Основы математической логики

Основы математической логики.

Необходимость изучения основ математической логики вызывается тем, что она является составной частью теории проектирования ЭВМ и системного анализа объектов или процессов. Функционирование различных компонентов вычислительных машин может быть описано с помощью логических функций и законов математической логики. Кроме того, современные языки программирования включают в себя встроенные логические функции.

Алгебра логики – это раздел математической логики, значения всех элементов (функций и аргументов) которой определены в двухэлементном множестве: 0 и 1. Алгебра логики оперирует с логическими высказываниями.

Высказывание – это любое предложение, в отношении которого имеет смысл утверждение о его истинности или ложности. При этом считается, что высказывание удовлетворяет закону исключенного третьего, т.е. каждое высказывание или истинно, или ложно и не может быть одновременно и истинным и ложным.

В алгебре логики все высказывания обозначаются буквами a, b, c, d и т.д. В дальнейшем над ними можно производить любые действия, предусмотренные данной алгеброй. Причем если над исходными элементами алгебры выполнены некоторые разрешенные в алгебре логики операции, то результаты операций также будут элементами этой алгебры.

Математическая логика – это наука о методах рассуждений, при которых человек отвлекается от содержания рассуждений, а использует только их форму и значение.

1. Логические переменные 0 (ложь) и 1 (истина).
   
2. Функции, которые определены на этих переменных и принимают значения 0 или 1 также называются логическими.
   

Алгебра логики содержит следующие операции, позволяющие производить тождественные преобразования логических выражений:

• логическое сложение или дизъюнкция ( + или );
  
• логическое умножение или конъюнкция ( • или , & );
  
• отрицание
• Закон идемпотентности (одинаковости)
  

а+а=а


а•а=а


1. Закон коммутативности
   

а+в=в+а


а•в=в•а


1. Закон ассоциативности
   

а+(в+с)=(а+в)+с


а•(в•с)=(а•в) •с


1. Законы дистрибутивности
   

а•(в+с)=а•в+а•с


а+в•с=(а+в)•(а+с)


1. Закон двойного отрицания
   



• Законы де Моргана
  



• Законы поглощения
  

а+а•в=а


а•(а+)=а


1. Законы для логических констант
   

а+0=а, а+1=1, а•0=0, а•1=а




• Законы склеивания
  

а•в+

• Закон Блейка-Порецкого
  

а+

• Закон свертки логического выражения
  

а•в+