Логические функции.
В математической логике используются только логические переменные, которые принимают значения 0 («ложь») и 1 (истина).
Функции, которые используют логические переменные, называются логическими. Значения любой логической функции могут принимать значения только 0 и 1. Количество различных наборов, которые могут быть образованы N переменными равно 2. Следовательно, количество различных функций от N переменных будет равно 
логическое сложение или дизъюнкция ( + или );
логическое умножение или конъюнкция ( • или , & );
отрицание 
|
а b
|
a+b
|
|
0 0
|
0
|
|
0 1
|
1
|
|
1 0
|
1
|
|
1 1
|
1
|
Логическое умножение a•b или конъюнкция a b. Конъюнкция двух сомножителей истинна тогда и только тогда, когда истинны оба сомножителя. Таблица истинности имеет вид
|
а b
|
a•b
|
|
0 0
|
0
|
|
0 1
|
0
|
|
1 0
|
0
|
|
1 1
|
1
|
Отрицание
|
а
|
0
|
1
|
|
1
|
0
|
Импликация или функция следования. Запись a ® b читается как a импликация b или из a следует b. Запись a ¬ b читается как b импликация a или из b следует a. Для функции импликации из лжи следует все, что угодно, а из истины только истина. Таблица истинности левой импликации имеет вид
|
а b
|
a ® b
|
|
0 0
|
1
|
|
0 1
|
1
|
|
1 0
|
0
|
|
1 1
|
1
|
Выражение для импликации можно записать в виде a ® b = 
|
а b
|
a ¬ b
|
|
0 0
|
1
|
|
0 1
|
0
|
|
1 0
|
1
|
|
1 1
|
1
|
Выражение для импликации можно записать в виде a ¬ b = a + 
|
а b
|
a 
0 0
|
0
|
|
0 1
|
1
|
|
1 0
|
1
|
|
1 1
|
0
|
Выражение для сложения по модулю 2 можно записать в виде
a 
|
а b
|
a ~ b
|
|
0 0
|
1
|
|
0 1
|
0
|
|
1 0
|
0
|
|
1 1
|
1
|
Выражение для эквивалентности записывается в виде
|
а b
|
ab
|
|
0 0
|
1
|
|
0 1
|
1
|
|
1 0
|
1
|
|
1 1
|
0
|
Функция Шеффера противоположна конъюнкции и выражение для нее имеет вид ab = 
|
а b
|
ab
|
|
0 0
|
1
|
|
0 1
|
0
|
|
1 0
|
0
|
|
1 1
|
0
|
Стрелка Пирса противоположна дизъюнкции и выражение для нее имеет вид ab = = 
|
а b
|
1
|
|
0 0
|
1
|
|
0 1
|
1
|
|
1 0
|
1
|
|
1 1
|
1
|
1(a, b) = 1
Нулевая функция 0 определяет логическую константу 0.
|
а b
|
0
|
|
0 0
|
0
|
|
0 1
|
0
|
|
1 0
|
0
|
|
1 1
|
0
|
Функция сохранения переменной а.
Данная функция истинна тогда и только тогда, когда переменная a истинна.
|
а b
|
a
|
|
0 0
|
0
|
|
0 1
|
0
|
|
1 0
|
1
|
|
1 1
|
1
|
а(а, b) = а.
Функция сохранения переменной b.
Данная функция истинна тогда и только тогда, когда переменная b истинна.
|
а b
|
b
|
|
0 0
|
0
|
|
0 1
|
1
|
|
1 0
|
0
|
|
1 1
|
1
|
b(а, b) = b.
Двоичные логические элементы.
Основными составными частями любых цифровых электронных устройств (ЭВМ, калькуляторов и т.п.) являются логические элементы. Термин «логический» обычно применяют в процедурах принятия решений. Поэтому можно сказать, что логический элемент – это электронная схема, которая в зависимости от входных сигналов «принимает решение» о значении выходного сигнала. Логические элементы, которые мы будем рассматривать, оперируют с двоичными числами и поэтому называются двоичными логическими элементами.
Логический элемент И. Аналогом электронного элемента И является механический переключатель. Схема элемента И представлена на рис.
|
а b
|
a•b
|
|
0 0
|
0
|
|
0 1
|
0
|
|
1 0
|
0
|
|
1 1
|
1
|
и, следовательно, элемент И реализует функцию логического умножения a•b или конъюнкцию a b.
Логический элемент ИЛИ. Схема элемента ИЛИ показана на рис.
|
а b
|
a+b
|
|
0 0
|
0
|
|
0 1
|
1
|
|
1 0
|
1
|
|
1 1
|
1
|
и, следовательно, элемент ИЛИ реализует функцию логического сложения а+b или дизъюнкцию а b.
Логический элемент Инвертор. Схема элемента Инвертор показана на рис.
|
а
|
0
|
1
|
|
1
|
0
|
и, следовательно, элемент Инвертор реализует функцию отрицания 
|
а b
|
0 0
|
1
|
|
0 1
|
1
|
|
1 0
|
1
|
|
1 1
|
0
|
Логический элемент ИЛИ-НЕ. Этот элемент может быть назван элементом отрицания ИЛИ, т.к. он инвертирует выход функции ИЛИ.
|
а b
|
0 0
|
1
|
|
0 1
|
0
|
|
1 0
|
0
|
|
1 1
|
0
|
Логический элемент исключающее ИЛИ
|
а b
|
0 0
|
0
|
|
0 1
|
1
|
|
1 0
|
1
|
|
1 1
|
0
|
Базовые логические схемы.
Цифровые схемы строятся на основе использования простых базовых логических схем И, ИЛИ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ. Существуют три основные операции между логическими переменными: конъюнкция (логическое умножение), дизъюнкция (логическое сложение) и инверсия (логическое отрицание).
Таблицы истинности для булевых выражений.
Булевы выражения – это метод описания принципа работы логической схемы. Таблицы истинности – это другой метод описания того, как работает логическая схема. Конструирование логических схем начинается с составления таблицы истинности. Затем информация о правилах работы логической схемы которая задана в форме таблицы должна быть преобразована в булевы выражения. Основной принцип перехода от таблицы истинности к булеву выражению состоит в том, что нужно искать те комбинации переменных, которые дают логическую единицу в таблице истинности.
Пример.
Таблица истинности имеет следующий вид
|
Входы
|
Выход
|
|
С
|
В
|
А
|
Y
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
0
|
1
|
0
|
|
0
|
1
|
0
|
0
|
|
0
|
1
|
1
|
1
|
|
1
|
0
|
0
|
1
|
|
1
|
0
|
1
|
0
|
|
1
|
1
|
0
|
0
|
|
1
|
1
|
1
|
0
|
Анализ таблицы показывает, что только две из восьми комбинаций двоичных символов на входах А, В, С дают на выходе логическую 1. Это комбинации 
|
a
|
b
|
Перенос С1
|
|
0
|
0
|
0
|
|
|
1
|
0
|
1
|
|
|
0
|
1
|
1
|
|
|
1
|
1
|
0
|
1
|
Пример.
Построить булеву функцию и создать полусумматор из логических элементов.
Таблицу сложения можно рассматривать как таблицу истинности. Из таблицы видно, что состояние выхода переноса С1 можно описать булевым выражением С1 = ab. Следовательно, схемной реализацией этого выражения будет схема И. Состояние выхода полусумматора будет описываться выражением 
|
Входы
|
Выходы
|
|
C1(вход переноса)
|
B
|
A
|
|
C0
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
Схема сумматора приведена на рис.:
