Оценивание параметров процесса авторегрессии

Курсовой проект - Менеджмент

Другие курсовые по предмету Менеджмент

Федеральное агентство по образованию

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ТГУ)

Факультет прикладной математики и кибернетики

Кафедра высшей математики и математического моделирования

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПРОЦЕССА АВТОРЕГРЕССИИ

 

 

Руководитель

док. физ-мат наук, доцент

С.Э. Воробейчиков

Автор работы

А.А. Петров

 

 

 

 

 

 

 

Томск 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

1. Введение

. Модели авторегрессии

.1 Оценивание параметра авторегрессии методом МНК

.2 Фильтр Калмана

. Моделирование

. Заключение

Список литературы

Приложение

 

1. Введение

 

Одной из основных характеристик ценных бумаг является доходность, являющаяся случайной величиной. Существует множество моделей, описывающих доходность ценных бумаг: модель скользящего среднего, авторегрессионная модель, модель авторегрессии - скользящего среднего, авторегрессионная модель условной неоднородности.

В курсовой работе в качестве модели рассматриваю модель авторегрессии 1-го и 2-го порядка. Для выбранных моделей оцениваю параметры методом МНК и с помощью фильтра Калмана.

2. Модели авторегрессии

 

Говорят, что последовательность доходностей описывается моделью авторегрессии порядка p, если удовлетворяет следующему уравнению

 

(1)

 

где - стандартная нормальная случайная величина, т.е.

 

 

Модель авторегрессии 1-го порядка. Рассмотрим уравнение авторегрессии 1-го порядка в виде

 

, (2)

 

где , () - неизвестный параметр модели, - мешающий параметр. В стационарном режиме процесс (2) можно записать в виде

 

,

 

где - среднее значение наблюдаемого процесса

 

 

Для исключения влияния мешающего параметра на оценку на каждом шаге будем вычитать из текущего наблюдения оценку среднего. Для этого просуммируем обе части уравнения (2) и разделим на количество

 

(3)

 

Введём обозначения

 

, ,

 

Вычитая из (2) (3) получим

 

(4)

 

В этом виде отсутствует явная зависимость от мешающего параметра. Чтобы уменьшить влияние погрешности оценки среднего, первые наблюдений будем использовать для оценивания М.

Модель авторегрессии 2-го порядка. Рассмотрим уравнение модели авторегрессии 2-го порядка

 

 

где , () - неизвестные параметры модели, а B известно.

 

2.1 Оценивание параметра авторегрессии методом МНК

 

Для получения оценки МНК параметра для модели авторегрессии 1-го порядка рассмотрим сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений переменной от ожидаемых значений

 

 

Необходимое условие минимума приводит к следующей оценке

 

(5)

 

Для модели 2-го порядка сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от ожидаемых значений имеет вид

 

 

Необходимое условие минимума приводит к следующей системе уравнений

 

2.2 Фильтр Калмана

 

Фильтр Калмана также можно использовать для оценки параметра модели.

Рассматривается система линейных разностных уравнений вида

 

, (6)

, (7)

 

- n-мерный вектор состояний, z - l-мерный вектор измерений. и - последовательность гауссовских случайных величин с нулевым математическим ожиданием. Будем считать что они независимы между собой.

Задача состоит в том, чтобы на основе полученных измерений получить оценку

Оценка вычисляется как решение разностного уравнения

 

, (8)

- матричный коэффициент, - невязка. Чем она меньше, тем ближе оценка к истинному значению. Коэффициент K выбирается таким образом, чтобы оценка была несмещённой с минимальной матрицей ковариаций.

Если ввести ошибку , то эта ошибка будет удовлетворять следующему уравнению:

 

,

где

 

 

- последовательность гауссовских случайных величин со свойствами

 

 

Далее введём квадратную матрицу

 

 

Введём и как среднее и матрицу ковариации

Получим следующее

 

 

Осталось выбрать K таким образом, чтобы минимизировать

Представим правую часть в виде полного квадрата относительно K:

 

 

Из последнего равенства получим следующее:

(9)

(10)

 

- оптимальный коэффициент.

- решение уравнения Риккати. Для упрощения моделирования заменяем стационарным значением. , которая находится из алгебраического уравнения Риккати

 

(11)

 

Оценивание параметров регрессии с помощью фильтра Калмана

Так как оцениваем параметр , а он является постоянным, то уравнение для него имеет вид

 

(12)

 

Уравнение наблюдения имеет вид

 

(13)

 

Тогда сравнивая (6), (7) с (12), (13), получим

 

 

В случае уравнения авторегрессии 2-го порядка оцениваем вектор параметров . В этом случае матрица A является единичной 2х2, вектор наблюдения , матрица нулевая, .

 

3. Моделирование

 

Были получены массивы данных, подчиняющихся модели авторегрессии 1-го и 2-го порядка. Параметры модели 1-го порядка:

.

Параметры для модели 2-го порядка:

.

В качестве шумовой компоненты использовались с