Основы геодезических измерений
Курсовой проект - Геодезия и Геология
Другие курсовые по предмету Геодезия и Геология
M0 = / v?P
Подставив вместо её значение получим :
M0 = v(??2P/n) / (v?P) = v[(??2P) / n(?P)]
M0 = v[ (?12P1 + ?22P2 +… + ?n2Pn) / n(P1 + P2 + … + Pn) ] формула Гаусса, средняя квадратическая погрешность общей арифметической середины равна корню квадратному из дроби, в числителе которой сумма произведений квадратов погрешностей неравноточных измерений на их веса, а знаменатель произведение количества измерений на сумму их весов.
= v [?( V2P ) / (n-1)] Это формула Бесселя для вычисления средней арифметической погрешности с измерением веса, равным 1 для ряда неравноточных измерений по их вероятнейшим погрешностям. Она справедлива для большого ряда измерений, а для ограниченного (часто на практике) содержит погрешности: m = / [2(n-1)] это надёжность оценки .
Контрольная задача 1
Для исследования теодолита им был многократно измерен один и тот же угол. Результаты оказались следующими: 39?17.4; 39?16.8; 39?16.6; 39?16.2; 39?15.5; 39?15.8; 39?16.3; 39?16.2. Тот же угол был измерен высокоточным угломерным прибором, что дало результат 39?1642". Приняв это значение за точное, вычислить среднюю квадратическую погрешность, определить надёжность СКП, найти предельную погрешность.
Решение:
№ измеренияРезультаты измерений, lПогрешности
? = l-X?2139?17.4+0.70.492 16.8+0.10.013 16.6-0.10.014 16.2-0.50.255 15.5-1.21.446 15.8-0.90.817 16.3-0.40.168 16.2-0.50.25Сумма3.42
39?1642" = 39?16.7
Средняя квадратическая погрешность: m = v([?2]/n),
m = v(3.42/8) = 0.65.
Оценка надёжности СКП: mm = m / v2n,
mm = 0.65 / v16=0.1625?0.16.
Предельная погрешность: ?пр = 3m,
?пр = 30.65 = 1.96
Контрольная задача 2
Дана совокупность невязок треугольников триангуляции объёмом 50 единиц. Считая невязки истинными погрешностями, вычислить среднюю квадратическую погрешность и произвести надёжность СКП, вычислить предельную погрешность. На данной совокупности проверить свойство случайных погрешностей:
Lim[?] / n =0, для чего вычислить W = [W] / n.
NWNWNWNWNW1+1,0211-1,7221-0,9031+2,8041-0,442+0,4112+1,2922+1,2232-0,8142-0,283+0,0213-1,8123-1,8433+1,0443-0,754-1,8814-0,0824-0,4434+0,4244-0,805-1,4415-0,5025+0,1835+0,6845-0,956-0,2516-1,8926-0,0836+0,5546-0,587+0,1217+0,7227-1,1137+0,2247+1,608+0,2218+0,2428+2,5138+1,6748+1,859-1,0519-0,1329-1,1639+0,1149+2,2210+0,5620+0,5930+1,6540+2,0850-2,59
Решение:
W = [W] / n, W = +2,51 / 50 = 0,05
Среднюю квадратическую погрешность в данном случае целесообразно вычислять по формуле: m = v( [W2] [W]2/n ) (n-1),
m = v( 76,5703 (2,512)/50) 49 = 1,249
Оценку надёжности СКП по формуле: mm = m / v2(n-1),
mm = 1,249/ v(249) = 0,13.
Предельная погрешность по формуле: ?пр = 3m,
?пр = 31,249= 3,747.
Контрольная задача 5
Определить СКП расстояния вычисленного по формуле
S = v(x2 x1)2 + (y2 y1)2
если x2 = 6 068 740 м; y2 = 431 295 м;
x1 = 6 068 500 м; y2 = 431 248 м;
mх = my = 0,1 м.
Решение:
S =v(6 068 740 - 6 068 500 )2 + (431 295 - 431 248)2 =235,36
mm = 0,1/ v4 = 0,05
Контрольная задача 6
Один и тот же угол измерен 5 раз с результатами: 60?41; 60?40; 60?40; 60?42; 60?41. Произвести математическую обработку этого ряда результатов измерений.
Решение:
Nп/пl, ??, v, v2, 160?411-0,20,04260?400+0,80,64360?400+0,80,64460?422-1,21,44560?411-0,20,04Сумма402,8
l0 минимальное значение измеряемой величины, l0 = 60?40 ; ? остаток, полученный как ? = l1 - l0 ; L наилучшее значение измеряемой величины,
L = [l]/n; m = v([ v2]/(n 1), где v-уклонение от арифметического среднего. М оценка точности среднего арифметического значения, М = m/vn.
L = 60?40 + 4/5 = 60?40,8
m = v2,8 / 4 = 0,7
М = 0,7/v5 = 0,313
Контрольная задача 7
Произвести математическую обработку результатов измерения планиметром площади одного и того же контура: 26,31; 26,28; 26,32; 26,26; 26,31 га.
Решение:
Nп/пl, га?, гаv, гаv2, га126,310,05-0,0140,000196226,280,02+0,0160,000256326,320,06-0,0240,000576426,2600,0360,001296526,310,05-0,0140,000576Сумма0,1800,0029
l0 = 26,26
L = 26,26 + 0,18/5 = 26,296 га
m = v0,0029/ 4 = 0,0269 га
М = 0,0269/v5 = 0,01204 га
Контрольная задача 8
При исследовании сантиметровых делений нивелирной рейки с помощью женевской линейки определялась температура в момент взятия отчета. Для пяти сантиметровых отрезков получены значения: 20,3?; 19,9?; 20,1?; 20,2?; 20,3?. Провести математическую обработку результатов измерения.
Решение:
Nп/пl, ??, ?v, ?v2, ?120,30,4-0,140,0196219,90-0,260,0676320,10,2-0,060,0036420,20,30,040,0024520,30,40,140,0196Сумма1,300,1128
l0 = 19,9
L = 19,9 + 1,3/5 = 20,16?
m = v0,1128/ 4 = 0,168?
М = 0,168/v5 = 0,075?
3.3 Веса измерений
Вес измерения это отвлеченное число, обратно пропорциональное квадрату СКП результата измерения.
Формула веса:
P = К / m2,
где P вес результата измерения,
К произвольное постоянное число для данного ряда измерений,
m СКП результата измерения.
Из формулы видно, что чем меньше СКП измерения, тем оно точнее и его вес больше.
Отношение весов двух измерений обратнопропорционально квадратам СКП этих измерений, т.е.:
P1 / P2 = m22 / m12
Если имеется ряд измерений l1, l2, …, ln, то очевидно, что вес одного измерения будет меньше веса среднего арифметического этих значений, т.е.:
Pm < PM,
где m погрешность одного измерения,
M погрешность среднего арифметического значения.
Тогда отношение весов ?/p>