Оценивание параметров процесса авторегрессии
Курсовой проект - Менеджмент
Другие курсовые по предмету Менеджмент
Федеральное агентство по образованию
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ТГУ)
Факультет прикладной математики и кибернетики
Кафедра высшей математики и математического моделирования
КУРСОВАЯ РАБОТА
ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПРОЦЕССА АВТОРЕГРЕССИИ
Руководитель
док. физ-мат наук, доцент
С.Э. Воробейчиков
Автор работы
А.А. Петров
Томск 2011
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Введение
. Модели авторегрессии
.1 Оценивание параметра авторегрессии методом МНК
.2 Фильтр Калмана
. Моделирование
. Заключение
Список литературы
Приложение
1. Введение
Одной из основных характеристик ценных бумаг является доходность, являющаяся случайной величиной. Существует множество моделей, описывающих доходность ценных бумаг: модель скользящего среднего, авторегрессионная модель, модель авторегрессии - скользящего среднего, авторегрессионная модель условной неоднородности.
В курсовой работе в качестве модели рассматриваю модель авторегрессии 1-го и 2-го порядка. Для выбранных моделей оцениваю параметры методом МНК и с помощью фильтра Калмана.
2. Модели авторегрессии
Говорят, что последовательность доходностей описывается моделью авторегрессии порядка p, если удовлетворяет следующему уравнению
(1)
где - стандартная нормальная случайная величина, т.е.
Модель авторегрессии 1-го порядка. Рассмотрим уравнение авторегрессии 1-го порядка в виде
, (2)
где , () - неизвестный параметр модели, - мешающий параметр. В стационарном режиме процесс (2) можно записать в виде
,
где - среднее значение наблюдаемого процесса
Для исключения влияния мешающего параметра на оценку на каждом шаге будем вычитать из текущего наблюдения оценку среднего. Для этого просуммируем обе части уравнения (2) и разделим на количество
(3)
Введём обозначения
, ,
Вычитая из (2) (3) получим
(4)
В этом виде отсутствует явная зависимость от мешающего параметра. Чтобы уменьшить влияние погрешности оценки среднего, первые наблюдений будем использовать для оценивания М.
Модель авторегрессии 2-го порядка. Рассмотрим уравнение модели авторегрессии 2-го порядка
где , () - неизвестные параметры модели, а B известно.
2.1 Оценивание параметра авторегрессии методом МНК
Для получения оценки МНК параметра для модели авторегрессии 1-го порядка рассмотрим сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений переменной от ожидаемых значений
Необходимое условие минимума приводит к следующей оценке
(5)
Для модели 2-го порядка сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от ожидаемых значений имеет вид
Необходимое условие минимума приводит к следующей системе уравнений
2.2 Фильтр Калмана
Фильтр Калмана также можно использовать для оценки параметра модели.
Рассматривается система линейных разностных уравнений вида
, (6)
, (7)
- n-мерный вектор состояний, z - l-мерный вектор измерений. и - последовательность гауссовских случайных величин с нулевым математическим ожиданием. Будем считать что они независимы между собой.
Задача состоит в том, чтобы на основе полученных измерений получить оценку
Оценка вычисляется как решение разностного уравнения
, (8)
- матричный коэффициент, - невязка. Чем она меньше, тем ближе оценка к истинному значению. Коэффициент K выбирается таким образом, чтобы оценка была несмещённой с минимальной матрицей ковариаций.
Если ввести ошибку , то эта ошибка будет удовлетворять следующему уравнению:
,
где
- последовательность гауссовских случайных величин со свойствами
Далее введём квадратную матрицу
Введём и как среднее и матрицу ковариации
Получим следующее
Осталось выбрать K таким образом, чтобы минимизировать
Представим правую часть в виде полного квадрата относительно K:
Из последнего равенства получим следующее:
(9)
(10)
- оптимальный коэффициент.
- решение уравнения Риккати. Для упрощения моделирования заменяем стационарным значением. , которая находится из алгебраического уравнения Риккати
(11)
Оценивание параметров регрессии с помощью фильтра Калмана
Так как оцениваем параметр , а он является постоянным, то уравнение для него имеет вид
(12)
Уравнение наблюдения имеет вид
(13)
Тогда сравнивая (6), (7) с (12), (13), получим
В случае уравнения авторегрессии 2-го порядка оцениваем вектор параметров . В этом случае матрица A является единичной 2х2, вектор наблюдения , матрица нулевая, .
3. Моделирование
Были получены массивы данных, подчиняющихся модели авторегрессии 1-го и 2-го порядка. Параметры модели 1-го порядка:
.
Параметры для модели 2-го порядка:
.
В качестве шумовой компоненты использовались с