Осцилятор с неподвижным ограничителем
Контрольная работа - Физика
Другие контрольные работы по предмету Физика
ОСЦИЛЯТОР С НЕПОДВИЖНЫМ ОГРАНИЧИТЕЛЕМ
Свободные колебания груза соударяющегося с препятствием
Груз массы М совершает колебания на пружине жёсткости С с ограничителем с одной стороны от центра колебаний (Рис. 13). Колебания происходят в среде без сопротивления. Амплитуда свободных колебаний превышает величину зазора , то есть при происходит ударное взаимодействие тела с препятствием. Полагаем что удар абсолютно упругий.
колебание груз вибрационный кратность
Рис. 1
Уравнение движения тела между соударениями имеет вид
,
или
, (2)
где . Будем полагать, что при ударе скорость тела меняется мгновенно, а координаты остаются неизменными.
Общее решение уравнения (2) имеет вид:
.
Для определения констант интегрирования необходимо задать два условия. Будем искать периодические решения. Для этого будем полагать, что в начальный момент времени тело взаимодействовало с ограничителем
и совершив полный цикл движения в момент времени (? частота вибрационных колебаний) вновь соударяется с ограничителем
.
Из этих условий получим
,
, , .
Решение имеет вид
. (3)
Полученное решение определено на интервале . Для его продолжения на всю временную ось разложим решение (3) в ряд Фурье.
,
где коэффициенты имеют вид
,
.
Фазовые траектории решения показаны на рисунке Рис. 2
.
Рис. 2
Можно установить связь начального отклонения тела, величины зазора и частоты вибрационных колебаний.
На фазовой плоскости движение тела по дуге траектории происходит с постоянной скоростью . Длинна дуги . Радиус окружности , определяется начальным отклонением тела. Из рисунка (Рис. 3), можно видеть
?
Рис. 3
Следовательно, дуга, которая проходится телом . Время прохождения этой дуги и оно равно периоду вибрационных колебаний . Отсюда следует, что или
Заметим, что
,
поскольку , то .
Обозначим координату максимального отклонения процесса через .
Амплитуда вибрационных колебаний будет равна
, .
Максимальное значение (3)
,
то есть
.
Скелетная кривая показана на рисунке рис. 4
Рис. 4
Можно видеть, что при увеличении амплитуды колебаний их частота приближается к удвоенной частоте линейного осциллятора.
Поскольку разложение в ряд Фурье сходится , то амплитуда основного тона
достаточно точно описывает колебания груза.
Рассмотрим вибрационные колебания в среде с сопротивлением и с учётом не идеальности удара.
В этом случае уравнение движения тела будут иметь вид
, (4)
где , ? коэффициент сопротивления или демпфирования.
Решение уравнения (4) может быть записано в виде
, (5)
где , А, ? амплитуда и фаза колебаний, определяемые начальными условиями.
Очевидно, что вибрационные колебания в среде с сопротивлением и неупругих ударах будут затухать (Рис. 5). Вибрационное затухание будет происходить до того момента времени, когда амплитуда вибрационных колебаний станет меньше зазора . Дальнейший процесс затухания будет проходить как при затухании обычных колебаний.
Зададим следующие начальные условия
.
В этом случае для амплитуды и фазы получим
, .
Следующее соударение произойдёт в момент времени , который определяется из условия . Скорость соударения будет равна
.
Полагая удар неупругим, получим начальное значение скорости для следующего цикла , где ? коэффициент восстановления.
Рис. 5
Потери энергии за один цикл будут равны
.
Вынужденные вибрационные колебания
Установившиеся вынужденные вибрационные колебания носят периодический характер. Причем возможно существование многократных режимов соударения за один период воздействия внешней силы.
Уравнения вынужденных колебаний тела в среде без сопротивления имеют вид
,
где ? частота вынуждающей силы, , Р ? амплитуда вынуждающей силы, ? начальная фаза возбуждения.
Решение ищется в виде
,
где , .
Рис. 6
Скелетные кривые различной кратности
Константы интегрирования определяются из условия существования периодических виброударных режимов
,
где ? кратность режима соударения, ? скорости тела до удара и после удара о преграду. Эти скорости связаны соотношение , ? коэффициент восстановления.
Определяя константы интегрирования получим
,
, ,
где .
Из выражений для фазы колебаний выразим
. (5)
Условие существования действительного решения имеет вид
(6)
или
.
Виброударный режим возможен при условии .
Потребуем, чтобы закон движения удовлетворял условиям в любой момент времени. Для этого потребуем выполнения следующего неравенства .
Если подкоренное выражение больше единицы, то условие положительности скорости после удара выполняется для одного корня. Оно реализуется при усл?/p>