Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | Физика твердого тела, 1999, том 41, № 1 Структуры и термоэлектрическая конвекция в холестерических жидких кристаллах й Е.Д. Эйдельман Химико-фармацевтический институт, Санкт-Петербург, Россия (Поступила в Редакцию 3 июля 1998 г.) Рассмотрены возможности возбуждения структур электромагнитных полей и ячеек конвекции, т. е.

структур температуры и скорости, в термотропном холестерическом жидком кристалле при наличии потока. Проведены оценки и обсуждены возможные эксперименты по обнаружению таких структур. В качестве причины возбуждения исследован особый термоэлектрический эффект Ч влияние изменения шага холестерической спирали молекул, возникающего при нагреве, на электрические характеристики:

диэлектрическую проницаемость и коэффициент проводимости такого вещества.

В жидкокристаллических термотропных веществах хо- 1. Влияние электрофоретических сил.

естерического типа (холестериках, или ХЖК) в ряде Постановка задачи случаев возможно образование (возбуждение) структур, отличных от структур, возникающих в веществах немати- Из-за наличия температурной зависимости обратноческого типа [1]. Возникающие структуры скорее похожи го шага спирали q(T ) в холестерике появляется сила EiEkik. Электрическое поле Ei состоит из термоэлекна ячейки конвекции, появляющиеся при нагревании в тонких слоях (толщиной h < 0.1mm) жидких полупро- трического поля T0 ( Ч коэффициент термоэдс) и поля малых отклонений E1 = -. Перейдем к водников из-за термоэлектрического эффекта [2], ведь в построению теории возбуждения структур (конвекции) ряде случаев термотропные холестерики обладают выэтой силой.

сокими коэффициентами термоэдс, проявляя тем самым Рассмотрим слой холестерика с осями спиралей мосвойства жидких полупроводников [3].

екул (ось x), параллельными его поверхности. (Случай, Причиной различий является наличие вектора, связанкогда оси молекул (направление директора) перпендикуного с направлением оси молекул ХЖК. Величина таколярны поверхности слоя (ось z), может быть рассмотрен го вектора 2/q определяется обратным шагом спирали совершенно аналогично). В плоскости слоя компоненты q, сильно зависящим от температуры T [4]. Даже при тензора диэлектрической проницаемости могут быть заФмалыхФ нагревах A = |T |, таких, что hA/T 1, из-за писаны как ФбольшогоФ изменения шага h|q|/q 1 возможно, что ik = ik +(a)ik, (2) d ln q hA hA где анизотропная часть тензора имеет составляющие 102 1. (1) d ln T T T (a)ix = 0; (a)zy = 0.5 sin(2qx);

Сильное изменение шага спирали при нагревании (a)zz = -(a)yy = 0.5 cos(2qx). (3) приводит к сильной зависимости характеристик ХЖК Величина характеризует степень анизотропии. Отме(например, диэлектрической проницаемости ik, провотим, что совершенно так же (подставляя буквы,, димости ik, вязкости ik, температуропроводности ik и вместо ) можно записать и тензоры других характеридр.) от температуры.

стик холестерика.

Температурная зависимость анизотропных частей Качественно возможности возбуждения можно понять, электрических характеристик среды (a и a) проявлясравнивая электрофоретическую силу с диссипацией.

ется как некоторый новый термоэлектрический эффект, Это можно делать подобно тому (например, см. [7]) возникающий при протекании тока [5]. Влияние этого как сравнивается с диссипацией сила плавучести и в эффекта на условия возбуждения неустойчивостей при результате, их отношение дает критерий возбуждения наличии потока (тепла и заряда) будет рассматриватьконвекции Ч число Рэлея R. Однако в данном слуся далее. Наличие анизотропных частей диссипативных чае при таком сравнении критерий возбуждения не величин (a и a) влияет на возможность поворотов диполучится. Дело в том, что новая сила является быректора n и дает эффекты, присущие всем средам, перестро осциллирующей величиной, она сильно меняется дающим не только всестороннее сжатие, но и кручение.

