Основы научного исследования и планирование экспериментов на транспорте
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ЗАДАНИЕ
ПОДГОТОВКА ПЛАНА ПРОВЕДЕНИЯ ОДНОФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
ПЛАН ЭКСПЕРИМЕНТА И РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ
УРАВНЕНИЕ РЕГРЕССИИ
РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ В ГРАФИЧЕСКОМ ВИДЕ
ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ И РАБОТОСПОСОБНОСТИ МОДЕЛИ
ВЫВОД
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Современный этап научных исследований характеризуется тем, что наряду с классическим натурным экспериментом все шире применяется вычислительный эксперимент, проводимый на математической модели с помощью ЭВМ. Проведение вычислительного эксперимента значительно дешевле и мобильнее, чем проведение аналогичного натурного, и в ряде случаев вычислительный эксперимент является единственным возможным инструментом исследователя.
Математический аппарат теории планирования и обработки результатов экспериментов в полной мере может быть применен как к натурным, так и к вычислительным экспериментам. В данной контрольно-курсовой работе под проводимым экспериментом будем понимать эксперимент на математической модели, выполненный при помощи ЭВМ.
Основная задача теории планирования и обработки результатов экспериментов это построение статистической модели изучаемого процесса в виде Y = f(X1, X2,…Xk), где X факторы, Y функция отклика. Полученную функцию отклика можно использовать для оптимизации изучаемых процессов, то есть определять значения факторов, при которых явление или процесс будет протекать наиболее эффективно.
Объект исследования одноцилиндровый четырехтактный дизельный двигатель ТМЗ-450Д.
Предмет исследования процесс функционирования двигателя.
Цель исследования анализ влияния одного из параметров двигателя на показатели его работы и получение соответствующей функциональной зависимости
ЗАДАНИЕ
Область планирования фактора X: Xmin = 0,012 м, Xmax = 0,055 м.
План проведения эксперимента:
№ опытаxj1-12-0,83-0,64-0,45-0,26070,280,490,6100,8111
Используя приведенные исходные данные и программу расчета функционирования двигателя, проанализировать влияние радиуса кривошипа (X) на величину максимальной температуры (Y) рабочего тела в цилиндре двигателя. Получить функциональные зависимости между указанными величинами.
ПОДГОТОВКА ПЛАНА ПРОВЕДЕНИЯ ОДНОФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
Используя указанный в задании план проведения эксперимента в кодовом виде, а также область планирования фактора Х (Хmin, Хmax), подготовим план проведения данного однофакторного эксперимента.
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
.
где - интервал (шаг) варьирования фактора;
- натуральное значение основного уровня фактора;
- кодированное значение фактора x;
- натуральное значение фактора в j-ом опыте, где j = 1, 2,…, N; N число опытов.
В дальнейших расчетах будем использовать только натуральные значения факторов и функции отклика.
ПЛАН ЭКСПЕРИМЕНТА И РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ
Используя выданную преподавателем программу расчета (математическую модель) проведем на ЭВМ необходимое количество опытов N. Полученные результаты представим в виде таблицы 1.
Табл. 1
№ опытаXjYj10,0123601,834820,01632712,431030,02062195,434340,02491855,363750,02921626,864460,03351461,245070,03781339,57780,04211250,513590,04641173,9877100,05071126,4606110,0551092,5573
УРАВНЕНИЕ РЕГРЕССИИ
Получим функциональную зависимость Y = f(X) (уравнение регрессии) с помощью метода наименьших квадратов (МНК). В качестве аппроксимирующих функций использовать линейную (Y = a0 + a1X) и квадратичную зависимости (Y = a0 + a1X + a2X2). Посредством МНК значения a0, a1 и a2 найдем из условия минимизации суммы квадратов отклонений измеренных значений отклика Yj от получаемых с помощью регрессионной модели, т. е. путем минимизации суммы:
.
Проведем минимизацию суммы квадратов с помощью дифференциального исчисления, путем приравнивания к 0 первых частных производных по a0, a1 и a2.
Рассмотрим реализацию метода наименьших квадратов применительно к уравнению вида Y = a0 + a1X. Получим:
;
.
Выполнив ряд преобразований, получим систему нормальных уравнений метода наименьших квадратов:
Решая эту систему, найдем коэффициенты a1 и a0:
; .
Для квадратичной зависимости Y = a0 + a1X + a2X2 система нормальных уравнений имеет вид:
Вычислим из N опытов необходимые суммы и данные представим в виде таблицы 2.
Табл. 2
№ опытаXjYjXj2Xj YjXj2YjXj3 Xj410,0123601,83480,00014443,2220170,51866420,00000170,00000002073620,01632712,43100,000265644,2126250,72042160,00000430,000000070543330,02062195,43430,000424345,2259460,93152270,00000870,000000180030440,02491855,36370,0006246,1985561,15032540,00001540,000000384450,02921626,86440,000852647,504441,38706450,00002480,000000726926760,03351461,24500,001122248,9517071,63980910,00003750,000001259332870,03781339,5770,001428850,636011,91398760,0000540,000002041469480,04211250,51350,001772452,6466182,21641010,00007460,000003141401790,04641173,98770,002152954,4730292,527477810,00009980,0000046349784100,05071126,46060,002570457,1115522,89545430,00013030,0000066069561110,0551092,55730,00302560,0906513,30498580,00016630,000009150625?0,368519436,2660,0143782550,2731119,2061220,00061740,0000282173998
Для уравнения регрессии вида Y = a0 + a1X найдем коэффициенты a1 и a0:
.
.
Для уравнения регрессии вида Y = a0 + a1X + a2X2 найдем коэффициенты a1 , a2 и a0:
Решим систему нормальных уравнений способом Крамера:
.
.
.
Найдем определитель (det) матрицы:
.
; ; .
; ; .
РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ В ГРАФИЧЕСКОМ ВИДЕ
Построим графики функций Y = a0 + a1X ; Y = a0 + a1X + a2X2 :
X0,0120,01630,02060,02490,02920,03350,03780,04210,04640,05070,055Y=ao+a1X2833,1432619,92406,6582193,4151980,1721