Повышение точности и помехозащищённости средств измерений
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
В»ьванической развязкой первичных преобразователей и так далее. Как правило, решение этих задач ложится на долю пользователя этого измерительного прибора.
Рассмотрим более подробно некоторые наиболее распространенные фильтры.
Фильтры при измерениях.
Динамические измерения.
Повышение помехоустойчивости СИ достигается в этом случае фильтрацией помех, которая осуществляется с помощью линейных и нелинейных фильтров. Наиболее известными линейными оптимальными фильтрами являются фильтры Винера и Калмана.
В практике обработки данных используются три основных критерия построения оптимальных фильтров: минимум среднего квадратического отклонения профильтрованного сигнала от его действительного или заданного значения, максимум отношения сигнал/шум и максимум энергетического отношения сигнал/шум на выходе фильтра. Критерии исходят из вероятностно - статистической модели обрабатываемых данных. При анализе и синтезе фильтров используется аддитивная модель входного сигнала: z(t) = x(t)+?(t), где x(t)- полезная составляющая сигнала, ?(t)- составляющая шумов и помех. Синтез оптимальных фильтров производится с максимальным использованием известной информации как о сигналах, которые необходимо выделить, так и о шумах и помехах. Как правило, используется информация о природе полезного сигнала и шума, об их спектральном составе, о корреляционных и взаимных корреляционных характеристиках. Наличие определенных особенностей (различий) в характеристиках сигнала и шума позволяет реализовать фильтр вообще и оптимальный фильтр в частности.
Фильтр Винера.
Данный фильтр иногда называют фильтром Винера - Колмогорова. Как было сказано выше входной сигнал имеет вид суммы полезного (измеряемого) сигнала и помехи:
z(t) = x(t)+?(t) (2.1)
Предполагается, что величины x(t) и ?(t) являются случайными стационарными функциями времени с неизвестными характеристиками. Измерения проводятся на большом интервале времени [-, t]. Входной процесс z(t) предполагается центрированным, т.е. его математическое ожидание равно нулю. Выходной сигнал СИ с фильтром определяется выражением:
(2.2)
где - весовая функция искомого фильтра.
Погрешность фильтрации является также случайным процессов и определяется в виде:
(2.3)
где - идеальный входной сигнал:
(2.4)
где - весовая функция заданного фильтра.
Искомый фильтр характеризуется минимальным риском, определяемым минимумом дисперсии погрешности фильтрации:
(2.5)
Выражение для имеет вид:
(2.6)
Подставляя в (2.6) значение из (2.2) и заменяя произведение интегралов двойным интегрированием, получим:
(2.7)
измерение средство погрешность помеха
так как , где - дисперсия , - ковариационная функция входного сигнала, - взаимная ковариационная функция входного и идеального сигнала.
Таким образом, отыскание оптимальной весовой функции искомого фильтра сводится к решению вариационной задачи поиска минимума. Её решением является интегральное уравнение Винера - Хопфа:
(2.8)
Физически осмысление решения уравнения (2.8), может быть получено, если известно дифференциальное уравнение, связывающее входной сигнал z(t) с белым шумом. Если спектральная функция входного сигнала является дробно-рациональной и её можно представить в виде двух сомножителей , один из которых имеет полюса в верхней полуплоскости, а второй (сопряжённый) - в нижней, то лапласовское изображение оптимальной передаточной функции имеет вид:
(2.9)
где - взаимная спектральная плотность входного и идеального выходного сигналов.
В задаче фильтрации можно принять, что , а полезный сигнал и помеха независимы, тогда (2.9) принимает вид:
Минимум дисперсии погрешности фильтрации, соответствующий оптимальной весовой функции, равен:
Практический пример раiёта фильтра, взятый из [2], приведён в Приложении А.
Фильтр Калмана-Бюси.
В фильтре Винера оптимальная весовая функция получается решением интегрального уравнения, что в реальных случаях оказывается затруднительным. Поэтому в работе Калмана и Бюси была предложена процедура фильтрации, основанная на решении дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями. При выводе уравнения фильтра Калмана-Бюси предполагается, что входной (полезный) сигнал x(t) генерируется уравнением:
где - белый шум; A, В - матрицы.
Сигнал на выходе (результат измерения) удовлетворяет уравнению:
где - матрица, а - белый шум.
Задача формулируется в следующем виде: по заданному построить оценку случайной функции , вида:
минимизирующую дисперсию ошибки фильтрации:
Как и ранее, предполагается, что процессы взаимно независимы и центрированы, а шумы имеют корреляционные функции вида:
где - соответствующие ковариационные матрицы, - дельта-функция Дирака.
Необходимым и достаточным условием того, чтобы было решением фильтрации, является выполнение уравнения Винера - Хопфа:
для всех и , . Или что то же:
При сделанных предположениях справедлива следующая теорема. Пусть для задачи фильтрации существует решение вида:
где - весовая функция, непрерывно дифференцируемая по t, тогда для справедливо соотношение: