Основы высшей математики
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
112104 ЗФК (ЗФ)
Министерство транспорта Российской Федерации
Федеральное Агентство морского и речного транспорта
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Государственный морской университет
имени адмирал Ф.Ф.Ушакова
ЗАОЧНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ
Специальность: ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ И ТЕХНОЛОГИИ
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
СТУДЕНТКИ ЗАОЧНОГО ФАКУЛЬТЕТА
КУРСА
ГОРБАТЕНКО А. П.
Г.НОВОРОССИЙСК
г.
Содержание
Часть 1
Часть 2
Часть 3
ПРИЛОЖЕНИЯ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Часть 1
По координатам вершин пирамиды найти:
) длины ребер и ,
) угол между ребрами и ,
) площадь грани ,
) объем пирамиды;
) уравнения прямых и ,
) уравнения плоскостей и ;
) угол между плоскостями и .
Условие:
, , , .
Решение:
1) Длину ребер и найдем по формуле расстояний между двумя точками:
=
) Угол ? между ребрами А1А2 и А1А3 равен углу между векторами A1 A2 и A1 A3 . Найдем координаты этих векторов:
Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:
Найдем угол между ребрами и
) Площадь грани.
Площадь грани можно найти по формуле:
где
Найдем площадь грани
Найдем угол между ребрами и:
Площадь грани
4) Объем пирамиды.
Найдем координаты векторов, описывающих пирамиду:
А1 (-1, -1, 1)
А2 (-1, -2, 5)
А3 (-3, -1, 1)
А4 (-1, 0, 3)
Поочереди вычитая из координат точки А1 соответсятвуующие координаты остальных точек:
вектор №1 (0, 1, -4)
вектор №2 (2, 0, 0)
вектор №3 (0, -1, -2)
Запишем матрицу, найдем определитель ?:
?= =0*0*(-2)+2*(-1)*(-4)+1*0*0-0*0*(-4)+(-1)*0*0+2*1*(-2)=8+4=12
Определитель данной матрицы в 6 раз больше объма пирамиды:
V=
) Уравнение прямых и
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой
Уравнение прямой
6) Уравнение плоскостей и
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
Уравнение плоскости
(x+1)((-1) 0-0 4) - (y+1)(0 0-(-2) 4) + (z-1)(0 0-(-2) (-1)) = 0x - 8y - 2z + 6 = 0
Уравнение плоскости
(x+1)((-1) 2-1 4) - (y+1)(0 2-0 4) + (z-1)(0 1-0 (-1)) = -6x + 0y + 0z + 6 = 0
) ) Угол между плоскостью и плоскостью
Косинус угла между плоскостью и плоскостью равен углу между их нормальными векторами N1(A1, B1, C1) и N2(A2, B2, C2):
Часть 2
Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Найти ее решение:
1)методом Крамера
2)средствами матричного исчисления
)методом Гаусса
Проверить правильность вычисления обратной матрицы, используя матрияное умножение.
Решение:
1)методом Крамера:
По данным системы составим определитель ?:
Вместо первого столбца поставим столбец свободных коэфицентов, получим ?1:
Вместо первого столбца поставим столбец свободных коэфицентов, получим ?2:
Вместо первого столбца поставим столбец свободных коэфицентов, получим ?3:
Найдем :
; ;
; ;
; ;
Ответ: (-1; 1;2).
2)Средствами матричного исчисления:
Найдем обратную матрицу по формуле:
? - определитель матрицы
- транспонированная матрица
Запишем матрицу, найдем главный определитель:
Вектор В =
Транспонируем матрицу:
Найдем элементы матрицы: для нахождения каждого элемента, мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент, оставшиеся четыре записываем в определитель, вычисляем.
Запишем обратную матрицу:
Проверим правильность обратной матрицы, используя матричное умножение:
Найдем :
; ;
; ;
; ;
Проверка:
*(-1)+0*1+2*2=5
*(-1)+2*1+5*2=10
*(-1)+(-2)*1+2*2=-1
Ответ:(-1, 1, 2).
)Методом Гаусса:
Выписываем матрицу данной системы, состоящую из коэфицентов уравнения и свободных коэфицентов:
Если в каком-то уравнении на певром месте стоит 1, то ставим это уравнение на первую строку.
С помощью этой еденицы обнуляем все первые коэфиценты в каждом уравнении.
Приводим матрицу к ступенчатому виду:
Умножаем первую строку на 2, добавим вторую строку к первой.
Умножаем вторую строку на 3.
Умножаем третью строку на (-2), добавим третью строку ко второй.
Умножим первую строку на 5.
Умножим вторую строку на (-1), ко второй строке прибавим первую.
Из последнего уравнения получившейся матрицы находим , подставляем его в последнее уравнение , поднимаясь выше, находим все неизвестные.
a)
у