на малых расстояниях q-1, по величине сопоставимых Количественную теорию этого явления удобнее стро- с размером молекулы холестерика. Макроскопический ить на примере термотропных нематических жидких эффект возбуждения поэтому определяется лишь после кристаллов (см., например, [6]). Далее анизотропия усреднения, которое вносит в условие возбуждения судиссипации не учитывается. щественный множитель. Этот множитель может быть 166 Е.Д. Эйдельман записан различными способами, например (в порядке используя (7), получим ik = ik + nink, что нахоубывания величины) дится в полном соответствии с обычно принимаемыми (см., например, [4]) разложениями.

A dq Ah dq dq Система уравнений электрогидродинамики ХЖК со; ; Ah2 (4) q2 dT q dT dT стоит из стандартных уравнений неразрывности div v = и переноса тепла (/t - )T1 = zA, а также и не может быть ФпойманФ при качественном рассмотреуравнения электронейтральности нии. Оказывается, что критерий возбуждения термоэлектрической конвекции запишется как (ikEk)/xi = 0 (8) 2 и уравнения движения (g Ч ускорение силы тяжести) 2h5A4 dq A2h3 dq Ec = = E, (5) q dT q dT - v - g + p = -0.5EiEkik, (9) t где E Ч безразмерный параметр, число, характеризующее возбуждение в изотропной среде (в жидком полукоторые для поиска критериев возбуждения еще должны проводнике [2]). Из этой формулы видно, что в критерий быть линеаризованны по малым отклонениям плотности входит произведение двух последних выражений из (4), 1 = - 0, давления p1 = p - p0 и по характеристикам а самый большой множитель не вошел. Отметим, что электрического поля. В уравнениях учтено, что в равнов число Ec множитель dq/dT вошел в квадрате, т. е.

весии среда покоится. После линеаризации необходимо влияние температурной зависимости шага спирали на стандартным образом провести исключение переменных, возбуждение структур имеет место независимо от того, выражая их через потенциал.

увеличивается или уменьшается эта величина с ростом Полученное стандартным путем нелинейное уравнетемпературы.

ние должно быть усреднено. Действительно, нас интеПерейдем к постановке задачи. Будем считать холересует возбуждение структур и конвекции в масштабе стерик в равновесном состоянии электронейтральным, h q-1, поэтому по масштабу q-1 следует провести т. е. пренебрежем флуктуациями возникающего в терусреднение, т. е. вычислить моэлектрическом поле заряда. Влияние возникающих в 2/q термоэлектрическом поле малых отклонений от электро- q нейтральности привело бы к эффектам, подобным иссле f = fdx (10) дованным для жидких полупроводников [2]. Это влияние может быть учтено заменой в конечных результатах от всех частей полученного после исключения переменчисла Рэлея R на R + Ek2. Знаки определяются напраных уравнения. При такой процедуре величины малых влением нагрева. Верхний знак соответствует подогреву отклонений (т. е. ) и их производных заменяются усредснизу, а нижний Ч подогреву сверху, величина квадрата ненными. Условие qh 1, разделяющее масштабы, поволнового вектора k2 будет определена ниже. Кроме зволяет свертки (интегралы от произведений) заменить того, поскольку шаг спирали, как уже подчеркивалось, произведениями средних (постоянных в микромасштабе сильно зависит от температуры, не будут учитываться q-1) величин. После усреднения получится уравнение малые отклонения шага спирали из-за других причин, и с постоянным коэффициентом, и в нем должны быть можно положить оставлены члены, немалые по параметру qh. Решение dq dq уравнения будет суперпозицией решений пропорциоq = q0 zA + q1, (6) dT dT нальных т. е. считается, что A = |dT0/dz|, а нагрева вдоль слоя t x z exp -i + ikx + ikz, (11) нет.

