутрішніх точок, то
.
Ця властивість називається адитивністю подвійного інтеграла і справедлива для довільного скінченого числа областей, які складають область і не мають спільних внутрішніх точок.
(Оцінка подвійного інтеграла). Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області , яка має площу , то
,
де і - відповідно найменше і найбільше значення підінтегральної функції в області .
(Середнє значення функції.) Якщо функція неперервна в замкненій обмеженій області , яка має площу , то в цій області існує така точка що
.
Величину
називають середнім значенням функції в області .
подвійний інтеграл адитивність
3. Обчислення подвійного інтеграла
Обчислення подвійного інтеграла за формулою (6) як границі інтегральної суми, так само як і у випадку визначеного інтеграла, повязане із значними труднощами. Щоб уникнути їх, обчислення подвійного інтеграла зводять до обчислення так званого повторного інтеграла - двох звичайних визначених інтегралів.
Покажемо, як це робиться. Припустимо, що при функція . Тоді, згідно з формулою (7), подвійний інтеграл виражає обєм циліндричного тіла (рис.3) з основою , обмеженого зверху поверхнею . Обчислимо цей обєм за допомогою методу паралельних перерізів [6]:
,
де - площа перерізу тіла площиною, перпендикулярною до осі , а та - рівняння площин, які обмежують дане тіло. Перед тим, як обчислювати площу зробимо певні припущення відносно області .
Припустимо спочатку, що область інтегрування обмежена двома неперервними кривими та і двома прямими та , причому для всіх (рис.4). Проведемо через точку , де , пряму, паралельну осі . Ця пряма перетинає криві та в точках і , які називатимемо відповідно точкою входу в область і точкою виходу з області . Ординати цих точок позначимо відповідно та , тоді , .
Рисунок 3 - Циліндричне тілоРисунок 4 - Область
Визначена таким чином область називається правильною в напрямі осі . Інакше кажучи, область називається правильною в напрямі осі , якщо довільна пряма, яка проходить через внутрішню точку області паралельно осі , перетинає межу області не більше, ніж у двох точках.
Знайдемо тепер площу . Для цього проведемо через точку площину, перпендикулярну осі (рис.3). У перерізі цієї площини і циліндричного тіла утворюється трапеція . Апліката точки лінії при фіксованому є функцією лише , причому змінюється в межах від до . Площа трапеції дорівнює визначеному інтегралу
.
Підставивши знайдене значення у формулу і враховуючи формулу (7), отримаємо
або в зручнішій формі
. (10)
Це і є шукана формула для обчислення подвійного інтеграла. Праву частину формули (10) називають повторним інтегралом від функції за областю. У повторному інтегралі (10) інтегрування виконується спочатку за змінною (при цьому вважається сталою), а потім за змінною . Інтеграл за змінною називають внутрішнім, а за змінною - зовнішнім. У результаті обчислення внутрішнього інтеграла (в межах від до ) одержуємо певну функцію від однієї змінної . Інтегруючи цю функцію в межах від до , тобто обчислюючи зовнішній інтеграл, отримаємо деяке число - значення подвійного інтеграла. Зауваження Наведені геометричні міркування при одержанні формули (10) можливі у випадку, коли . Проте формула (10) залишається справедливою і в загальному випадку. Зауваження 2. Якщо область обмежена двома неперервними кривими і двома прямими причому для всіх , тобто якщо область правильна в напрямі осі (рис.5), то справедлива формула
. (11)
Тут внутрішнім є інтеграл за змінною . Обчислюючи його в межах від до (при цьому вважається сталою), отримаємо деяку функцію від однієї змінної . Інтегруючи потім цю функцію в межах від до , отримаємо значення подвійного інтеграла.
Зауваження 3. Якщо область правильна в обох напрямах, то подвійний інтеграл можна обчислювати як за формулою (10), так і за формулою (11). Результати матимемо однакові.
Зауваження 4. Якщо область не є правильною ні в напрямі осі , ні в напрямі осі (тобто існують вертикальні і горизонтальні прямі, які, проходячи через внутрішні точки області, перетинають її межу більше, ніж у двох точках), то таку область необхідно розбити на частини, кожна з яких є правильною областю у напрямі чи . Обчислюючи подвійні інтеграли по правильних областях і додаючи результати (властивість адитивності), знаходимо шуканий подвійний інтеграл за ?/p>