h2/ h h Такие приближения позволяют пренебречь влиянием где для просторы пренебрегается зависимостью флуктуизменения шага спирали на директор и считать, что рас2 ационных величин от y. Волновой вектор k2 = kx + kz сматриваемая анизотропная жидкость с компонентами 2 (в общем случае k2 = k + kz ) определяется безвектора директора, определенными как размерными проекциями, причем проекция вдоль слоя kx = 2h/ ( Ч размер структуры вдоль слоя) Чвелиnz = cos(qx); nx = 0; ny = sin(qx). (7) чина, вещественная в силу трансляционной симметрии, В этом приближении можно уравнение директора в присущей геометрии бесконечного в этом направлении систему уравнений не включать (в геометрии, когда на- слоя; kz Ч вообще говоря, комплексная величина, котоправление осей спиралей совпадает с направлением на- рая должна определяться по решению краевой задачи.

грева, это было бы необходимым). Такая запись вектора Далее принято, что kz Ч величина вещественная. Этого директора соответствует избранному выше (см. (2), (3)) достаточно для получения качественных результатов. Вевиду зависимости электрических характеристик среды щественность kz должна обеспечиваться постановкой соот координат. В соответствии с формулами (2), (3), ответствующих граничных условий. Такие условия Ч это Физика твердого тела, 1999, том 41, № Структуры и термоэлектрическая конвекция в холестерических жидких кристаллах условия типа Фсвободных изотермических границФ [7]. T = 300 K и при характерных для ХЖК значениях [4]:

В случае, когда уравнение содержит лишь четные про- T 0.1 ( Ч коэффициент теплового расширения);

изводные по z, величина kz =. Наконец, частота q-1 10-7 m; d ln q/d ln T 102 (возможно даже и 103), = + i, как всегда, определяется условиями = 0.1, найдем по формуле частоты колебательного возникновения неустойчивости. нарастания (в размерном виде) Не приводя здесь весьма громоздких вычислений, за2 пишем сразу условие возбуждения 274 d ln q qh = h2 4 2 d ln T (Ah)2 gh i - k2 iP-k2 k2 Rkx k dq ; (14) = Ec -ikz kx + 2Ahkxkz ln. (12) h2( + ) T dT что при толщине слоя h 0.1 cm частота 1-10 Hz Это уравнение записано в безразмерной форме и в него очень сильно ( h-15) зависит от толщины слоя. Поэтонаряду с числами R и Ec, вошло еще число Прандтля му при толщинах жидкого слоя h > 0.1 cm нарастание P = /.

фактически происходит апериодически.

Подчеркнем еще раз, что в этом уравнении слагаемые При уменьшении толщины слоя частота не становится справа обусловлены особым термоэлектрическим эффекФкатастрофическиФ большой, т. е. при этом, как и в том, характерным именно для термотропных холестерижидких полупроводниках, происходит смена механизма ков и возникающим из-за температурной зависимости возбуждения [2]. Частота осцилляций принимает вид шага спирали холестерика. Этот эффект сравнивается в обычной рэлеевской конвекцией, а другие механизd ln q мы возбуждения и силы, влияющие на них, считаются = 422qh. (15) d ln T 2A2h2 + hвключенными в число Рэлея R, характеризующее эту конвекцию.

Оценки с теми же параметрами среды, что и выше, дают 10-100 Hz при h 0.01 cm, а зависимость от 2. Анализ влияния толщины слоя слабая (обратно пропорциональная).

егко найти и изменения в условиях возбуждения.

электрофоретических сил Будем иметь на возбуждение неустойчивости kРазделяя в условии (12) действительную и мнимую R + Ek2 = k4 - 2P. (16) k части, найдем, что неустойчивость ( = 0) возникает при рэлеевских (возможно, измененных) условиях, но Обычное условие (найденное в [2]) получается отсюда не апериодически ( = 0), а осциллируя с частотой (в при = 0.

безразмерном виде) В толстых слоях (h > 0.1cm) неустойчивость возможна лишь при подогреве снизу (верхний знак в (16)) kz kx = Ec. (13) и, подставляя в (16) частоту согласно формуле (13), k6(1 + P) найдем условие возбуждения в форме Таким образом, в отличие от термоэлектрической конk6 kz векции, возникающей в жидких полупроводниках [2], = R + Ic, (17) k kэффект, обусловленный зависимостью шага холестерической спирали от температуры, не изменяет порога где Ic = EcP/(1 + P) Ч также число, безразмерная возбуждения, а влияет на характер нарастания малых отвеличина.

клонений всех переменных. Апериодическое нарастание, Интересно рассмотреть случай, когда новый эффект характерное в обычных условиях (в том числе в изотроп2 преобладает. Минимизируя по w = k/kz, найдем, что ных жидких полупроводниках), в холестериках не имеет неустойчивость наступает при w = 1/7 (вместо обычных смысла. Нарастание в них происходит колебательным w = 1/2). Таким образом, в этих условиях возникает образом. Условия возбуждения рэлеевской конвекции движение с ячейками гораздо (в 3.5 раза) более вытяхорошо известны [7]: возникновение ячеистого движения 2 нутыми вдоль слоя (вдоль осей спирали). Подставляя возможно только при подогреве снизу и k kz = 1/2;

kz =, kx = / 17, найдем, что движение в таком случае возникает при Ic > 160 при нагреве A 102 K/cm, kz = ; R = 274 4.

что не мало. При этом оказывается, что A h-5/4, Используя их, а также значения параметров в жид- а не h-4, как в задаче Рэлея. Сравнивая теперь члены кости ( 10-6 m2/s) и значения характе- справа в условии возбуждения (17), найдем, что новый ристик среды, обычно принимаемые для жидких по- эффект преобладает над рэлеевским лишь в достаточно лупроводников [3], т. е. при комнатной температуре тонких слоях h < 10-2 cm. Но в таких слоях основным Физика твердого тела, 1999, том 41, № 168 Е.Д. Эйдельман механизмом возбуждения является не архимедовский, в такой среде имеются электрическое E и магнитное H а термоэлектрический подъемный механизм. Условие поля, причем ikEk = rotiH; rot E = -H/t ( Чабвозбуждения для него Ч это также условие (17), но солютная магнитная проницаемость). Свойства же ХЖК с заменой R на Ek2. Используя связь Ic = E4h2/h2, проявляются в тензоре проводимости ik, компоненты c получим которого в точности определяются формулами (2), (3), если в них заменить на. При протекании тока 1 22T d ln q выделяется джоулево тепло jiEi, и поэтому изменяется hc = (18) q + d ln T уравнение переноса тепла, которое теперь необходимо записать в виде Ч критическая толщина слоя холестерина, разделяющая jE масштабы. Оценки показывают, что hc 0.01 cm. При - T =. (19) h > hc преобладают обычные механизмы возбуждения t Cp ячеистого движения (включая термоэлектрический, для Здесь Cp Ч теплоемкость холестерика. В этом уравкоторого область толщин оказывается, однако, довольно нении пренебрегается конвективным теплопереносом, узкой). При h < hc в ХЖК должен преобладать новый который в условиях рассматриваемой задачи мал. Конечмеханизм возбуждения. Основной силой, приводящей но, и коэффициент температуропроводности в ХЖК Ч этот механизм в действие, является электрофоретичетензорная величина того же вида, что и ik, но здесь ская сила.

зависимостью от шага спирали пренебрегаем, чтобы Исключая из (17) Ic, можно изучать взаимные влияния выделить изучаемый эффект. Более строгие (иболее грорэлеевского и электрофоретического или термоэлектримоздкие) расчеты показывают, что такое приближение ческого и электрофоретического механизмов друг на оправдано.

друга. Это можно сделать подобно тому, как в [2] Качественно картина возникновения неустойчивостей изучалось влияние рэлеевского и термоэлектрического такова: флуктуационное изменение температуры и соотмеханизмов друг на друга в жидких полупроводниках.

Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам