Книги, научные публикации
Pages: | 1 | ... | 4 | 5 | 6 | 7 | СЕРИЯ СОВРЕМЕННЫЕ НЕФТЕГАЗОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ Редакционный совет: ...
-- [ Страница 6 ] --Кривая p(r) для газа (формула (20.82)) располагается еще выше, чем для жидкости (при тех же значениях pk и pc ). Расчеты показывают, что для любых значений pc, pk,rc, Rk на расстоянии одного метра до стенки сква жины теряется более 80% от общей депрессии (pk - pc). Массовый расход для жидкости (формула (20.73)) пропорционален депрессии в степени 1 n, поэтому индикаторная линия Q = f(p) при 1 < n < 2 будет иметь вид выпуклой к оси дебита степенной кривой с дробным показателем, мень шим 2-х. В случае фильтрации по закону Краснопольского, как показывает формула (20.76), индикаторная линия является параболой. На рис. 20.17 при- ведены индикаторные линии для течения несжимаемой жидкости при линейном законе фильтрации (n = 1) и при нели нейных законах фильтрации 1 < n < и n = 2. Все сказанное относится также к индикаторным линиям для газа, если их строить в координатах Qm (или Qат ) n n и pk -1 - pc -1. Отметим, что и для жидкос ти, и для газа величина расхода пропор циональна радиусу скважины в степени Рис. 20.17. Индикаторные линии, - 1) n (для закона фильтрации Крас (n соответствующие различным зако нопольского ), т.е. эта зависимость rc нам фильтрации жидкости гораздо более сильная, чем в случае со блюдения закона Дарси.
Скорость фильтрации вдоль линии тока изменяется при нелинейном законе фильтрации так же, как и при линейном;
для жидкости w обратно пропорциональна радиусу, а для газа - обратно пропорциональна rp(r).
Глава XXI ОДНОМЕРНЫЕ ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ПОТОКИ ПО ЗАКОНУ ДАРСИ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА В НЕОДНОРОДНЫХ ПЛАСТАХ з1. Основные типы неоднородности пластов В природных условиях продуктивные коллекторы углеводородного сырья редко бывают однородными, т.е. такими, что их фильтрационно-ем костные свойства одинаковы для всего пласта. Если проницаемость, по ристость, просветность, удельная поверхность и т.д. изменяются в пласте, то такие пласты называются неоднородными.
Однако часто изменение проницаемости по пласту носит столь хао тичный характер, что значительные области пласта можно считать в сред нем однородно проницаемыми. Характеристики фильтрационных потоков в таких пластах с большой точностью отвечают характеристикам потоков, рассмотренных в предыдущих параграфах для однородных пластов. Но нередко встречаются такие пласты, значительные области которых сильно отличаются друг от друга по своим фильтрационно-емкостным характерис тикам. Это, так называемые макронеоднородные пласты, различие в пара метрах которых существенно влияет на характеристики фильтрационных течений. При расчетах элементарных фильтрационных потоков в макроне однородных пластах также бывает удобно прибегнуть к схематизации гео метрии движения и найти такие эквивалентные значения коэффициентов фильтрационного сопротивления, применив которые, можно использовать полученные в предыдущем параграфе формулы для однородного пласта.
В пластах-коллектрах углеводородного сырья выделяют следующие основные типы макронеоднородности.
1. Слоистая неоднородность. При слоистой неоднородности пласт разделяется по толщине на несколько слоев, в каждом из которых фильт рационные характеристики считаются однородными, но отличными от фильтрационных характеристик соседних слоев. Такие пласты называют также неоднородными по толщине. Границы раздела слоев с различными проницаемостями считаются плоскими. Таким образом, в модели пласта со слоистой неоднородностью предполагается, что проницаемость, порис тость и т.д. изменяются только по толщине пласта и являются кусочно постоянными функциями вертикальной координаты. При этом можно счи 444 ГЛАВА XXI тать, что отдельные слои - пропластки разделены непроницаемыми грани цами (случай гидравлически изолированных слоев), либо учитывать пере токи между слоями (случай гидродинамически сообщающихся пропласт ков). В первом случае возможен расчет характеристик фильтрационных потоков по одномерным схемам течения. Во втором случае точный расчет требует, вообще говоря, решения двумерных задач фильтрации.
2. Зональная неоднородность. При зональной неоднородности пласта фильтрационные свойства меняются в плоскости залегания, т.е. пласт со стоит из нескольких зон (областей пласта). В пределах каждой из зон фильтрационные свойства в среднем считаются одинаковыми, но на грани це двух зон фильтрационно-емкостные свойства меняются скачкообразно.
3. Пласты с непрерывной или случайной неоднородностью. На прак тике встречаются пласты, в которых фильтрационно-емкостные свойства изменяются непрерывным или случайным образом при переходе от одной точки пласта к другой. Так как при решении прямых задач подземной гид ромеханики фильтрационно-емкостные свойства считаются заданными, то для пластов с непрерывной или случайной неоднородностью эти свойства считаются заданными известными непрерывными или случайными функ циями координат точек области фильтрации.
Например, при бурении скважин буровой раствор фильтруется в пласт с углеводородным сырьем и ухудшает его фильтрационные свойства. Про никновение раствора в пласт происходит равномерно при бурении, и фильт рационные свойства ухудшаются непрерывно от скважины в глубь пласта.
Но подобную неоднородность можно моделировать и как зональную, и как с непрерывной неоднородностью.
Таким образом, в результате схематизации фильтрационных потоков можно выделить:
1) прямолинейно-параллельный, плоскорадиальный и радиально-сфе рический потоки в слоисто-неоднородном пласте;
2) прямолинейно-параллельный, плоскорадиальный и радиально-сфе рический потоки в зонально-неоднородном пласте;
3) прямолинейно-параллельный, плоскорадиальный и радиально-сфе рический потоки в пластах, в которых проницаемость является непрерыв ной или случайной функцией точек области фильтрации.
Очевидно, что для полноты изучения необходимо рассмотреть фильт рацию в неоднородных пластах для различных флюидов: несжимаемой и сжимаемой жидкостей и газа, а также для неньютоновской жидкости при линейном и нелинейном законах фильтрации. Однако рамки учебника не позволяют представить столь детальное рассмотрение, поэтому ограни чимся изучением наиболее характерных случаев и отметим, что методоло гический подход при этом остается единым.
Рассмотрим одномерные потоки несжимаемой жидкости и газа в не однородных пластах по закону Дарси.
ОДНОМЕРНЫЕ ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ПОТОКИ з2. Прямолинейно-параллельный поток в слоисто неоднородном пласте Пусть горизонтальный пласт толщины h и ширины B состоит из n пропластков толщиной hi с про ницаемостью ki и пористостью mi, i = 1, 2,..., n (рис. 21.1). Пласт на сыщен жидкостью или газом. На контуре питания поддерживается постоянное давление pk, на другой его границе - на галерее, отстоящей от контура питания на расстоянии L, поддерживается постоянное дав ление pг (при этом pk > pг ). Тогда Рис. 21.1. Прямолинейно неоднород при отсутствии перетоков между про ный поток в слоисто неоднородном пластками в каждом из них имеем пласте: 1 - p(x) для жидкости, 2 - прямолинейно-параллельный фильт p(x) для газа рационный поток с расчетными фор- мулами (20.4) и (20.5) для давления, скорости фильтрации и дебита при фильтрации несжимаемой жидкости, полученными в предыдущей главе, pk - pг p(x) = pk - x, L k dp k k pk - pг wx = - = - C1 =, dx L k pk - pг wxS = Q = S, L но с той разницей, что формула для распределения давления будет одина ковой для всех пропластков, а скорость фильтрации и дебит будут в каж дом пропластке свои:
pk - pг p(x) = pk - x, (21.1) L ki pk - pг wi =, (21.2) L ki pk- pг Qi = hiB. (21.3) L 446 ГЛАВА XXI В формулах (21.1)Ц(21.3) и далее в этой главе индекс i обозначает номер пропластка и изменяется от 1 до n.
Различие в формулах (21.2) и (21.3)обусловлено, очевидно, тем, что несмотря на то, что депрессия на пласт во всех пропластках одинакова, фильтрационные свойства и размеры пропластков различны. Понятно, что там, где выше проницаемость, будет больше скорость фильтрации, а дебит будет больше там, где больше размеры сечения пропластка и выше прони цаемость.
Используя аналогию между фильтрацией несжимаемой жидкости и газа, из соотношений (21.1)Ц(21.3) получим формулы, выраженные через функ цию Лейбензона, которые справедливы и при фильтрации газа, Pk - Pг P(x) = Pk - x, (21.4) L ki Pk - Pг wi =, (21.5) L ki Pk-Pг i Qm = hiB. (21.6) L Следовательно, если положить, что фильтруется совершенный газ и подставить в (21.4)Ц(21.6) выражение для функции Лейбензона (19.32), то получим формулы для расчета фильтрации совершенного газа в слоисто неоднородном пласте 2 pk - pг p(x) = pk - x, (21.7) L 2 2 2 kiат pk - pг ki(x) pk - pг wi = =, (21.8) 2pат L 2p(x) L 2 kiат pk - pг i Qm = hiB. (21.9) 2pат L Для дальнейших рассуждений опять воспользуемся аналогией между фильтрацией несжимаемой жидкости и газа и проведем выкладки в общем виде и для жидкости, и для газа.
Массовый расход всего пласта можно вычислить как сумму расходов во всех отдельных пропластках n n n ki Pk-Pг B(Pk - Pг) i Qm = Qm = hiB = kihi. (21.10) L L i=1 i=1 i= Для гидродинамических расчетов удобно заменить формулу для пото ка флюида в неоднородном пласте на формулу в однородном пласте тех же ОДНОМЕРНЫЕ ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ПОТОКИ размеров, но со средней проницаемостью kср, величину которой можно определить из условия равенства дебитов, то есть из соотношения n kср(Pk - Pг) B(Pk - Pг) Qm = Bh = kihi, (21.11) L L i= откуда n n kср = kihi h, h = hi. (21.12) i=1 i= Следовательно, средняя проницаемость в слоисто-неоднородном пласте не зависит от флюида и одинакова как для несжимаемой жидкости, так и для газа.
Подставив в (21.11) значения функции Лейбензона для несжимаемой жидкости и совершенного газа, получим формулы для дебита всего слоис то-неоднородного пласта:
для несжимаемой жидкости n B0(pk - pг) Qm = kihi, (21.13) L i= для газа n 2 Bат(pk - pг ) Qm = kihi. (21.14) 2pатL i= Время движения частиц флюида для несжимаемой жидкости, без уче та разницы между пористостью и просветностью, будет определяться по формулам (20.8А) и (20.9А), но в каждом пропластке формула будет со держать свое значение пористости и проницаемости mi Lx mi L ti = и Ti =.
ki pk - pг ki pk - pг Аналогично для газа формулы (20.37) и (20.38) преобразуются с уче том фильтрационных свойств каждого пропластка:
3 3 4miL2(pk - p3(x)) и Ti = 4miL2(pk - pг ).
ti = 2 2 2 2 3ki(pk - pг ) 3ki(pk - pг ) з3. Прямолинейно-параллельный поток в зонально-неоднородном пласте Пусть горизонтальный пласт постоянной толщины h и постоянной ширины B состоит из n зон различной проницаемости ki, пористости mi, 448 ГЛАВА XXI длины li, i = 1, 2,..., n. На грани цах пласта поддерживаются посто янные давления pk и p ( pk > p ), рис. 21.2. Границы каждой зоны пласта перпендикулярны фильт рационному потоку, направлен ному вдоль оси х.
В пласте происходит одномер ное установившееся фильтрацион ное течение однородного флюида.
Поэтому в каждой из зон зонально неоднородного пласта имеем пря Рис. 21.2. Прямолинейно-параллель-ный молинейно-параллельный фильтра поток в зонально-неоднородном пласте.
ционный поток все с теми же рас Показана кривая p(x) для жидкости четными формулами для давления, скорости фильтрации и дебита. Например, при фильтрации несжимаемой жидкости pk - pг p(x) = pk - x, L k dp k k pk - pг wx = - = - C1 =, dx L k pk - pг wxS = Q = S, L где в качестве давления на контуре питания и галерее принимаются дав ления в начале и в конце зоны, соответственно, а длина равна длине зо ны. По сравнению со слоисто-неоднородным пластом, в котором форму ла для распределения давления была одинаковой для всех пропластков, но в разных пропластках были разные скорости фильтрации и дебиты, в данном случае в каждой зоне будут одинаковы скорость фильтрации и дебит, а формула для распределения давления для каждой зоны будет своя. В самом деле, сколько втекает в пласт через контур питания, столько и вытекает из пласта через галерею. Такой вывод следует из за кона сохранения массы при установившемся течении для трубки тока.
Следовательно, объемный дебит во всех зонах один и тот же, но сечение пласта имеет постоянную площадь, поэтому и скорость фильтрации во всех зонах тоже одинакова. Таким образом, формулы для распределения давления, скорости фильтрации и дебита при зонально-неоднородной прямолинейно-параллельной фильтрации в каждой зоне неоднородности ОДНОМЕРНЫЕ ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ПОТОКИ пласта (1 i n ) имеют вид pi - pi+ pi(x) = pi - x, xi < x < xi+1, (21.15) li ki pi - pi+ w =, (21.16) li ki pi - pi+ Q = hB. (21.17) li Из равенства (21.15) можно получить значения градиента давления в каждой зоне dpi(x) pi - pi+ = -, xi < x < xi+1.
dx li Таким образом, градиент давления в каждой зоне постоянный, но не одинаковых в разных зонах. Поэтому график распределения давления представляется в виде ломанной линии, состоящей из отрезков прямых, наклоненных под разными углами (рис. 21.2).
Для постановки задачи достаточно задать давления только на контуре питания и на галерее. Поэтому известны только p1 = pk при x1 = 0 и n pn+1 = pг при xn +1 = L =. Следовательно, чтобы воспользоваться l i i = для расчета формулами (21.15)Ц(21.17), необходимо вычислить давления на границе всех зон. Для определения этих давлений найдем формулу для дебита, выраженную через заданные в задаче параметры. Разрешим отно сительно депрессии формулы (21.17) для всех зон pk - p2 = Ql1 k1 Bh, p2 - p3 = Ql2 k2 Bh, (21.18)..................
pn - pг = Ql k Bh.
n n Нетрудно видеть, что после сложения равенств (21.18), получим n Q pk - pг = l ki.
i Bh i = Разрешив это соотношение относительно Q, получим формулу для дебита в зонально-неоднородном пласте при прямолинейно-параллельной фильт рации несжимаемой жидкости pk Bh - pг Q =. (21.19) n l ki i i = 450 ГЛАВА XXI С помощью формул (21.17) и (21.19) можно определить значения дав ления на границах зон. Для нахождения p2 используем формулу (21.17) для первой зоны и формулу (21.19). Получим равенство pk - p2 pk - pг k1 =, l1 n l ki i i = в котором единственной неизвестной величиной является давление на гра нице первой и второй зон (все остальные величины заданы в постановке задачи). Поэтому разрешив его относительно p2, получим l1 pk - pг p2 = pk -.
k1 n l ki i i = В случае, когда неоднородный пласт состоит из двух зон неоднородности, из полученного соотношения имеем выражение для определения давления на границе зон l2 l pk - pг k2 k p2 =.
l ki i i = Аналогично можно определить давление и на остальных границах зон неоднородности.
Используя равенство (21.19), определим теперь среднюю проницае мость неоднородного пласта pk Bh - pг kср pk - pг Q = = Bh.
n L l ki i i = Из последнего соотношения следует формула для kср n kср = L ki. (21.20) l i i = Таким образом, среднее значение проницаемости в зонально-неодно родном пласте определяется по иному закону, отличному от закона (21.12) для средней проницаемости в слоисто-неоднородном пласте.
Используя аналогию между фильтрацией несжимаемой жидкости и газа, из (21.15) - (21.17) и (21.19) получим формулы, выраженные через функ цию Лейбензона, для установившейся прямолинейно-параллельной фильт ОДНОМЕРНЫЕ ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ПОТОКИ рации газа в зонально-неоднородном пласте Pi - Pi+ Pi(x) = Pi - x, xi < x < xi+1, (21.21) li ki Pi - Pi+ w =, (21.22) li ki Pi - Pi+ Qm = hB, (21.23) li Pk Bh - Pг Qm =. (21.24) n l ki i i = Подставив в равенства (21.21)Ц(21.24) функцию Лейбензона для со вершенного газа, получим формулы для распределения давления, массовой скорости, массового расхода и объемного расхода, приведенного к атмо сферным условиям, при установившейся прямолинейно-параллельной фильтрации совершенного газа в зонально-неоднородном пласте pi2 - pi2+ pi(x) = pi2 - x, xi < x < xi+1, (21.25) li kiат pi2 - pi2+ w =, (21.26) 2pат li kiат pi2 - pi2+ Qm = hB, (21.27) 2pат li 2 Bhат pk - pг Qm =. (21.28) 2pат n l ki i i = Заметим, что с помощью формулы (21.28) можно определить среднее значение проницаемости в зонально-неоднородном пласте при фильтрации газа. Нетрудно видеть, что получим то же соотношение (21.20), что и при фильтрации несжимаемой жидкости. Такой результат представляется оче видным, если вспомнить, что проницаемость является характеристикой по ристой среды и не зависит от свойств флюида.
С помощью формул (21.27) и (21.28) можно определить давления на границах зон при фильтрации газа. Для нахождения p2 приравняем выра жения по формулам (21.28) и (21.27) для дебита в первой зоне и получим равенство 2 2 2 pk - p2 pk - pг k1 =, l1 n l ki i i = 452 ГЛАВА XXI в котором единственной неизвестной величиной является давление на гра нице первой и второй зон (все остальные величины заданы в постановке задачи). Аналогично можно определить и остальные значения давления на границах зон неоднородности.
Время движения частиц флюида для модели несжимаемой жидкости в i -й зоне будет определяться по формулам mi xli mi li ti = и Ti =. (21.29) ki pi - pi+1 ki pi - pi+ Аналогично для модели газа имеем 4mili2(pi3 - p3(x)) и Ti = 4mili2(pi3 - pi3+1). (21.30) ti = 2 3ki(pi2 - pi2+1) 3ki(pi2 - pi2+1) Во всех формулах для определения ti значение x изменяется в пределах xi x xi+1. Общее время движения частиц T в зонально-неоднород n ном пласте, очевидно, равно T =.
T i i = з4. О расчете пластов с непрерывной неоднородностью Если установившееся прямолинейное движение флюида происходит в пласте, проницаемость которого изменяется непрерывно, то есть k = k(x), то для расчета дебита такого пласта при фильтрации несжимаемой жидкос ти и газа имеем, соответственно, формулы k(x) dp k(x) dP Q = - Bh и Qm = - Bh.
dx dx Разделив в дифференциальных уравнениях переменные:
Q dx Qm dx dp = Bh k(x) и dP = - Bh k(x) и проинтегрировав их pг Pг L L Q dx Qm dx dp = Bh k(x) и dP = - Bh k(x), pk 0 Pk получим формулы для распределения по пласту давления и функции Лей бензона, соответственно L L Q dx Qm dx pk - pг = Bh k(x) и Pk - Pг = Bh k(x). (21.31) 0 ОДНОМЕРНЫЕ ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ПОТОКИ Таким образом, и в этом случае можно определить все характеристики те чения флюидов, если задана функция k(x).
з5. Плоскорадиальный поток в слоисто-неоднородном пласте Пусть круглый горизонтальный пласт толщины h состоит из n пропла стков толщиной hi с проницаемостью ki и пористостью mi, где i = 1, 2,..., n (рис. 21.3). Пласт насыщен жидкостью или газом и в нем происходит устано вившийся плоскорадиальный приток к центральной скважине. Контур питания удален от скважины на расстояние Rk и на нем поддерживается постоянное дав ление pk, на скважине радиуса rc под Рис. 21.3. Кривые распределения держивается постоянное давление pc давления для жидкости (1) и для газа (2) в плоскорадиальном потоке (при этом pk > pc ). Тогда, при отсутст в слоисто-неоднородном пласте вии перетоков между пропластками, в каж- дом из них имеем плоскорадиальный фильтрационный поток с расчетными формулами (20.20)Ц(20.22):
pk - pc Rk p(r) = pk - ln ln Rk rc r k dp k(pk - pc) wr = - = dr ln Rk rc r 2kh(pk - pc) wrS = Q = ln Rk rc для давления, скорости фильтрации и дебита при фильтрации несжимае мой жидкости с той лишь разницей, что формула для распределения дав ления будет одинаковой для всех пропластков, а скорость фильтрации и дебит будут в каждом пропластке свои:
pk - pc Rk p(r) = pk - ln, ln Rk rc r (21.32) ki dp ki(pk - pc) i wr = - =, dr ln Rk rc r 2kihi(pk - pc).
i wrSi = Qi = ln Rk rc 454 ГЛАВА XXI Дебит всего пласта определяется как сумма дебитов всех пропластков n n n 2(pk - pc) i Q = wrSi = Qi = kihi. (21.33) ln Rk rc i= i=1 i= Среднее значение проницаемости пласта kср определяется из условия равенства дебитов в слоисто-неоднородном и однородном пластах n 2kсрh(pk - pc) 2(pk - pc) = kihi ln Rk rc ln Rk rc i= n n и дается выражением kср = hi h, где h = - толщина всего пла k h i i i =1 i = ста. Формулы для средней проницаемости в слоисто-неоднородном пласте оказываются одинаковыми при радиальной фильтрации и при прямоли нейно-параллельной.
Используя аналогию между фильтрацией несжимаемой жидкости и газа, из соотношений (21.32) можно получить формулы для фильтрации в слоисто-неоднородном пласте совершенного газа 2 pk - pc Rk p(r) = pk - ln, ln Rk rc r (21.34) 2 ki dP kiат(pk - pc ) i wr = - =, dr 2pат ln Rk rc r 2 kihiат(pk - pc ).
i i wrSi = Qm = pат ln Rk rc з6. Плоскорадиальный поток в зонально-неоднородном пласте Пусть имеется горизонтальный пласт толщиной h, состоящий из n кольцеобразных зон с различной проницаемостью ki и пористостью mi (i = 1, 2,..., n), при этом граница каждой зоны имеет форму боковой по верхности цилиндра, соосного скважине. На внешней границе n -й зоны, являющейся контуром питания пласта, r = Rk (rn+1 = Rk), поддерживает ся постоянное давление pk ( pn = pk ), на внутренней границе пласта, т.е.
на забое скважины, r = rc (r1 = rc), поддерживается постоянное давление pc (pc = p1) (рис. 21.4).
Из постановки задачи следует, что в пласте происходит одномерное уста новившееся фильтрационное течение однородного флюида. Поэтому в каж- ОДНОМЕРНЫЕ ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ПОТОКИ Рис. 21.4. Распределение давления в плоскорадиальном потоке несжимаемой жидкости в зонально-неоднородном пласте дой из зон зонально-неоднородного пласта имеем плоскорадиальный фильт рационный поток с теми же расчетными формулами для давления, скоро сти фильтрации и дебита, что и в случае однородного пласта. Например, при фильтрации несжимаемой жидкости pi+1 - pi ri+ pi(r) = pi+1 - ln, ln ri+1 ri r (21.35) ki dp ki(pi+1 - pi) wi = - =, r dr ln ri+1 ri r 2kih(pi+1 - pi), i wrS = Q = ln ri+1 ri где в качестве давлений на контуре питания и на скважине принимаются давления в начале и в конце зоны, соответственно, и вместо радиусов кон тура питания и скважины принимаются радиусы начала и конца зоны.
По сравнению со слоисто-неоднородным пластом, в котором формула для распределения давления была одинаковой для всех пропластков, но в каждом пропластке были разные скорости фильтрации и дебит, в данном случае во всех зонах будет одинаков только дебит, а формула для распре деления давления и скорости для каждой зоны будет своя. В самом деле, сколько втекает в пласт через контур питания, столько и вытекает из пла ста через скважину. Такой вывод следует из закона сохранения массы при установившемся течении. Следовательно, объемный дебит в каждой зоне один и тот же, но сечения пласта имеют различную площадь, поэтому ско рость фильтрации в каждой зоне будет изменяться, даже внутри зоны она не будет постоянна. Таким образом, формулы для распределения давления, 456 ГЛАВА XXI скорости фильтрации и дебита при зонально-неоднородной плоскорадиаль ной фильтрации в каждой из зон неоднородности пласта (0 i n) имеют вид (21.35).
Как и в случае прямолинейно-параллельной фильтрации, формула ми (21.35) воспользоваться для вычислений невозможно, так как в поста новке задачи заданы давления только на контуре питания и скважины. По этому найдем вначале формулу для дебита, выраженную через давления, заданные в постановке задачи. Для этого разрешим формулы для дебита в каждой зоне относительно разности давлений Q Rk pk - pn = ln, 2kih rn Q rn pn - pn-1 = ln, 2ki-1h rn- ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ Q r p1 - pc = ln.
2kih rc Сложив все равенства, получим уравнение n Q ln ri+1 ri pk - pc =, 2h ki i= из которого следует 2h pk - pc Q =. (21.36) n ln ri+1 ri ki i= Используя равенство (21.36), выведем формулу для средней прони цаемости 2h pk - pc 2kсрh(pk - pc), Q = = n ln ri+1 ri ln Rk rc ki i= откуда Rk ln ri+1 ri kср = ln. (21.37) rc ki С помощью формул (21.35) и (21.36) можно определить давления на границах зон. Для нахождения p(2) приравняем формулу (21.35), записан ОДНОМЕРНЫЕ ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ПОТОКИ ную для дебита в первой зоне, и (21.36). Получим равенство p2 - pc pk - pc k2 =, (21.38) ln r2 rc n ln ri+1 ri ki i= в котором единственной неизвестной величиной является давление на гра нице первой и второй зон (все остальные величины заданы в постановке задачи). Аналогично можно определить и остальные значения давления на границах зон неоднородности.
Используя аналогию между фильтрацией несжимаемой жидкости и газа, из соотношений (21.35) можно получить формулы для фильтрации совер шенного газа в зонально-неоднородном пласте pi2+1 - pi2+1 ri + pi(r) = pi2+1 - ln, ri +1 r ri, ln ri +1 ri r (21.39) ki dP ki ат(pi2+1 - pi2) i wr = - =, dr 2pат ln ri +1 ri r kihат(pi2+1 - pi2).
i wrSi = Qm = pат ln ri+1 ri Для нахождения давлений на границах зон можно воспользоваться рас суждениями, аналогичными тем, которое были проведены для несжимае мой жидкости: получить формулу для дебита, выраженную через давления pk и pc, и далее получить выражение типа (21.38).
Время движения частиц может быть в каждой зоне вычислено по формулам (20.23) и (20.24) для несжимаемой жидкости и (20.49) для газа, с той лишь разницей, что в качестве контура питания и скважины высту пают границы зоны неоднородности.
Не рассмотренные здесь случаи радиально-сферического притока, а так же фильтрация в неоднородных пластах по нелинейным законам могут быть изучены студентами самостоятельно.
Глава XXII ПЛОСКИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ПОТОКИ з1. Основные определения и понятия В предыдущих главах рассматривались модельные задачи, в которых описывался приток флюида или к галерее, или к единственной централь ной скважине в круговом пласте. Понятно, что реальные месторождения разрабатываются не одной скважиной, их количество определяется из ус ловия обеспечения заданного отбора из месторождения углеводородного сырья. Поэтому в фильтрационных расчетах, связанных с разработкой ме сторождений, необходимо рассматривать множество скважин, размещен ных определенным образом на площади нефтегазоносности. При этом воз никают гидродинамические задачи определения давления на забоях сква жин при заданных дебитах, или наоборот, дебитов при заданных давлени ях.
При решении этих задач нужно учи тывать, что при работе нескольких сква жин наблюдается их взаимное влияние друг на друга - интерференция сква жин. Это влияние приводит к тому, что при вводе в эксплуатацию новых сква жин суммарная добыча на месторожде нии растет медленнее, чем увеличива ется число скважин (рис. 22.1).
Поэтому, усложняя задачи с целью Рис. 22.1. Зависимость суммарного более адекватного описания процессов, дебита от числа скважин происходящих на месторождениях уг леводородного сырья, необходимо рас- смотреть постановки и решения задач, когда одновременно работают не одна, а группы скважин. Наиболее простые постановки задач получаются в том случае, когда пласт предполагается плоским, а скважины считаются точеными источниками или стоками. При решении подобных задач не только в подземной гидромеханике, но и в других разделах гидромеханики ПЛОСКИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ПОТОКИ широко используется предположение о потенциальности течения и метод суперпозиции (потенциала).
Течение называется потенциальным, если существует такая скалярная функция Ф, что градиент от нее равен вектору скорости v, т.е. выполня ется равенство v = - grad Ф, при этом скалярная функция Ф называется потенциалом.
Последнее равенство устроено аналогично закону Дарси w = -( ) k grad p.
В самом деле, если k и константы, то w = - grad(kp ) (22.1) и Ф = kp . (22.2) Поэтому фильтрационные течения в недеформируемых пластах (k = const) жидкостей с постоянной вязкостью потенциальны.
з2. Потенциал точечного источника и стока на изотропной плоскости. Метод суперпозиции Назовем точечным стоком на плоскости точку, которая поглощает жидкость. В качестве стока можно рассматривать добывающую скважину, считая, что ее диаметр бесконечно мал. На плоскости вокруг точечного стока линии тока будут представлять собой прямые линии, направленные к скважине, а линии равного потенциала будут окружностями (рис. 22.2 а).
Нагнетательная скважина, из которой жидкость попадает в пласт, пред ставляет собой источник (рис. 22.2 б.).
Рис. 22.2. Источник и сток на плоскости 460 ГЛАВА XXII Найдем потенциал добывающей скважины (стока). Для этого спроек тируем уравнение (22.1) на цилиндрическую систему координат. В резуль тате получим dФ w =. (22.3) dr Заметим, что рассматривается добывающая скважина, поэтому при про ектировании скорость, направленная к полюсу полярной системы коорди нат, проектируется на ось Or со знаком минус, поэтому в равенстве (22.3) знак минус отсутствует. Далее, введем удельный дебит q, приходя щийся на единицу толщины пласта q = Q h, и выразим его через скорость фильтрации Q 2rhw q = = = 2rw.
h h Следовательно, равенство (22.3) можно переписать в виде q dФ =.
2r dr Разделим переменные в уравнении qdr = dФ 2r и проинтегрируем его. В результате получим Ф = (q 2 )ln r + C, (22.4) где С - постоянная интегрирования. Очевидно, что аналогичные рассуж дения можно повторить и для случая, когда на плоскости находится источ ник, в этом случае получим Ф = -(q 2 )ln r + C. (22.5) Уравнению Лапласа, очевидно, удовлетворяет не только давление, но и введенные равенствами (22.4) и (22.5) потенциалы 2Ф 2Ф + = 0. (22.6) x2 y Поскольку уравнение Лапласа линейное и однородное, его решения обладают очень важным свойством: сумма частных решений уравнения и произведение частного решения на константу также являются решением.
Это свойство позволяет использовать при решении задач метод, который на зывается суперпозицией. Математический смысл метода суперпозиции сво дится к тому, что если имеется N фильтрационных потоков с потенциалами Фi = (qi 2 )ln r + Ci, где i = 1, 2,..., N, ПЛОСКИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ПОТОКИ каждый из которых удовлетворяет уравнению Лапласа, то и линейная ком- N бинация этих потенциалов Ф = ciФi, где сi - произвольные постоян i= ные, также удовлетворяет уравнению Лапласа (22.6).
С гидродинамических позиций данный факт означает, что если най ден потенциал i-ой скважины для случая, когда на пласте работает одна единственная i-ая скважина, то при совместной работе в пласте всех N скважин, решение находится алгебраическим суммированием. Суммар ная скорость в пласте определяется как сумма векторов скоростей фильтрации, вызванных работой каждой из скважин. Таким образом, при совместной работе в пласте N скважин результирующий потенциал в произвольной точке М находится как сумма потенциалов всех скважин (см. рис. 22.2 а):
N N Ф = q 2 ln r + C при (22.7) ( ) C = М ii Ci i = i= где ri - расстояние от точки М до i -ой скважины (i = 1, 2,Е, N), Сi - по стоянные.
Вектор скорости фильтрации w в точке М равен сумме скоростей фильтрации к каждой скважине (рис. 22.2 б).
w = w + w +.... + w, (22.8) 1 2 N где модуль вектора скорости wi равен wi = qi 2ri.
Рис. 22.3. Схема скоростей фильтрации в точке М при работе четырех скважин стоков (а) и вычисление результирующей скорости в точке М (б) 462 ГЛАВА XXII Метод суперпозиции можно использовать как в случае бесконечного пласта, так и в случаях, когда имеется контур питания или непроницаемая граница. В последних случаях для решения задач вводятся фиктивные сква жины (источники или стоки), с помощью которых удается удовлетворить не обходимым граничным условиям. Далее рассматривается работа совокуп ности реальных и фиктивных скважин в бесконечном пласте. Такой метод называется методом отображения источников и стоков.
Рассмотрим несколько примеров, решение которых находится с по мощью метода суперпозиции и метода отображения источников и стоков, которые имеют практическое применение в теории разработки нефтяных и газовых месторождений.
з3. Приток жидкости к группе скважин в пласте с удаленным контуром питания Используя принцип суперпозиции, рассчитаем дебиты, забойные по тенциалы (давления), скорости фильтрации и т.д. для группы скважин, ра ботающих в пласте с удаленным контуром питания.
Рис. 22.4. Схема группы скважин с удаленным контуром питания Пусть имеется n скважин (рис. 22.4) с радиусами ri, на которых зада ны потенциалы Фi (забойные давления pci ), а также задан радиус контура питания Rk и потенциал на нем Фk (контурное давление pk ), известны и все расстояния между скважинами rij - расстояние между i -ой до j -ой ПЛОСКИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ПОТОКИ скважинами (очевидно, rij = rji ). Требуется определить дебиты скважин (сто ков) qi.
Выражение для потенциала в произвольной точке М задается форму лой (22.7). Поместим вначале точку М на забой каждой скважины и полу чим n уравнений Фc1 = (q1 ln rc1 + q2 ln r12 +... + qn ln r1n ) + C, Фc2 = (q1 lnr12 + q2 lnrc2 +... + qn lnr2n ) + C, (22.9) ЕЕЕЕЕЕЕЕЕ Фcn = (q1 ln r1n + q2 ln r2n +... + qn ln rcn ) + C, qi в которые входит n + 1 неизвестное (i = 1, 2, Е, n) и С. Поэтому для за мыкания системы уравнений добавим еще одно, которое получается при помещении точки М на контур питания:
Ф = (q1 ln Rk + q2 ln Rk +.... + qN ln Rk ) + C (22.10) k Очевидно, что при написании уравнения (22.10) расстояние от всех сква жин до контура питания считалось одинаковым и равным Rk.
Полученная система уравнений (22.9) и (22.10) содержит n + 1 урав qi нение и может быть разрешена. При нахождении исключим из систе мы С. Для этого вычтем последовательно каждое из равенств (22.9) из равенства (22.10) и получим n уравнений 1 Rk Rk Rk Фk - Фс1 = ln +... + qi ln +... + qN ln, q 2 rc1 r1 i r1n ЕЕЕЕЕЕЕЕ.. (22.11) 1 Rk Rk Rk Фk - Фсn = ln +... + qi ln +... + qN ln q 2 r1n r in rcn.
Система (22.11), после подстановки численных значений, представ ляет собой линейную систему уравнений относительно qi и может быть разрешена с помощью любого известного метода решения линейных сис тем (Крамера, Гаусса и т.д.).
Рассмотрим теперь примеры на метод отображения источников и сто ков.
464 ГЛАВА XXII з4. Приток жидкости к скважине в пласте с прямолинейным контуром питания Пусть эксплуатационная скважина находится в пласте с прямолиней ным контуром питания, то есть пласт представляет собой полуплоскость, через границу которой происходит приток к скважине. Расстояние от скважины до контура питания равно a, заданы потенциалы на контуре пи тания Фk и на скважине Фс (рис.22.5). Требуется определить дебит сква жины и потенциал в любой точке пласта. В этом случае реальную скважи ну зеркально отображают относительно прямолинейного контура питания, но дебиту отображенной скважины приписывается знак, обратный по от ношению к знаку дебита у реальной скважины.
Напишем потенциал для произвольной точки М ФM = (q ln r1 - q ln r2) + C а затем поместим точку М сначала на стенку скважины, а потом на контур питания. В результате получим систему уравнений Фc = (q ln rc - q ln 2a)+ C, Фk = (q ln rk - q ln rk)+ C.
Рис. 22.5. Схема притока жидкости к скважине, работающей вблизи прямоли нейного контура питания ПЛОСКИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ПОТОКИ Разрешив полученную систему уравнений относительно q, будем иметь 2(Фк - Фс).
q = (22.12) ln 2a rc Формулу (22.12), используя выражения для потенциала (22.4), можно пе реписать в виде 2kh(pк - pс ).
Q = (22.13) ln 2a rc После того, как найден дебит скважины, можно определить потенциал в любой точке пласта ФM = q ln r1 r2 + Фк, (22.14) где q - определяется по формуле (22.12).
Если бы контур питания был окружностью радиуса а, то дебит опре делялся бы по формуле Дюпюи 2kh(pк - pс ).
Q = ln a rc Рис. 22.6. Схема пласта с различными контурами пи тания На практике часто форма контура питания бывает неизвестна, но, оче видно, что контур питания MN (рис. 22.6) располагается между окружно стью и прямой линией. Следовательно, дебит скважины в этих условиях будет находиться в пределах 2kh(pk - pc ) 2kh(pk - pс ).
Q ln a rc ln 2a rc Скорость фильтрации в точке М определяется как геометрическая сумма скоростей фильтрации, вызванная работой реальной скважины стока и фиктивной скважины-источника (рис. 22.5), т.е.
w = w + w, A A 466 ГЛАВА XXII где - wA = q 2r1 и направлена к скважине А;
wA = q 2r2 и направ лена от скважины А'. На контуре питания, где r1 = r2, очевидно, вектор скорости фильтрации перпендикулярен линии контура питания.
Из формулы (22.14) следует, что уравнение эквипотенциалей имеет вид r1 r2 = const или r12 r22 = c Рис. 22.7. Семейства линий тока и эквипотенциалей в потоке жидкости к сква жине-стоку в пласте с прямолинейным контуром питания (или в бесконечном пласте к источнику и стоку).
Выразив r12 и r22 через координаты точки М(x,y) и координаты центров 2 скважин А(0,а) и А'(0,-а), получим r12 = (x - a) + y2 и r12 = (x + a) + y2.
Подставив эти выражения в формулу для эквипотенциалей и произведя преобразования, получим:
1 + c 4a2c x - a + y2 = - c (1 - c) ПЛОСКИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ПОТОКИ 1 + c - уравнение окружности с центром в точке x0 = a, y = 0 и с радиу 1 - c сом R = 2a c (1 - c).
Изменяя значения константы c, получим семейство эквипотенциа лей - окружностей с разными радиусами и центрами, расположенными в разных точках оси x. Семейство линий тока представляет собой окруж носЦти, проходящие через центры обеих скважин, центры которых лежат на прямолинейном контуре питания. При этом эквипотенциали (изобары) всегда ортогональны линиям тока (рис. 22.7).
з5. Приток жидкости к скважине в пласте вблизи прямолинейной непроницаемой границы Пусть эксплуатационная сква жина находится в пласте с непрони цаемой границей, то есть пласт представляет собой полуплоскость.
Расстояние от скважины до непро ницаемой границы равно a, заданы потенциалы на контуре питания Фk и на скважине Фс, радиус контура питания Rk (рис. 22.8). Требуется определить дебит скважины. Такая задача на практике может возник нуть в случае, когда добывающая скважина расположена вблизи сбро са или границы выклинивания про дуктивного пласта. В этом случае Рис. 22.8. Схема притока жидкости реальную скважину зеркально ото к скважине, работающей вблизи не бражают относительно непроницае проницаемой прямолинейной границы мой границы, и дебиту отображен ной скважины приписывается тот же знак, что и реальной скважине.
Тогда потенциал в произвольной точке М определяется по формуле ФM = (q ln r1 + q ln r2 ) + C.
468 ГЛАВА XXII Поместим точку М сначала на стенку скважины, а потом на контур питания. В результате получим уравнения 1 Фc = (q ln rc + q ln 2a) + C и Фk = (q ln Rk + q ln Rk ) + C.
2 Разрешая полученную систему уравнений относительно q, будем иметь 2(Фк - Фс).
q = (22.15) ln Rk 2arc Формулу (22.15), используя выражения для потенциала (22.4), можно переписать в виде 2kh(pк - pс ).
Q = (22.16) ln Rk 2arc з6. Приток жидкости к скважине, эксцентрично расположенной в круговом пласте Пусть эксплуатационная скважина находится в пласте с круговым контуром питания, но расположена на расстоянии от центра круга (рис.22.9). Расстояние от центра пласта до контура питания равно Rk, зада- Рис. 22.9. Схема притока жидкости к скважине, эксцентрично расположенной в круговом пласте даны потенциалы на контуре питания Фk и на скважине Фс. Требуется оп ределить дебит скважины и потенциал в любой тоске пласта. В этом слу чае, как и в предыдущих, реальную скважину-сток А отобразим в фиктив ную скважину-источник А', расположенную на расстоянии a от скважины ПЛОСКИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ПОТОКИ А и лежащую на продолжении линии ОА. Расстояние a определим из ус ловия постоянства потенциала на контуре и, следовательно, в точках М и М2, лежащих на контуре питания.
По методу суперпозиции для потенциалов в точках М1 и М2 имеем следующие выражения q R - k Ф = Ф = ln + C, (22.17) k M 2 a - ( - R ) k q R + k Ф = Ф = ln + C. (22.18) k M 2 a + R + ( ) k Из условия равенства потенциалов в точках М1 и М2 получаем уравне ние для определения a Rk - Rk + = a - (Rk - ) a + (Rk + ), откуда 2 a = (Rk - ). (22.19) Для того, чтобы определить дебит скважины А, определим потенциал на ее забое q Ф = Ф = ln r - ln a + C. (22.20) () c A c Вычитая из равенства (22.17) соотношение (22.20), получим q a(Rk - ) Ф - Ф = ln k c 2 rc [a - (Rk - )] или, подставив вместо a его выражение (22.19) 2 R )( ) q ( - R - kk Ф - Ф = ln.
k c 2 2 R - k r - ( - R ) ck Преобразуя в последнем равенстве выражение под знаком логарифма и разрешая его относительно q, найдем формулу для дебита скважины, эксцентрично расположенной в круговом пласте 2(Фк - Фс ) q =. (22.21) Rk ln rc Rk Заметим, что если эксцентриситет равен нулю ( = 0 ), то формула (22.21) превращается в формулу Дюпюи.
470 ГЛАВА XXII Для того чтобы найти потенциал во всех точках пласта, воспользуемся методом суперпозиции и выпишем потенциал в произвольной точке М qq r Ф = ln r - ln r + C = ln + C. (22.22) () M1 2 2 r Вычитая из равенства (22.20) соотношение (22.22) и используя равенство (22.19), получим 2 q r R - 1 k Ф = Ф + ln. (22.23) M с 2 r r 2 c Формулу для потенциала в произвольной точке пласта можно полу чить и вычитая равенство (22.22) из равенства (22.17). В этом случае будем иметь q r Ф = Ф - ln. (22.24) M k 2 r R 1 k Очевидно, что формулы (22.23) и (22.24) эквивалентны.
з7. Об использовании метода суперпозиции при фильтрации газа В рассмотренных выше задачах построены решения для случая уста новившейся фильтрации несжимаемой жидкости, а теперь обобщим полу ченные результаты на случай установившейся фильтрации газа.
Напомним, что метод суперпозиции основан на линейности и одно родности уравнения Лапласа. Как было показано в предыдущей главе, при установившейся фильтрации уравнению Лапласа в случае фильтрации не сжимаемой жидкости удовлетворяет распределение давления, а при фильтрации сжимаемой жидкости и газа - функция Лейбензона. Поэтому и при фильтрации газа можно использовать метод суперпозиции, но для по тенциалов, определенных через функцию Лейбензона.
Напомним, что системы уравнений для моделей несжимаемой жидкос ти и сжимаемого флюида имеют, соответственно, вид p = 0, P = 0, kk w = - grad p, w = - grad P, = ( p).
= const, Поэтому нужно ввести потенциал не для вектора скорости фильтрации w, а для вектора массовой скорости фильтрации w, т.е. должно выполнять ПЛОСКИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ПОТОКИ ся равенство w = - grad Ф. (22.25) Следовательно, при фильтрации газа имеем k w = - grad Ф = - grad P, откуда k Ф = P. (22.26) Таким образом, при установившейся фильтрации газа потенциал линейно связан с функцией Лейбензона.
Для нахождения потенциала добывающей газовой скважины (стока) спроектируем уравнение (22.25) на цилиндрическую систему координат dФ w =. (22.27) dr Далее введем удельный массовый дебит qm, приходящийся на единицу толщины пласта qm = Qm h, и выразим его через массовую скорость фильт рации Qm 2rhw qm = = = 2rw h h Тогда равенство (22.27) можно переписать в виде qm dФ =.
2r dr Разделив переменные qmdr = dФ 2r и интегрировав последнее равенство, получим qm Ф = ln r + C, (22.28) где С - постоянная интегрирования.
Очевидно, что аналогичные рассуждения можно повторить для слу чая, когда на плоскости находится источник. Тогда будем иметь qm Ф = - ln r + C.
472 ГЛАВА XXII Подобным образом введенный потенциал также как и потенциал, вве денный равенством (22.28), удовлетворяет уравнению Лапласа 2Ф 2Ф + = 0. (22.29) x2 y Поэтому для построения решений с помощью метода суперпозиции при установившейся фильтрации газа можно использовать ранее найден ные решения для установившейся фильтрации несжимаемой жидкости.
Аналогия между фильтрацией несжимаемой жидкости и газа устанавлива ется с помощью следующей замены переменных:
для несжимаемой жидкости для газа p(x) P(x) w w (22.30) q qm k k Ф = p Ф = P Следовательно, произведя указанную замену переменных в решениях, полученных для установившейся фильтрации несжимаемой жидкости, бу дем иметь формулы, описывающие установившуюся фильтрацию газа.
Система уравнений (22.11) для определения притока жидкости к группе скважин, работающих в пласте с удаленным контуром питания, для случая газовых скважин, согласно аналогии, определяемой соотноше ниями (22.30), преобразуется следующим образом 1 Rk Rk Rk Ф - Ф = k c qm1 ln +... + qmi ln +... + qmN ln, 2 rc1 r1 i r1n ЕЕЕЕЕЕЕЕ.. (22.31) 1 Rk Rk Rk Ф - Ф = k cn qm1 ln +... + qmi ln +... + qmN ln.
2 r1n r in rcn Формула для определения удельного дебита нефтяной скважины, ра ботающей в пласте с непроницаемой границей (22.12), в случае работы га зовой скважины, преобразуется к виду 2(Ф - Ф).
k c qm = (22.32) ln Rk 2arc Формулы (22.15) и (22.16) для определения удельного дебита и дебита нефтяной скважины в пласте с прямолинейным контуром питания, для га ПЛОСКИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ПОТОКИ зовой скважины преобразуются к виду 2 - (), k c qm = (22.33) ln 2a rc 2 kh P - P ( ) Qm =. (22.34) ln 2a rc Выражение для определения потенциала в любой точке газового пласта с пря молинейным контуром питания будет иметь вид = qm ln r1 r2 +, k где q определяется по формуле (22.33).
Аналогичные изменения необходимо внести и в формулы для дебита скважины, эксцентрично расположенной в круговом пласте (22.21), и для определения потенциала в произвольной точке пласта (22.23) и (22.24).
В результате формулы примут вид 2 - () k c qm =, (22.35) Rk ln rc Rk 2 qm r1 Rk - = +ln, 2 r2 rc qm r = - (22.36) ln.
k 2 r1 Rk Формулы (22.35) и (22.36) (также как и (22.21) - (22.24)) при имеют предельный переход и становятся формулами для потенциала про извольной точки в случае центральной скважины. В самом деле, имеем Rk a = - следовательно, при 0 получаем Rk r2 a и r1 r где r расстояние от центральной скважины до произвольной точки M.
Поэтому q r r2 q r q R +ln = + ln = - ln 2 r2 rc 2 rc 2 r Глава XXIII НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ В УПРУГОМ ПЛАСТЕ з1. Упругий режим пласта и его характерные особенности При разработке и эксплуатации месторождений углеводородного сы рья в пластах часто возникают неустановившиеся процессы, обусловлен ные пуском или остановкой скважин, изменением темпов отбора флюида из скважин и т.д. Для неустановившихся процессов характерно перерас пределение пластового давления, изменение во времени скоростей фильт рационных потоков, дебитов скважин. Количественные характеристики неустановившихся процессов (величины изменения давления, скоростей, дебитов) зависят от упругих свойств пластов и насыщающих их жидкос тей. Последнее означает, что основной формой пластовой энергии, обеспе чивающей приток жидкости к скважинам в рассматриваемых неустано вившихся процессах, является энергия упругой деформации жидкостей (нефти и/или воды) и твердого скелета пласта.
Математическая модель, которая будет сформулирована далее, учи тывает проявление упругих сил в однофазном фильтрационном потоке, т.е.
далее будет считаться, что давление в любой точке потока выше давления насыщения жидкости газом.
При пуске скважины в эксплуатацию в условиях упругого режима движение жидкости начинается за счет использования потенциальной энергии упругой деформации пласта и жидкости сначала в ближайших ок рестностях забоя, затем во все более удаленных областях пласта. В самом деле, при снижении пластового давления упругое противодействие пласта вышележащему горному массиву уменьшается, и это приводит к уменьше нию объема порового пространства, что, в свою очередь, увеличивает сжа тие жидкости. Все это способствует вытеснению жидкости из пласта в скважину. И несмотря на то, что коэффициенты объемной упругой де формации жидкости и твердого скелета пласта очень малы, из-за того, что очень велики объемы пласта и насыщающих его флюидов, объемы жидкости, извлекаемой из пласта за счет упругости пласта и жидкости, могут быть весьма значительными.
В некоторых случаях приток жидкости к забоям скважин поддержива ется и напором воды, поступающей в пласт из области питания. Тогда ре НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ жим пласта следует называть упруговодонапорным. Различают и вторую разновидность упругого режима - замкнуто-упругий режим. Встречаются залежи нефти в закрытых со всех сторон пластовых ловушках, когда на небольших расстояниях от нефтяной залежи продуктивный пласт либо вы клинивается, либо экранирован сбросом. В начальной стадии разработки та кой залежи, до тех пор, пока пластовое давление не снизилось до давления насыщения, имеет место замкнуто-упругий режим движения флюида.
Характерная особенность проявления упругого режима в процессе разработки нефтяных месторождений проявляется в длительности во вре мени процесса перераспределения пластового давления после начала рабо ты скважины или изменения темпа отбора жидкости из скважины. Это свя зано с тем, что при фильтрации вязкой жидкости в пласте возникают очень большие силы сопротивления. Неустановившиеся процессы протекают тем быстрее, чем больше коэффициент проницаемости k, и тем медленнее, чем больше вязкость жидкости и коэффициенты объемной упругости жидкости ж и твердого скелета пласта с.
Первыми исследователями, разрабатывавшими теорию упругого ре жима в 30-х годах 20-го века, были Маскет, Шилсуиз, Херст, Тсейс и Дже коб. Однако они не учитывали объемную упругость пласта. Наиболее пол но теория упругого режима с учетом упругих свойств твердого скелета пласта и насыщающих жидкостей была разработана В.Н.Щелкачевым.
з2. Подсчет упругого запаса жидкости в пласте Под упругим запасом жидкости в пласте понимают количество жид кости, которое можно извлечь из пласта при снижении давления в нем за счет объемной упругости твердого скелета пласта и насыщающих его жид костей. Хотя коэффициенты объемной упругой деформации жидкости и твердого скелета пласта очень малы (см. гл. XIX), очень велики объемы пласта, поэтому упругий запас жидкости в пласте может быть весьма су щественным. При снижении давления в пласте упругий запас жидкости ес тественно убывает, а при повышении давления происходит накопление уп ругого запаса жидкости в нем.
Упругий запас жидкости в пласте можно подсчитать следующим об разом. Выделим мысленно элемент объема пласта V0. Пусть V0ж есть объ ем жидкости, насыщающей этот элемент объема пласта V0 при начальном давлении p0. Упругий запас жидкости будем определять по ее объему, за меряемому при начальном пластовом давлении. Обозначим через Vз из менение упругого запаса жидкости внутри объема пласта V0 при измене нии давления во всех его точках на величину p. В соответствии с форму 476 ГЛАВА XXIII лами (19.22) и (19.40), заменив дифференциалы давления и объемов пор и жидкости на конечные разности, имеем - жV0жp = Vж и V0p = Vп.
Для дальнейшего использования этих формул необходимо внести некото рые уточнения. При определении формулы для коэффициента объемного сжатия жидкости ж считалось, что на жидкость действует только сжи мающее гидростатическое давление, поэтому при увеличении давления (сжатие) объем жидкости уменьшается и, наоборот, при уменьшении дав ления объем возрастает. В результате перед коэффициентом ж стоит знак минус. В случае упругого режима при падении давления в пласте объем жидкости уменьшается. Такое поведение жидкости обусловливается тем, что рассматривается жидкость в порах и, как следует из формулы для c, при уменьшении давления объем пор уменьшается, а жидкость испытыва ет сжимающее воздействие со стороны твердого скелета. Поэтому знак минус перед ж опускается. Полагая, что изменение упругого запаса скла дывается из Vж и Vп получаем:
Vз = жV0жp + cV0p. (23.1) Учтем, что начальный объем жидкости, насыщающей элемент объема пласта V0, равен полному объему пор в этом элементе V0ж = mV0, (23.2) m - пористость пласта.
Тогда формулу (23.1) с учетом равенства (23.2) можно переписать в следующем виде:
Vз = (mж + c)V0p, (23.3) или * Vз = V0p, (23.4) где * = mж + c. (23.5) * Коэффициент называется коэффициентом упругоемкости пласта.
* Из формулы (23.4) следует, что коэффициент упругоемкости пласта численно равен изменению упругого запаса жидкости в единице объема пласта при изменении пластового давления в нем на единицу Vз * =.
V0p Если формулы (23.3) или (23.4) относить к разрабатываемому в усло виях замкнуто-упругого режима нефтяному месторождению, то под V0 сле дует понимать объем пласта, в котором к данному моменту времени про НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ изошло изменение давления на величину p, при этом, по определению, полагается что p = pк - ~, (23.6) p где pк - начальное пластовое давление;
~ - средневзвешенное по объему p возмущенной части пласта V0 давление.
Вычислить средневзвешенное пластовое давление ~ можно, если из p вестна геометрия возмущенной части пласта и конкретное распределение давления в ней.
Дифференцируя равенство (23.4), получим * d(Vз) = d[V0(t)p].
С другой стороны, изменение упругого запаса жидкости в пласте за время dt, равное объему отобранной из пласта нефти, дается выражением d(Vз) = Q(t)dt, где Q(t) - дебит всех скважин, эксплуатирующих данную нефтяную за лежь.
Приравняв правые части двух последних равенств, получим диффе ренциальное уравнение истощения нефтяной залежи в условиях замкнуто упругого режима * d[V0(t)p] = Q(t)dt. (23.7) Полученное соотношение далее будет использоваться при построении приближенных решений теории упругого режима.
з3. Математическая модель неустановившейся фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде Изучение гидродинамики упругого режима фильтрации имеет важ нейшее значение как для теории, так и для практики разработки нефтяных и газовых месторождений. Знание этих основ позволяет в наиболее полной мере использовать упругий запас пластовых флюидов для обеспечения притока к скважинам, правильно определять потенциальные возможности упругой водонапорной системы для вытеснения флюидов, ставить и ре шать так называемые обратные задачи определения коллекторских свойств пластов по наблюдениям за изменением дебитов или давлений и т.д. Как правило, при естественном упругом режиме добывается незначительная часть извлекаемых запасов (до 2Ц5%). Однако известны случаи, когда уп ругий запас настолько велик, что позволяет отобрать гораздо больший 478 ГЛАВА XXIII процент от извлекаемых запасов. Так, например, на крупнейшем месторож дении Тенгиз при упругом режиме будет отобрано до 20% запасов нефти.
Для вывода основных дифференциальных уравнений фильтрации уп ругой жидкости в упругой пористой среде необходимо воспользоваться уравнением неразрывности потока, уравнениями движения (законом Дар си) и уравнениями состояния пористой среды и насыщающей ее жидкости.
При этом воспользуемся математической моделью, описанной в главе XIX, c системой уравнений (19.8):
m + div w = 0, t k w = - (grad p + f), (23.8) = (p), m = m(p), k = k(p), = (p), которая после пренебрежения массовыми силами и введения обобщенной функции Лейбензона, преобразуется к виду (19.21) m - P = 0, t w = - grad P, (23.9) = (p), m = m(p), k = k(p), = (p), k(p) P = (p)dp.
(p) В качестве уравнений состояния среды и жидкости воспользуемся урав нениями состояния упругой жидкости и упругой пористой среды в ранее полученной форме (19.24) и (19.42):
= 0[1 + ж(p - p0)], (23.10) m = m0 + c(p - p0). (23.11) Для проницаемости и вязкости примем k = const и = const, однако заметим, что, как показывают результаты лабораторных экспериментов, а также опыт разработки месторождений, в ряде случаев наряду с измене нием пористости вследствие возникающих деформаций, происходят и из менения проницаемости пластов. Особенно это относится к глубоко зале гающим месторождениям углеводородов. Понятно, что данное обстоятель ство не учитывается в рассматриваемой модели. Однако введение еще од ного уравнения состояния k = k(m(p)) приведет к существенному услож нению модели. Поэтому, несмотря на то, что развитию теории упругого НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ режима с учетом зависимости k = k(m(p)) посвящено большое число ис следований, изложение этого раздела в более общей постановке заметно усложнило бы изложение, и авторы считают целесообразным, сохранив традиционный подход, рекомендовать читателям обратиться к посвящен ным этому вопросу монографиям самостоятельно.
з4. Вывод дифференциального уравнения фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде по закону Дарси Обратимся теперь к математической модели неустановившегося дви жения упругого флюида, подчиняющегося закону Дарси, в деформируемой пористой среде (23.9) с уравнениями состояния (23.10) и (23.11) и при k = const, = const. Полная система уравнений имеет вид m - P = 0, t w = - grad P, = 0[1 + ж(p - p0)], m = m0 + с(p - p0), k = const, = const, k P = dp.
Понятно, что все уравнения системы определяют математическую модель, но для постановки и решения задач в рамках модели желательно преобразовать уравнения и получить одно дифференциальное уравнение для одной искомой функции. Для этой цели рассмотрим первое уравнение системы.
Подставив в него функцию Лейбензона, получим (m) k = dp. (23.12) t Теперь преобразуем выражение в левой части уравнения (23.12), для чего используем уравнения состояния упругой жидкости и упругой порис той среды (23.10) и (23.11) = 0[1 + ж(p - p0)], m = m0 + c(p - p0), и вычислим произведение m m = m00 + (m00ж + 0с)(p - p0) + 0cж(p - p0).
Последним слагаемым в правой части полученного выражения ввиду его малости по сравнению с двумя другими слагаемыми можно пренебречь 480 ГЛАВА XXIII (напомним, что для нефтей ж изменяется в диапазоне от 710Ц10 ПаЦ до 3010Ц10 ПаЦ1, а для пластовых вод диапазон изменения лежит в пределах от 2,710Ц10 ПаЦ1 до 510Ц10 ПаЦ1, и что коэффициент объемной упругости пла ста составляет c = (0,3 - 2)10-10 ПаЦ1). Тогда, с учетом (23.5), получим * m = m 1 + p - p m, ( ) 0 0 0 откуда после дифференцирования выражения по времени t находим (m) p * = 0. (23.13) t t Теперь преобразуем правую часть равенства (23.12) k dp.
Подставив под знак интеграла уравнение состояния упругой жидкос ти (23.10), получим k k p dp = 0 p + 0ж - p0 p + C, (23.14) но снова учитывая, что жидкость слабосжимаемая и коэффициент мал, ж пренебрежем вторым слагаемым и в результате получим k k dp = 0p. (23.15) Подставив (23.13) и (23.15) в исходное дифференциальное уравне ние (23.12), получим дифференциальное уравнение относительно давления p k * = p, (23.16) t или в декартовой системе координат p 2 p 2 p 2 p = + + (23.17) t x2 y2 z2, где введено обозначение * = k ( ). (23.18) Уравнение (23.16) - основное дифференциальное уравнение теории упругого режима фильтрации. По предложению В.Н.Щелкачева, оно на звано уравнением пьезопроводности. Дифференциальное уравнение пьезо проводности относится к уравнениям типа уравнения теплопроводности (уравнения Фурье), которое является одним из основных уравнений мате матической физики.
Коэффициент, характеризующий скорость перераспределения пла стового давления при неустановившейся фильтрации упругой жидкости в НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ упругой пористой среде, В.Н.Щелкачев назвал коэффициентом пьезопро водности пласта по аналогии с коэффициентом температуропроводности в уравнении теплопроводности.
Размерность коэффициента пьезопроводности можно установить из (23.18):
k L2 = L2, == [ ] * [ ][ ] L-1MT-1LM-1T2 T где L, M, Т - соответственно, размерности длины, массы и времени. Наи более часто встречающиеся в нефтепромысловой практике значения коэф фициента пьезопроводности заключены в пределах от 0,1 до 5 м2/с.
Отметим, что уравнение пьезопроводности (23.16) применимо только для слабосжимаемой упругой жидкости, для которой ж(p - p0) < 1. Ес ли же это условие не выполняется, то при переходе от (23.14) к (23.15) нельзя пренебрегать слагаемым с. Данное обстоятельство приведет ж к тому, что дифференциальное уравнение значительно усложнится и ста нет нелинейным.
з5. Одномерные фильтрационные потоки упругой жидкости.
Точные решения уравнения пьезопроводности. Основная формула теории упругого режима Рассмотрим наиболее простые точные решения уравнения пьезопроводности (23.16) для одномерных потоков.
5.1. Прямолинейно-параллельный фильтрационный поток упругой жидкости Случай 1. Приток к галерее, на которой поддерживается постоянное давление. Пусть в полубесконечном горизонтальном пласте постоянной толщины h и ширины В начальное пластовое давление всюду постоянно и равно pк. На галерее (при x = 0) давление мгновенно снижено до pг и в дальнейшем поддерживается постоянным (т.е. pг = const). В удаленных точках (x ) давление в любой момент времени остается равным pк.
При этих условиях в упругом (деформируемом) пласте образуется не установившийся прямолинейно-параллельный поток упругой жидкости.
Давление в любой точке потока x и в любой момент времени t можно оп ределить, интегрируя уравнение пьезопроводности (23.17), которое для одномерного течения в декартовой системе координат запишется в виде:
p 2 p =, 0 < x <. (23.19) t x 482 ГЛАВА XXIII Начальные и граничные условия, сформулированные выше и записан ные в виде математических соотношений, будут следующие:
p(x,t) = pк при t = 0;
p(x,t) = pг при x = 0, t > 0 ;
(23.20) p(x,t) = pк при x =, t 0.
Задача заключается в определении дебита галереи Q(t) и давления в любой точке потока, в любой момент времени, то есть функции p(x,t).
Используя анализ размерностей, покажем, что поставленная задача автомодельна, т. е. из аргументов, от которых зависит давление, можно со ставить один безразмерный комплекс, от которого будет зависеть искомая функция p(x,t).
Обозначим через P = (p - pг ) (pк - pг ) безразмерное давление, ко торое, как следует из соотношений (23.19) и (23.20), зависит от времени t, координаты х и коэффициента пьезопроводности, т.е.
P = f(x,t, ).
Размерности этих аргументов следующие: [x] = L, [t] = Т, [ ] = L2 ТЦ1, и из них можно составить безразмерный комплекс x t. Приняв за но вую переменную безразмерную величину u = x (2 t), сведем задачу к нахождению безразмерного давления P, зависящего только от u (авто модельной переменной), P = f(u). В результате подобного перехода гра ничные условия (23.20) запишутся в виде P = 0 при u = 0, P = 1 при u =. (23.21) В силу линейности дифференциального уравнения (23.19) для безраз мерного давления Р имеем такое же уравнение, как и для размерного p, P P =. (23.22) t x Используя правило дифференцирования сложных функций, частные производные по координате и времени можно выразить через производные по безразмерной (автомодельной) переменной. Выполняя дифференциро вания, находим P dP u dP = =, x du x du 2 t P dP u dP x 1 dp u - - = = =, t du t du 2 t3 du 2t 2P P dP 1 1 d2P u 1 d2P = = = =.
x2 x x x du 2 t 2 t du2 x 4t du НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ Подставляя найденные значения производных в уравнение (23.22), получим обыкновенное дифференциальное уравнение d2P dP + 2u = 0, (23.23) du2 du которое должно быть решено при условиях (23.21). Для решения уравне ния (23.23) обозначим dP du =, тогда уравнение (23.23) принимает вид d + 2u = 0. (23.24) du Разделив переменные в (23.24), будем иметь d = -2udu и далее, проинтегрировав, получим ln = -u2 + ln C1, потенцируя которое, найдем dP = = C1e-u, (23.25) du где C1 - постоянная интегрирования.
Проинтегрировав (23.25) с учетом первого из условий (23.21), полу чим:
u P = C1 e-u du.
Вторым условием (23.20) воспользуемся для нахождения константы интегрирования C1. Устремим переменный верхний предел u в интеграле к бесконечности и получим 1 = C1 -u2 du.
e -u Из интегрального исчисления известно, что du = 2, поэто e му предыдущее соотношение дает C1 = 2, и окончательно получим x 2 t P = e-u du. (23.26) Интеграл (23.26) называется интегралом вероятности, является табу лированной функцией, изменяющейся в пределах от 0 до 1 и имеет специ 484 ГЛАВА XXIII альное обозначение x 2 t 2 x e-u du = erf.
2 t x Таким образом, P = erf, и закон распределения давления в неус 2 t тановившемся прямолинейно-параллельном фильтрационном потоке упру гой жидкости имеет вид x p = pг + (pк - pг)erf. (23.27) 2 t Типичные кривые распределения давления в различные моменты вре мени в неустановившемся прямолинейно-параллельном потоке упругой жид кости в галерее, пущенной в эксплуатацию с постоянным забойным давлением pг = const, приведены на рис. 23.1.
Рис. 23.1. Кривые распределения давле ния в различные моменты времени в не установившемся прямолинейно-парал лельном потоке упругой жидкости при условии pг = const Найдем дебит галереи Q. Будем считать положительным дебит, отби раемый из галереи (x = 0), когда поток движется против оси x и p x > 0.
Согласно закону Дарси k p k p w =, Q = Bh, (23.28) x x x=0 x= где В, h - соответственно, ширина и толщина пласта. Продифференциро вав выражение (23.27), получим x - p pк - pг 2 t = (pк - pr ) 2 e =. (23.29) x 2 t t x= x= Дебит галереи в любой момент времени найдем, подставив значение градиента давления p x из (23.29) в выражение (23.28), k pк - pr Q = Bh. (23.30) t НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ Из формулы (23.30) следует, что дебит галереи убывает с течением времени, как 1 t, и при t стремится к нулю. В момент време ни t = 0 формула (23.30) дает бесконечное значение дебита, и это обстоя тельство является следствием скачка давления на галерее (от pк до pг ) в начальный момент времени.
Накопленная к моменту t добыча (объем добытой нефти) Vдоб опре деляется по формуле t t k(pк - pг )Bh dt 2k(pк - pг )Bh Vдоб = Q(t)dt = = t, t t 0 т.е. сразу после начала отбора из галереи она быстро возрастает, а в дальнейшем растет очень медленно (рис. 23.2).
Случай 2. Приток к галерее, на кото рой поддерживается постоянный дебит.
Пусть в таком же полубесконечном пла сте, что и в случае 1, в момент времени t = = 0 пущена в эксплуатацию галерея, но теперь будем считать, что на галерее Рис. 23.2. Зависимости дебита и поддерживается постоянный объемный добычи жидкости от времени по дебит Q. Требуется найти давление в лю сле пуска галереи при условии рг = бой точке пласта в любой момент време = const ни.
Математически задача заключается в интегрировании того же уравнения (23.22), но с иными начальными и граничными условиями:
p(x,t) = pк при t = 0;
k p w(x,t) = = w1 = const при x = 0, t > 0;
x p(x,t) = pк при t > 0, x. (23.31) Первое условие, как и в первом случае, задает распределение давления в пласте до пуска галереи, из него следует, что давление во всех точках пласта в начальный момент времени постоянно и равно контурному. Вто рое условие задает постоянство дебита на галерее после ее пуска. Из третьего условия следует, что граница возмущенной зоны с ростом време ни перемещается к бесконечности.
Для интегрирования уравнения пьезопроводности в данном случае умножим обе части уравнения (23.22) на k и далее продифференцируем 486 ГЛАВА XXIII по x. В результате получим 2 k p k p =, x t x откуда, поменяв порядок вычисления производных, получим:
k p k p =. (23.32) t x x x Так как k p = w(x,t), x то уравнение (23.32) можно переписать в виде w(x, t) w(x, t).
= (23.33) t x Уравнение (23.33) по форме также совпадает с уравнением теплопро водности (23.22). Следовательно, решением уравнения (23.33) будет реше ние, аналогичное (23.26), с заменой давления p на скорость фильтрации w x w = C1 erf + C2. (23.34) 2 t При этом следует иметь в виду, что начальное и граничное условия для w имеют вид:
w(x,0) = 0, w(0,t) = w1.
Используя эти условия, найдем константы интегрирования.
При t = 0 из (23.34) следует 0 = C1 e-u du + C2.
Так как e-u du = 2, получаем 0 = C1 + C2.
Второе условие, при x = 0, дает w1 = C1 e-u du + C2.
Из этих двух равенств имеем C2 = w1, C1 = -w1 и, следовательно, x k p w(x,t) = w11 - erf =. (23.35) x 2 t НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ Чтобы найти распределение давления в потоке, необходимо проинтегриро вать уравнение (23.35) по x при фиксированном времени t.
x x 2 t k p -u dx = w1 1 e du dx.
x 0 Выполнив интегрирование, получаем x 2 t p(x,t) - p(0,t) = w1x - w1 -u2 du dx. (23.36) e k k Последнее слагаемое в (23.36) интегрируется по частям x x 2 t w1 e-u du dx = k 0 x 2 t x x 2 dx = w1x e-u du - x e- x2 4t = | k 2 t 0 x 2 t 2w1 x = e-u du - t(1 - e- x2 4t).
k Поэтому уравнение (23.36) можно записать в виде w1 - e- x2 4t x p(x,t) - p(0,t) = x1 - erf +. (23.37) x k 2 t 2 t С учетом того, что p(0,t) есть давление на галерее, т.е. p(0,t) = pг(t), из (23.37) запишем выражение для давления в любой точке потока:
w1 x 2 t 4t p(x,t) = pг + (1 ). (23.38) x1 - erf + - e-x k 2 t Чтобы найти закон изменения давления на галерее pг(t), подставим в (23.38) граничное условие p(x,t) = pк при x. Так как при x x x дает неопределен erf 1, то произведение x1 - erf 2 t 2 t ность вида 0. Раскрывая ее по правилу Лопиталя, можно показать, что 488 ГЛАВА XXIII это произведение стремится к нулю. Учитывая также, что e-x 4t при x, получаем 2w pг(t) = pк - t k или Q 2 t pг(t) = pк -. (23.39) Bh k Нетрудно видеть, что решение (23.39) при очень больших значениях времени теряет физический смысл. В самом деле, так как процесс во времени не ограничен, то можно указать такие значения t, при которых pг(t) < 0. По лученный результат означает, что принятое граничное условие - задание w(0,t) = const = w1 является слишком жестким, для его реализации тре буются отрицательные давления при больших временах t. Реально эти дав ления возникать не будут - возникнет кавитация вблизи галереи.
5.2. Плоскорадиальный фильтрационный поток упругой жидкости.
Основная формула теории упругого режима фильтрации Пусть в неограниченном горизонтальном пласте постоянной толщины h имеется добывающая скважина нулевого радиуса (точечный сток). На чальное пластовое давление во всем пласте одинаково и равно pк. В мо мент времени t = 0 скважина пущена в эксплуатацию с постоянным объем ным дебитом Q0. В результате в пласте образуется неустановившийся плоскорадиальный поток упругой жидкости.
Распределение давления в пласте (в любой его точке в любой момент времени) p(r,t) определяется интегрированием уравнения (23.16), которое для радиального течения в цилиндрической системе координат имеет вид p 2 p 1 p = + (23.40) t r2.
r r Начальные и граничные условия задачи следующие:
p(r,t) = pк при t = 0, p(r,t) = pк при t > 0 и r, (23.41) 2kh p r Q = = Q0 = const при t > 0.
r r= Первое условие означает, что до момента времени t = 0 во всем пла сте давление было постоянным и равным контурному. Второе условие по казывает, что граница возмущенной зоны (т.е. значение радиуса, на кото ром давление равно контурному) перемещается с ростом времени и для больших времен стремится к бесконечности. Из третьего условия следует, что дебит скважины поддерживается постоянным.
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ Последнее условие запишем в виде p Q0 r =. (23.42) r r=0 2kh Так же, как в предыдущем случае, проведем анализ размерностей. Ис комое распределение давления в пласте зависит от пяти определяющих па раметров: r, t,, pк, Q0 (2kh), размерности которых следующие:
[r] = L, [t] = T, [ ] = L2T-1, [pк] = [p], Q0 = [p], 2kh где [p] - размерность давления. Из этого следует, что давление, приведен ное к безразмерному виду, P = p pк, зависит только от двух безразмер ных параметров (так как из пяти параметров три имеют независимые раз мерности (r,t, pк)), то есть можно записать Q0 r P = f (23.43), 2khpк = 2 t.
, Таким образом, задача автомодельна, и уравнение (23.40) можно све сти к обыкновенному дифференциальному уравнению. Продифференциру ем (23.43) и найдем представление частных производных по независимым переменным t и r через производные по автомодельной переменной:
P dP P dP 1 2P 1 d2P = -, =, =.
t d 2t r d 2 t r2 4t d Подставив полученные выражения в уравнение (23.40), получим обык новенное дифференциальное уравнение d2P 1 dP + (23.44) 2 + 2 d = 0, d которое нужно проинтегрировать при условиях, полученных из (23.41) преобразованием к безразмерному виду, P() = 1 при, dP Q0 =. (23.45) d =0 2khpк Воспользуемся подстановкой dP = v d и из уравнения (23.44) получим dv + + 2 v = 0, d 490 ГЛАВА XXIII или d dv + = -2 d. (23.46) v Проинтегрировав (23.46), получим ln + ln v = - + ln C1, (23.47) где C1 - постоянная интегрирования.
Потенцируя (23.47), найдем:
dP e v = = C. (23.48) d Проинтегрируем (23.48) в пределах от до бесконечности, учтя первое из условий (23.41), и получим e P = -C d + 1. (23.49) ( ) Умножая равенство (23.49) на, устремляя 0 и используя вто рое условие (23.45), найдем величину C Q C =.
2 khp к Тогда (23.49) преобразуется к виду Q0 e P( ) = 1 - d (23.50) 2khpк Интеграл в последней формуле легко свести к табличному подстановкой r2 d du u = =, =.
4t 2u Перейдя также от безразмерного давления P к размерному p = Ppк, бу дем иметь окончательно Q0 e-u p(r, t) = pк - du. (23.51) 2kh u r2 (4t) Интеграл в формуле (23.51) называется интегральной показательной функцией, которая табулирована и имеет специальное обозначение r2 e-u - - Ei = du.
4t u r2 (4t) НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ Таким образом, давление в любой точке плоскорадиального потока в условиях упругого режима фильтрации определяется по формуле Q0 r p(r,t) = pк - (23.52) - Ei -.
4kh 4t Формула (23.52) получила название основной формулы теории упру гого режима фильтрации. Она имеет широкое практическое применение, в частности, используется при интерпретации результатов исследования скважин, в расчетах распределения давления при фильтрации упругой жид кости и т.д.
Интегральную показательную функцию можно представить в виде ряда n+ 1 - 1)xn, - Ei (- x) = ln - + ( x n n!
n= который сходится при всех значени ях x (0 < x < ), - постоянная Эйлера - иррациональное число, приближенное значение которого при вычислениях в подземной гид ромеханике принимается рав ным 0,5772.
При изменении аргумента x от 0 до функция - Ei (- x) быстро убывает от до 0. График этой функции приведен на рис. 23.3. При малых значениях x суммой ряда Рис. 23.3. График интегральной пока можно пренебречь, тогда зательной функции - Ei (- x) = ln - 0,5772.
x При этом погрешность не превосходит:
r 0,25%, если x = 0,01;
4t 5,7%, если x 0,1;
9,7%, если x 0,14.
Следовательно, для значений r2 (4t) 1 давление можно определять по формуле Q0 4t ln p(r,t) = pк - - 0,5772. (23.53) 4kh r 492 ГЛАВА XXIII Из (23.52) находим, что расход жидкости через любую цилиндричес кую поверхность радиусом r и скорость фильтрации там определяются, соответственно, по формулам k p Q(r,t) = 2rh = Q0e-r 4t, (23.54) r Q w = e-r 4t. (23.55) 2rh Из последней формулы следует, что стационарная скорость w = стац = Q 2 rh достигается очень быстро на небольших расстояниях от сква ( ) жины, так как значение коэффициента пьезопроводности обычно велико.
При теоретическом исследовании неустановившихся процессов пере распределения пластового давления удобно пользоваться безразмерными параметрами Фурье fo и Fo, играющими роль безразмерного времени и оп ределяемыми по формулам:
t t fo =, Fo =. (23.56) rc2 Rк В зависимости от специфики решаемой задачи удобно пользоваться тем или другим из указанных параметров Фурье.
Строго говоря, основная формула теории упругого режима (23.52) справедлива лишь для случая точечного стока (при rc = 0) в неограничен ном пласте ( Rк = ).
Для оценки влияния конечности радиуса возмущающей скважины rc на результаты расчетов давления В.Н.Щелкачев сравнил результаты расче тов по формуле (23.52) и по точной формуле (Ван-Эвердинген и Херст), учитывающей конечный радиус скважины rc. В.Н.Щелкачев установил, что погрешность подсчетов давления по формуле (23.52) составляет 0,6% при fo = 100;
2,3% при fo = 25, 5% при fo = 10, 9,4%;
при fo = 5 контура пи тания или радиус круговой непроницаемой границы пласта.
Оценим практическое значение этой погрешности. Допустим, что = = 1 м2/с, rc = 0,1 м. Тогда, полагая fo = 100, найдем rc2 0, t = fo = 100 = 1 c.
Следовательно, уже через 1 с после пуска скважины расчеты забойного давления, выполненные по формуле (23.52), будут иметь погрешность, не превышающую 0,6%. Отсюда следует, что для скважин обычных размеров формула (23.52) обеспечивает высокую степень точности уже на самой ран ней (а тем более на поздней) стадии процесса перераспределения давления.
Непосредственными расчетами В.Н.Щелкачевым было установлено, что в громадном большинстве практически интересных случаев изменение давления при работе скважины в конечном открытом пласте можно в тече НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ ние достаточно длительного времени изучать при помощи простой форму лы (23.52) для бесконечного пласта. При этом погрешность в подсчетах за бойного давления не превзойдет 0,08% при Fo 0,2;
1% при Fo 0,35;
1,9% при Fo 0,5.
Для расчетов пластового давления в любой точке открытого кругового пласта в случае r 0,1 Rк, можно с высокой степенью точности (до 0,2%) пользоваться формулой (23.52) для бесконечного пласта, если при этом Rк 105rc, Fo 0,2.
В дополнение к указанным оценкам можно еще отметить, что различие в величинах забойных давлений в условиях конечного (открытого и закрыто го) и бесконечного пластов не превзойдет 1%, если Fo 0,33, Rк 50 rc или если Fo 0,35, Rк 1000 rc.
Решения дифференциального уравнения Фурье (23.40) для различных случаев фильтрации упругой жидкости в ограниченных открытых и закры тых пластах представляются бесконечными рядами по специальным функ циям Бесселя.
В заключение покажем, как ведут себя пьезометрические кривые вблизи скважины, которая эксплуатируется с постоянным дебитом Q0 (рис. 23.4).
Для точек вблизи забоя можно пользоваться формулой (23.53). Продиффе ренцировав ее по координате r, найдем градиент давления p r = Q 2 kr.
( ) Из этой формулы следует, что градиент давления для значе ний r, удовлетворяющих нера венству r2 0,03 4t, практиче ски не зависит от времени и оп ределяется по той же формуле, что и для установившейся плос корадиальной фильтрации не сжимаемой жидкости. Для ука занных значений r пьезометри ческие кривые представляют со бой логарифмические линии Рис. 23.4. Пьезометрические кривые при (рис. 23.4). Давление на забое пуске скважины с постоянным дебитом скважины падает с течением вре Q0 ;
rc - радиус скважины;
Rк - радиус мени, углы наклона касательных кругового контура питания или радиус на забое одинаковы для всех круговой непроницаемой границы пласта.
кривых.
Глава XXIV ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОГО РЕЖИМА Как было показано в предыдущей главе, решения краевых задач неус тановившейся фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде в условиях как бесконечного, так и конечного пластов можно получить при помощи хорошо известных методов интегрирования дифференциаль ного уравнения пьезопроводности (теплопроводности) (23.16). Однако во многих случаях эти решения представляются громоздкими формулами в виде бесконечного медленно сходящегося ряда или несобственного инте грала, содержащего специальные функции. В связи с этим были предпри няты поиски приближенных эффективных решений задач неустановив шейся фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде. Рассмот рим здесь некоторые из разработанных приближенных методов, получив ших широкое применение при решении задач теории упругого режима.
з1. Метод последовательной смены стационарных состояний Одним из наиболее простых по своей идее приближенных методов решения задач теории упругого режима является метод последовательной смены стационарных состояний (ПССС), развитый И.А.Чарным и широко применяющийся в практических расчетах. Метод основан на предположе нии, что давление в пласте меняется во времени значительно медленнее, чем по координатам. Поэтому производную по времени можно в первом приближении отбросить, в результате чего для давления получается урав нение Лапласа, описывающее стационарный процесс.
В каждый момент времени весь пласт условно разделяется на две об ласти - возмущенную и невозмущенную. При этом предполагается, что в возмущенной области пласта, начинающейся от стенки скважины, давле ние распределяется так, как будто бы движение жидкости в ней устано вившееся и внешняя граница этой области служит в данный момент конту ром питания. В невозмущенной области пласта давление всюду постоянно и равно начальному контурному давлению. Закон движения подвижной границы, разделяющей возмущенную и невозмущенную области, опреде ляется при помощи уравнения материального баланса и граничных условий.
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОГО РЕЖИМА Разделение фильтрационного потока на две области - возмущенную и невозмущенную - вызывает необходимость рассматривать процесс пере распределения пластового давления протекающим в две фазы. В течение первой фазы граница возмущенной области непрерывно расширяется. И в тот момент, когда она достигает естественной границы пласта, начинается вторая фаза. При теоретическом исследовании процесса в условиях беско нечного пласта приходится, естественно, иметь дело только с первой фа зой, продолжительность которой не ограничивается.
Рассмотрим теперь расчет неустановившихся одномерных потоков упругой жидкости при помощи метода ПССС.
Прямолинейно-параллельный неустановившийся фильтрационный поток упругой жидкости.
Случай 1. Приток к галерее, на которой поддерживается постоян ный дебит Q. Пусть в момент вре мени t = 0 в горизонтальном пласте постоянной толщины h и ширины В пущена в эксплуатацию прямоли нейная галерея, на которой поддер живается постоянный дебит Q. До пуска галереи давление во всем пла сте было одинаковым и равным рк.
К моменту времени t после пус- Рис. 24.1. Кривые распределения дав ка галереи граница возмущенной об- ления в прямолинейно-параллельном потоке по методу ПССС ласти распространится на длину l(t) (рис 24.1). Распределение давления в этой области считается установившимся (см. гл. XX, з2), т.е. описывает ся линейной зависимостью:
Q p(x,t) = pк - (l(t) - x), 0 x l(t). (24.1) kBh Требуется найти закон перемещения во времени внешней границы возмущенной области l(t).
Воспользуемся соотношением (23.7), которое выражает условие того, что количество добытой продукции за время dt равно изменению упругого запаса жидкости в возмущенной зоне пласта за тот же промежуток времени, Qdt = * d[V(t)p], (24.2) где V(t) - объем возмущенной зоны пласта, V(t) = B h l(t);
(24.3) pк + pг pк - pг p = pк - ~ = pк - =. (24.4) p 2 496 ГЛАВА XXIV Приняв во внимание, что p(x,t) = pг(t) при х = 0, из (24.1) найдем k pк - pг Q = Bh, l(t) откуда Ql(t) pк - pг =. (24.5.) 2kBh Подставив равенства (24.3)Ц(24.5) в соотношение (24.2), получим d Ql * Q = Bhl, dt 2kBh или, так как Q = const, * d 2Q = Q (l2), k dt откуда следует 2 dt = dl2 ( = k ( *)).
Проинтегрируем полученное соотношение и найдем l(t) = 2t. (24.6) Следовательно, формула для распределения давления в пласте (24.1) будет иметь вид Q p(x,t) = pк - ( 2t - x), 0 x 2t, kBh (24.7) p(x,t) = pк, x > 2t.
Значения депрессии pк - pг по приближенной формуле (24.7) значи тельно отличаются от данных расчета по точной формуле (24.39): погреш ность составляет 25%.
Случай 2. Приток к галерее, на которой поддерживается постоянное забойное давление pг = const. В таком же пласте, как и в случае 1, в момент времени t = 0 пущена эксплуатационная галерея с постоянным забойным давлением pг = const. До пуска галереи давление во всем пласте было оди наковым и равным рк. Требуется найти распределение давления, закон пе ремещения границы возмущенной области l(t) и изменение дебита галереи во времени Q(t).
Дебит галереи в условиях установившегося движения, очевидно, можно выразить следующим образом:
k p - p ( ) k p к г Q t = Bh = Bh.
( ) l t x ( ) x= МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОГО РЕЖИМА Задача решается аналогично предыдущему случаю с той лишь разни цей, что в уравнение для упругого запаса жидкости (24.2) нужно подста вить выражения V(t) = B h l(t), pк + pг pк - pг p = pк - ~ = pк - =, p 2 k(pк - pг) Q(t) = Bh.
l(t) Таким образом, в результате получим k(pк - pг ) pк Bhl - pг * Bh dt = d.
l(t) Проведя арифметические преобразования в этом соотношении, и вы полнив интегрирование, найдем закон движения границы возмущенной об ласти l(t) = 2 t.
Следовательно, распределение давления в возмущенной зоне пласта определяется соотношением x p(x,t) = pк - (pк - pг)1 -, 0 < x 2 t, 2 t (24.8) p(x,t) = pк, x > 2 t, а дебит галереи - соотношением k(pк - pг) Q(t) = Bh. (24.9) 2 t Погрешность расчета дебита галереи по приближенной формуле (24.8) по сравнению с расчетами по точной формуле (23.27) составляет 11%. Сле довательно, методом последовательной смены стационарных состояний лучше пользоваться в случае неустановившихся прямолинейно-параллель ных потоков при заданной постоянной депрессии.
Плоскорадиальный неустановившийся фильтрационный поток упру гой жидкости.
Случай 1. Приток к скважине, на которой поддерживается постоян ный дебит Q. Пусть в неограниченном горизонтальном пласте постоянной толщины h в момент времени t = 0 пущена добывающая скважина радиу сом rc с постоянным дебитом Q. До пуска скважины давление во всем пла сте было одинаковым и равным pк.
В соответствии с методом ПССС принимаем, что через время t после пуска скважины вокруг нее образуется возмущенная область радиусом R(t), 498 ГЛАВА XXIV в которой давление будет распределено по стационарному закону Q R(t).
p(r,t) = pк - ln (24.10) 2kh r В остальной части пласта со храняется начальное пластовое дав ление pк.
Требуется найти закон движения границы возмущенной области R(t).
Кривые распределения давления в разные моменты времени в таком потоке приведены на рис. 24.2. Де бит скважины, очевидно, будет описываться формулой, аналогич ной формуле Дюпюи, 2kh(pк - pc(t)). (24.11) Q = Рис. 24.2. Кривые распределения дав ln(R(t) rc) ления в плоскорадиальном потоке в раз ные моменты времени по методу Размеры возмущенной области ПССС (отбор осуществляется при ус найдем из уравнения материального ловии Q = const) баланса (24.2) при V(t) = (R2(t) - rc2)h, p = pк - ~ (24.12) p.
Средневзвешенное пластовое давление ~ в установившемся плоско p радиальном потоке (см. гл. XX, з3)определяется по формуле (20.25) pк - pc ~ = pк p 2 ln(R(t) rc), откуда, учитывая (24.11), находим pк - pc Q p = pк - ~ = =. (24.13) p 2 ln(R(t) rc) 4kh Закон движения границы возмущенной области R(t) найдем, подста вив выражения (24.12) и (24.13) в уравнение материального баланса (24.2), 4 dt = d(R2(t) - rc2), откуда после интегрирования в пределах от 0 до t и от rc до R(t) найдем R(t) = rc2 + 4t. (24.14) МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОГО РЕЖИМА Тогда из равенства (24.10) можно определить давление в любой точке пласта в любой момент времени t rc2 + 4t Q p(r,t) = pк - ln, rc r rc2 + 4t ;
(24.15) 2kh r p(r,t) = pк, r > rc2 + 4t.
Депрессия в момент времени t:
rc2 + 4t Q pc pк - pc(t) = ln. (24.16) 2kh rc Сравнивая (24.16) с депрессией, определенной по точной форму ле (23.52), можно убедиться, что относительная погрешность уменьшается с течением времени и составляет, по вычислениям, 10,6%, если fo = t rc2 = = 100;
7,5%, если fo = 103;
5,7%, если fo = 104.
Случай 2. Приток к скважине, на ко торой поддерживается постоянное дав ление pc = const. В случае плоскоради ального потока жидкости к скважине, пущенной в эксплуатацию с постоянным забойным давлением pc = const, закон движения границы возмущенной области выражается интегралом, представляемым в виде медленно сходящегося ряда, по этому решение здесь не приводится. Рас чет движения границы возмущенной об ласти в этом случае можно определить Рис. 24.3. Зависимость безразмер по графику (рис. 24.3).
ного радиуса возмущенной облас Дебит скважины определяется по ти от безразмерного вре R(t) rc формуле Дюпюи (24.11) при pc = const.
мени fo при отборе жидкости с постоянным забойным давлени Сравнение с результатами точных ем pc = const расчетов, выполненных К.А.Царевичем и И.Ф.Курановым, показывает, что погреш- ность определения дебита по методу ПССС составляет около 5%.
Заметим, что как в случае линейной, так и радиальной фильтрации в точке перехода от возмущенной к невозмущенной области градиент дав ления терпит разрыв, что служит одной из причин расхождения между ре зультатами расчетов по методу ПССС и по точному решению. Однако этот метод служит достаточно эффективным расчетным приемом, позволяю щим найти решение в простом виде, чем и объясняется его применение в некоторых случаях не только для задач фильтрации однофазного флюида, 500 ГЛАВА XXIV но и для задач о движении газированной жидкости и о перемещении гра ницы раздела жидкостей и газов.
Распределение давления в области фильтрации, получаемое по методу ПССС, является довольно грубым приближением;
гораздо точнее этим ме тодом дается связь между дебитом и депрессией, особенно в случае ради альной фильтрации.
з2. Метод А.М.Пирвердяна Этот метод аналогичен методу ПССС и уточняет его. В методе А.М.Пирвердяна, как и в методе ПССС, неустановившийся фильтраци онный поток в каждый момент времени мысленно разбивается на две области - возмущенную и невозмущенную. Граница между этими облас тями также определяется из уравнения материального баланса. Но в от личие от метода ПССС распределение давления в возмущенной области по методу А.М.Пирвердяна задается в виде квадратичной параболы так, чтобы пьезометрическая кривая на границе областей касалась горизон тальной линии, представляющей давление в невозмущенной области.
Распределение давления уже не будет стационарным, а градиент давле ния на границе областей становится равным нулю, что обеспечивает плавное смыкание профиля давления в возмущенной и невозмущенной областях.
Рассмотрим прямолинейно параллельный неустановившийся фильтрационный поток упругой жидкости.
Случай 1. Приток к галерее, на которой поддерживается посто янный дебит Q. Пусть в горизон тальном пласте постоянной тол щины h и ширины В пущена в экс Рис. 24.4. Кривая распределения давле плуатацию галерея с постоянным ния в прямолинейно-параллельном по дебитом Q. До пуска галереи дав токе по методу A.M.Пирвердяна ление во всем пласте было одина ковым и равным рк.
К моменту времени t после пуска граница возмущенной области про двинется на длину l(t), при этом кривая распределения давления в этой области будет иметь вид параболы. График распределения давления в пла сте ко времени t после пуска галереи представлен на рис. 24.4. Уравнение параболы, задающей распределение давления в возмущенной области, оп МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОГО РЕЖИМА ределяется равенством x p(x,t) = pк - (pк - pг)1 -, 0 < x l(t). (24.17) l(t) Дебит галереи определяется по закону Дарси k p Q = Bh. (24.18) x x= p Значение градиента давления на галерее найдем, продиффе x x= ренцировав формулу (24.17) и подставив в полученное выражение x = 0.
В результате будем иметь p 2(pк - pг).
= (24.19) x l(t) x= Подставив равенство (24.19) в (24.18), найдем формулу для дебита гале реи k pк - pг Q = 2 Bh. (24.20) l(t) Закон движения границы возмущенной области определяется из урав нения материального баланса (24.2) с учетом (24.3), при p = p - ~. Зна p чение средневзвешенного пластового давления в возмущенной области к моменту времени t определим теперь, используя распределение (24.17), l(t) 1 1 x pк - pг ~ = p(x,t)dV = pк - (pк - pг)1 - dx = pk -.
p V(t) l(t) l(t) V(t) Следовательно, изменение давления равно pк - pг p = pк - ~ =.
p Используя формулу (24.20), преобразуем последнее равенство к виду pк - pг Ql(t) p = = (24.21) 3 6kBh и далее, подставив (24.3) и (24.21) в уравнение материального баланса (24.2), получим Q Qdt = * dBhl2(t), 6kBh 502 ГЛАВА XXIV откуда 6 dt = dl2(t), и после интегрирования в пределах от 0 до t и от 0 до l найдем l(t) = 6t. (24.22) Таким образом, формула для распределения давления (24.17) в воз мущенной области пласта принимает вид Q x p(x,t) = pк - 6t1 -, 0 < x 6t, 2kBh 6t (24.23) p(x,t) = pк, x > 6t.
Расчет депрессии pк - pг по формуле (24.23) дает погрешность по срав нению с точным решением примерно 9%, т. е. в 2,5 раза меньше, чем по методу ПССС.
Случай 2. Приток к галерее, на которой поддерживается постоянное давление pг = const. Пусть имеем прямолинейно-параллельный фильтраци онный поток упругой жидкости к галерее, которая пущена в эксплуатацию с постоянным забойным давлением pг = const. До пуска галереи давление во всем пласте было одинаковым и равным рк.
Для построения приближенного решения по методу А.М.Пирвердяна используем ту же методику, что и для случая 1. Подставим в уравнение материального баланса (23.2) выражения для расхода, объема и перепада давления k pк - pг p - p к г Q = 2 Bh, V(t) = B h l(t), p = p - p =, к l(t) в результате получим дифференциальное уравнение 6 dt = l(t)dl(t), интегрируя которое получим закон движения границы возмущенной об ласти l(t) = 12t.
Подставляя найденный закон движения границы возмущенной облас ти в формулы для распределения давления (24.17) и дебита (24.20), полу чим для давления в возмущенной области пласта соотношение x p(x,t) = pк - (pк - pг)1 -, 12t МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОГО РЕЖИМА а для дебита галереи формулу k pк - pг k pк - pг Q = 2 Bh = 2 Bh. (24.24) l(t) 12t Погрешность расчета дебита галереи по приближенной формуле (24.24) по сравнению с точным решением составляет около 2,5%, т.е. и в этом случае расчет по методу А.М.Пирвердяна более, чем в 2 раза точнее, чем по методу ПССС.
з3. Метод интегральных соотношений Метод интегральных соотношений, предложенный Г.И.Баренблаттом, по аналогии с методами пограничного слоя в потоке вязкой жидкости по зволяет получить приближенные решения некоторых задач нестационар ной фильтрации упругой жидкости с нужной точностью.
Метод основан на следующих предпосылках.
1. В каждый момент времени пласт делится на конечную возмущен ную область и невозмущенную область, где движение отсутствует.
2. В возмущенной области распределение давления представляется в виде многочлена по степеням координаты х или r (в случае радиального потока добавляется еще логарифмический член) с коэффициентами, зави сящими от времени, так что для прямолинейно-параллельного потока x xn p(x,t) = a0(t) + a1(t) + + an(t), 0 x l(t), (24.25) l(t) ln(t) для плоскорадиальной фильтрации r r p(r,t) = a0(t)ln + a1(t) + a2(t) + R(t) R(t) (24.26) rn + + an+1(t), rc r R(t), Rn(t) где число членов n выбирается в зависимости от желаемой точности решения.
3. Коэффициенты многочлена a0, a1, a2,..., an, а также размер об ласти возмущения l(t) (или R(t)) находятся из условий на галерее (или на забое скважины), из условий непрерывности давления и гладкости кривой давления на границе области возмущения, а также из особых интегральных соотношений, которые получаются следующим образом.
В случае притока к галерее правая и левая части уравнения пьезопро водности (23.19) умножаются на xk (где k = 0, 1, 2,...) и интегрируются 504 ГЛАВА XXIV по всей возмущенной области:
l(t) l(t) p 2 p xk dx = xk dx. (24.27) t x 0 Для случая притока к скважине берется дифференциальное уравне ние (23.40), его правая и левая части умножаются на rk (где k = 1, 2,...) и проводится интегрирование по всей возмущенной области:
R(t) R(t) p 1 p r rk dr = rkdr. (24.28) t r r r rc rc Если в уравнения (24.27) и (24.28) подставить соответственно выраже ния (24.25) и (24.26) и проинтегрировать, то получатся недостающие соотно шения для определения коэффициентов a0(t), a1(t),... и l(t) (или R(t)).
Первое из этих интегральных соотношений (при k = 0, если рассмат ривается приток к галерее, и при k = 1 для притока к скважине) представ ляет собой уравнение материального баланса, из которого находится коор дината границы возмущенной области l(t) или R(t).
Если принять в формуле (24.25) n = 1, а в формуле (24.26) n = 0, то получатся решения, соответствующие методу ПССС (24.7), (24.8), (24.15) - в зависимости от условий на галерее или на забое скважины;
если же n = в (24.25), то из метода интегральных соотношений вытекает, как частный случай, метод А.М.Пирвердяна.
В качестве примера решим методом интегральных соотношений зада чу о плоскорадиальной неустановившейся фильтрации упругой жидкости к скважине радиусом rc, пущенной в эксплуатацию в момент t = 0 с по стоянным дебитом Q. В начальный момент давление во всем пласте по стоянно и равно pк.
Распределение давления в возмущенной области пласта rc r R(t) зададим в виде r r p(r,t) = a0 ln + a1 + a2 (24.29) R(t) R(t), т.е. возьмем многочлен первой степени.
Коэффициенты a0, a1 и a2 определяются из условий на забое скважи ны и на границе возмущенной области.
Условие на забое согласно (23.41) имеет вид 2kh dp Q = r при r = rc. (24.30) dr МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОГО РЕЖИМА На границе возмущенной области имеем:
p = pк при r = R(t), p r = 0 при r = R(t), (24.31) второе условие представляет собой условие гладкости кривой давления.
Определенные из этих условий коэффициенты имеют вид Q Q Q a0 =, a1 = pк +, a2 = - (24.32) 2kh 2kh 2kh (слагаемые, пропорциональные rc или rc2, отброшены вследствие их мало сти).
Подставив выражения (24.32) в правую часть формулы (24.28), полу чаем Q r r p(r,t) = pк + (24.33) ln + 1 2kh R(t) R(t).
Закон движения границы возмущенной области R(t) находится из урав нения материального баланса (24.2) с учетом (24.12) (это уравнение можно получить из интегрального соотношения (24.28) при k = 1).
Значение средневзвешенного пластового давления ~ в возмущенной p области определяется при использовании распределения давления (24.29) R(t) 1 1 Q r p ~ = p(r,t)dV = pк - ln + V(t) (R2(t) - rc2)2kh R(t) V(t) rc Q r + 1 - 2hr dr.
2kh R(t) Проведя интегрирование и пренебрегая в полученном выражении чле нами, содержащими rc2 (вследствие их малости), получаем Q ~ = pк -, p 12kh а тогда согласно (24.12) Q p = pк - ~ =. (24.34) p 12kh Подставив выражения (24.12) для V(t) и (24.34) в уравнение матери ального баланса (24.2), после несложных преобразований найдем:
12 dt = d(R2(t) - rc2), откуда после интегрирования получим R(t) = rc2 + 12t.
506 ГЛАВА XXIV Следовательно, распределение давления (24.29) в возмущенной об ласти будет иметь вид rc2 + 12t Q r p(r,t) = pк - ln - 1 +, 2kh r rc2 + 12t (24.35) rc r rc2 + 12t, p(r,t) = pк, r > rc2 + 12t.
Относительная погрешность при расчетах депрессии pк - pc(t) по формуле (24.35) для различных значений параметра Фурье fo = t rc2 со ставляет: = Ц4,9% при fo = 100;
= Ц4% при fo = 103;
= Ц3,2% при fo = 104.
Таким образом, приближенное значение депрессии pc по методу ин тегральных соотношений занижено по сравнению c точным.
з4. Метод лусреднения Суть метода лусреднения, предложенного для решения задач фильт рации Ю.Д.Соколовым и Г.И.Гусейновым заключается в том, что в диффе ренциальном уравнении упругого режима (23.40) производная от давления по времени p t усредняется по всей возмущенной области и заменяется некоторой функцией времени R(t) 2 p F(t) = r dr, (24.36) R2(t) - rc2 t rc значение которой определяется из начальных и граничных условий. Тогда уравнение (23.40) принимает вид 1 p r F(t) =. (24.37) r r r Эта замена упрощает дифференциальное уравнение и облегчает его интегрирование.
Будем определять распределение давления при неустановившемся при токе упругой жидкости к скважине при постоянном дебите Q. При этом условия на забое и на границе возмущенной области имеют вид (24.30) и (24.31). Интегрируя уравнение (24.37) по r и учитывая условия (24.30) и (24.31), можно получить Q r F(t) 1 r p = pк + ln + (r2 - R2(t))- rc2 ln. (24.38) 2kh R(t) 2 R(t) МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОГО РЕЖИМА Из второго условия (24.31) определяется функция F (t) в виде Q F(t) = - (24.39) kh(R2(t) - rc2).
Подставляя выражение (24.39) в (24.38) и пренебрегая членами с rc2, найдем Q r Q r -, rc r R(t). (24.40) p = pк + ln + 1 R2(t) 2kh R(t) 2kh Для определения координаты возмущенной области R(t) надо продиф ференцировать по t равенство (24.40), результат подставить в (24.36) и учесть выражение (23.53) для F (t). В результате получается R(t) = rc2 + 8t. (24.41) Сопоставление формулы (24.40) с учетом (24.41) с точным решени ем (23.53) показывает, что относительная погрешность определения де прессии p - pc не превосходит 5%.
В заключение отметим приближенный результат, полученный Э.Б.Че калюком. Для скважины, пущенной в эксплуатацию с постоянным забойным давлением, он предлагает определять дебит по формуле Дюпюи (24.11), в которой радиус возмущенной области задается формулой R(t) = rc + t.
Эта формула очень важна для практики, поскольку простого точного решения задачи об отборе упругой жидкости при условии pc = const не существует. Расчетами показано, что формула Э.Б.Чекалюка очень точна, относительная погрешность при определении дебита по этой формуле не превышает 1%.
ПРИЛОЖЕНИЕ В настоящем приложении приводятся некоторые важные математичес кие формулы. При этом предполагается, что все встречающиеся в тексте пределы существуют. Также предполагается, что все функции достаточно гладкие, так что все производные и интегралы существуют и все исполь зуемые математические операции законны. Во всех формулах, если обрат ное не оговорено особо, подразумевается суммирование по повторяюще муся индексу. Например, ck = aibik = aibik, i = 1, 2, 3;
k = 1, 2, 3.
i = Индексы, по которым производится суммирование, называются немы ми. Очевидно, что сk = aibik = ambmk, то есть обозначение немых индексов можно менять произвольным обра зом. Индексы, по которым не производится суммирование (например, k в предыдущей формуле), называются свободными.
Произведение векторов Скалярное произведение векторов a = ekak и b = eibi, где единичные векторы ek (k = 1, 2, 3) взаимно перпендикулярны, то есть образуют орто нормированный базис, равно a b = a b cos(a,b)= akbk. (П.1) Из равенства (П.1) имеем a b = b a, a b = 0 при a 0, b 0 только если ab, a a = a, ei ek = ik.
Скалярное произведение a b, как это следует из формулы (П.1), представляет собой инвариант относительно преобразования координат.
Векторное произведение векторов a = ekak и b = eibi равно c = a b = a b sin(a,b). (П.2) ПРИЛОЖЕНИЕ Векторное произведение, как это видно из формулы (П.2), обладает следующими свойствами:
a b = -b a, a b = 0 при a 0, b 0 только если a ||b, a b = c, b c = a, c a = b, e1 e2 = e3, e2 e3 = e1, e3 e1 = e2.
В координатном виде векторное произведение может быть представ лено как e1 e2 e a b = a1 a a3 = e1(a b3 - a b2 ) + e2(a3b1 - a1b3) + e3(a1b2 - a b1).
2 2 3 b1 b2 b Производная по направлению Полем функции называется область пространства, в каждой точ ке M (x1, x, x3) которого задано значение функции = (M ). Если (M ) - скалярная функция, то поле называется скалярным. Если (M ) - векторная функция, то поле называется векторным.
Рассмотрим скалярную функцию (M ) = (x1, x2, x3) и точки M (x1, x, x3) и M (x10, x20, x30 ), лежащие на прямой, задаваемой вектором s (рис. П.1).
Предел (M ) - (M ) lim = MM 0 MM s называется производной функции по направлению s.
Длина s, отсчитываемая вдоль рассматриваемой прямой, есть, очевид но, функция координат, то есть s = s(x1, x2, x3 ). Поэтому dxk =, s xk ds dxk а так как = cos(xk,s), то ds = cos(xk,s). (П.3) s xk Для векторной функции a(M ) = ekak (M ) имеем a a(M ) - a(M ) ak (M ) - ak (M ) 0 = lim = ek lim = MM 0 MM s 0 MM 0 MM 0 (П.4) ak a dxk a = ek = = cos(xk,s).
s xk ds xk Рассмотрим векторную функцию a(s) скалярного аргумента s. Годо графом вектора a(s) называется геометрическое место концов векторов 510 ПРИЛОЖЕНИЕ a(s), откладываемых от общего начала 0 (рис. П.2). Тогда a a(s + s) - a(s). (П.5) = lim s s s Рис. П1 Рис. П a Из этого определения следует, что направление вектора совпадает s с направлением касательной к годографу вектора a(s) (рис. П.2).
Градиент, дивергенция, вихрь Вектор grad = ek (П.6) xk называется градиентом скалярной функции (x1, x2, x3).
Скаляр ai div a = (П.7) xi называется дивергенцией вектора a = ekak (x1, x2, x3 ).
Вектор a3 a a1 a3 a a + e2 + e3 2 (П.8) rot a = e1 - - - x2 x3 x3 x1 x1 x называется вихрем, или ротором, вектора a. Вихрь вектора a может быть представлен в виде символического определителя e1 e2 e rot a =.
x1 x2 x a1 a a ПРИЛОЖЕНИЕ Символический оператор набла, или оператор Гамильтона, опреде ляется как = ek. (П.9) xk С помощью оператора Гамильтона выражения (П.6), (П.7), (П.8) мож но представить в виде grad =, div a = a, rot a = a.
В соответствии с определением оператора Гамильтона 2 2 = 2 = ek e j = + + = =, (П.10) 2 2 xk x x1 x2 x3 xk xk j где - оператор Лапласа, 2 2 = = + +. (П.11) 2 2 xk xk x1 x2 x Так как ek cos(s, xk ) = s, (П.12) где s - единичный вектор оси (направления) s, то с учетом равенства (П.1) из формулы (П.3) имеем = s = cos(,s). (П.13) s Из формулы (П.13) видно, что достигает наибольшего значения, s когда s||, и это наибольшее значение равно 2 2 = + +.
x1 x2 x Поэтому, в соответствии с формулой (П.13), можно дать следующее опре деление: градиентом называется вектор, имеющий направление быст рейшего увеличения функции и по величине равный производной по этому направлению.
Рассмотрим поверхность (x1, x2, x3 ) = const, (П.14) или поверхность уровня функции (x1, x2, x3 ). Вдоль всякого направления, лежащего в касательной плоскости к поверхности уровня (П.14), име ем = 0. Из этого, в соответствии с формулой (П.13), следует, что век s 512 ПРИЛОЖЕНИЕ тор направлен по нормали n к этой поверхности в ту сторону, куда возрастает. Тогда = n.
n Так как d = dxk, xk а приращение радиус-вектора dr = ekdxk, то в соответствии с формулой (П.1) d = dr. (П.15) Умножив вектор b = ekbk на оператор Гамильтона, получим новый оператор b = bk.
xk Так как в соответствии с формулой (П.12) sk = cos(xk,s), то производную вектора по направлению, то есть равенство (П.4), можно представить в виде a = (s)a.
s Теорема ГауссаЦОстроградского Рассмотрим некоторый объем V, ограниченный замкнутой поверхно стью S, и пусть P = P(x1, x2, x3), Q = Q(x1, x, x3), R = R(x1, x2, x3 ). В соот ветствии с теоремой ГауссаЦОстроградского P Q R + + dx1dx dx3 = P dx dx3 + Q dx3dx1 + R dx1dx. (П.16) 2 x1 x2 x3 V S Так как dx2dx3 = cos(n, x1)dS, dx3dx1 = cos(n, x2 )dS, dx1dx2 = cos(n, x3 )dS, то формулу ГауссаЦОстроградского (П.16) можно представить в виде P Q R + + dV = P cos(n, x1) + Q cos(n, x ) + R cos(n, x3)]dS. (П.17) [ x1 x2 x V S Полагая P = a1, Q = a, R = a3, получим ai dV = ak cos(n, xk )dS, xi VS или, с учетом формул (П.1), (П.7) и (П.12), div a dV = a dV = a n dS = andS, (П.18) V V S S где n - единичный вектор внешней нормали к поверхности S.
ПРИЛОЖЕНИЕ Интеграл a n dS = andS (П.19) S S называется потоком вектора a через поверхность S.
Из равенства (П.17) следует, что dV = cos(n, xk )dS, (П.20) xk V S и в соответствии с формулами (П.6) и (П.12) dV = n dS. (П.21) V S При = const на основании этого равенства имеем n dS = n dS = 0.
S S Очевидно, что соотношение (П.20) справедливо и для вектора, то есть a dV = a cos(n, xk )dS. (П.22) xk V S В соответствии с определением (П.9) оператора Гамильтона (bka) ( b)a =, xk где b = ekbk. Тогда, с учетом равенств (П.1) и (П.12) из формулы (П.22) получим (bka)dV = abk cos(n, xk )dS = a(b n)dS. (П.23) b)a dV = ( xk V V S S Перейдем к рассмотрению вектора вихря. Из соотношения (П.8) име ем a3 a rot1 a = -, x x и на основании равенств (П.2) и (П.20) rot1 a dV = a3 cos(n, x2 ) - a cos(n, x3)]dS = n a) dS. (П.24) 2 [ ( V S S Следовательно, rot a dV = a)dV = n a)dS. (П.25) ( ( V V S Для оператора Лапласа в соответствии с формулой (П.10) имеем dV = dV = dV, xk xk V V V 514 ПРИЛОЖЕНИЕ откуда на основании формул (П.3), (П.13), (П.20) dV = dV = cos(n, xk )dS = dS = n dS. (П.26) xk n V V S S S Формулы (П.18), (П.20)Ц(П.25) представляют собой частные случаи теоремы ГауссаЦОстроградского L()dV = L(n)dS, V S где L(a) - линейный однородный оператор, то есть L(a + b)= L(a) + L(b);
a, b - какие-либо векторы;
, - какие-нибудь числа.
Возьмем некоторый малый объем V, ограниченный замкнутой по верхностью S. В соответствии с теоремой о среднем значении div a dV = (div a) dV = V (div a), cp cp V V и из формулы (П.18) имеем 1 div a = lim a n)dS, (П.27) V 0 ( V S где V 0 обозначает, что V стягивается к точке.
Аналогичным образом из формулы (П.21) получим = lim n dS, (П.28) V V S = lim n dS, (П.29) V V S 1 rot a = lim n a)dS. (П.30) V 0 ( V S Выражения (П.27)Ц(П.30) можно рассматривать как определения опе раций div a,,, rot a. Эти определения, очевидно, не зависят от вы бора системы координат. Следовательно, выражения (П.6)Ц(П.8) и (П.11) инвариантны по отношению ко всем переходам от одной прямолинейной прямоугольной системы координат к другой.
Теорема Стокса Пусть L - какая-либо кривая. Интеграл a dr L называется линейным интегралом вектора a вдоль кривой L.
ПРИЛОЖЕНИЕ В соответствии с формулой (П.1) a dr = a dr cos(a,dr ).
Вектор dr направлен по касательной к кривой L и dr = ds, где ds - элемент длины кривой. Произведение a cos(a,dr ) = aS представляет собой проекцию вектора a на направление касательной к кривой L. Поэтому a dr = aS ds.
L L Линейный интеграл вектора по замкнутой кри вой называется циркуляцией вектора по этой кри вой.
Рассмотрим какую-нибудь поверхность S, ограниченную замкнутой кривой С (рис. П.3).
Теорема Стокса гласит: циркуляция вектора a по замкнутому контуру С равна потоку вихря этого вектора через поверхность, ограниченную данным контуром, то есть a dr = rotn a ds, Рис. П C S где rоtn a - проекция вектора rot a на нормаль к поверхности S.
В результате рассуждений, аналогичных проведенным при выводе фор мулы (П.27), получим 1 rotn a = lim a dr = lim aS dS, (П.31) S 0 S S S C C где S 0 означает, что поверхность стягивается в точку.
Криволинейные координаты Положение точки М в пространстве может быть определено ее ради ус-вектором r относительно неподвижной точки 0 или тремя числами x1, x2, x3 в прямолинейной системе координат. Однако во многих задачах удобнее определять положение этой же точки и ее радиус-вектора тремя другими числами q1, q, q3, которые называются криволинейными коорди натами точки М.
В прямоугольных декартовых координатах r = ek xk, ek e = kj. (П.32) j 516 ПРИЛОЖЕНИЕ В криволинейных координатах r = r (q1,q2,q3 ). (П.33) Из равенств (П.32) и (П.33) следует, что xk = xk (q1,q2,q3), qk = qk (x1, x2, x3 ). (П.34) Поверхности уровня qk (x1, x, x3) = const образуют три семейства координатных по верхностей. Линия пересечения двух коорди натных поверхностей представляет собой ко ординатную линию. Например, линия пересе чения поверхностей q2 = const и q3 = const представляет собой координатную линию q1, то есть линию, вдоль которой меняется зна чение только q1 (рис. П.4).
Введем в отличие от единичных векто Рис. П ров ek прямолинейной прямоугольной системы * координат единичные векторы ek, направленные по касательным к коорди натным линиям в точке М в сторону возрастания переменных qk. Если * ei* e = ij, (П.35) j то такая система криволинейных координат называется ортогональной.
Ниже рассматриваются только ортогональные системы координат.
Подчеркнем особо, что в отличие от прямолинейных координат направ * ление векторов ek зависит от того, для какой точки М они определяются.
Вектор a, приложенный в точке М, может быть представлен в виде * a = ekak.
Рассмотрим радиус-вектор (П.33). При q2 = const, q3 = const его годо графом является координатная линия q1. Поэтому в соответствии с равен r ством (П.5) производная имеет направление касательной к коорди qk натной линии qk, то есть r * = Hkek (по k не суммировать!). (П.36) qk * Так как ek - единичный вектор, то r = Hk.
qk Из формул (П.32) и (П.33) имеем r xi = ei, qk qk ПРИЛОЖЕНИЕ откуда 2 2 2 r x1 x2 x = Hk = + +.
qk qk qk qk Величины Hk называются коэффициентами Ламе.
Рассмотрим две бесконечно близкие точки М и N. Проведем че рез точку М три координатные по верхности, которые вместе с тремя координатными поверхностями, про ходящими через точку N, образуют бесконечно малый криволинейный параллелепипед (рис. П.5).
Пусть MN = dr. В соответст вии с равенством (П.33) r dr = dqi, qi откуда, с учетом формул (П.35) и (П.36), 2 Рис. П 2 2 (MN) = (dr ) = (ds) = (Hidqi ).
Вдоль линии MM1 q2 = const, q3 = const и, следовательно, MM1 = ds1 = H1dq1.
Аналогично dsi = Hidqi (по i не суммировать!), (П.37) то есть формулы (П.37) позволяют определить длины ребер рассматриваемо го параллелепипеда.
Параметрам Ламе можно дать и другое определение. Из рассмотрения параллелепипеда на рис. П.5 и формулы (П.36) имеем r * dq1 = e1 H1dq1, q откуда ds1 = H1dq1. (П.38) Площади граней MN N M, MM1M M, MM1N1N, перпендикулярных со 2 3 3 2 3 ответственно осям q1,q2,q3, равны d1 = ds2ds3 = H H dq2dq3, 2 d = ds3ds1 = H H1 dq3dq1, (П.39) 2 d = ds1ds2 = H1H dq1dq.
3 2 Объем параллелепипеда равен dV = ds1ds2ds3 = H1H H dq1dq2dq3. (П.40) 2 518 ПРИЛОЖЕНИЕ Векторные операции в криволинейных координатах По определению градиента (П.13) проекция вектора на коорди натную ось qi равна, а так как dsi = Hidqi (по i не суммировать), то si = (по i не суммировать!) si Hi qi и ei* = ei* =. (П.41) si Hi qi Для вычисления div a удобно воспользоваться формулой (П.27), при няв за объем V объем параллелепипеда, представленного на рис. П.5.
* На грани MN N M n = -e1, и в соответствии с формулами (П.19) 2 3 и (П.38) поток через нее (с точностью до малых более высокого порядка) равен - a1ds2ds3 = -a1H H dq2dq3, 2 а через грань M M NN1 - 1 (a1H H )dq 2 a1H 2H 3 + q1 1 dq 2dq3.
Поэтому суммарный поток через грани, перпендикулярные оси q1, ра вен (a1H H )dq dq2dq3.
2 (П.42) q1 Для граней, перпендикулярных осям q2 и q3, циклической переста новкой индексов имеем (a H H1)dq dq2dq3, (a3H1H )dq dq2dq3.
2 3 (П.43) q2 1 q3 Подставив в формулу (П.27) соотношение (П.40) и сумму выраже ний (П.42), (П.43), после перехода к пределу получим 1 (a1H H ) (a H H1) (a3H1H ) 2 3 2 3 div a = + +. (П.44) H1H H q1 q2 q 2 Для вычисления rot a воспользуемся формулой (П.31).
Чтобы получить rot1 a, то есть проекцию вектора rot a на координат ную линию q1, нужно взять контур, ограничивающий поверхность, нормаль ную к q1, то есть контур MN N M (рис. П.5), который обозначим через C1.
2 3 Очевидно, что с точностью до членов более высокого порядка малости a dr = a ds2 = a H dq2, 2 2 MN ПРИЛОЖЕНИЕ на кривой N N имеем 2 a3 ds3 a3H a dr = a3 ds3 + dq2 = + dq dq3, q2 a3H 3 q2 N N 2 на N M 3 a ds2 a H 2 2 a dr = -, a 2 ds2 + q3 dq3 = - 2H 2 + q3 dq3 dq a N M 3 на M M a dr = -a3 ds3 = a3H dq3.
M M Суммируя эти выражения, получим a3H a H 3 2 a dr = - dq2dq3. (П.45) q2 q C Подставив соотношение (П.45) и первое из равенств (П.39) в форму лу (П.31), после перехода к пределу имеем a3H a H 3 2 rot1 a = -, (П.46) H H q2 q 2 и далее циклической перестановкой индексов получим 1 a1H1 a3H rot2 a = -, (П.47) H H1 q3 q 1 a H a1H 2 rot3 a = -. (П.48) H1H q1 q Из формул (П.46)Ц(П.47) следует, что * * * e1 a3H3 a2H2 e2 a1H1 a3H3 e3 a2H2 a1H rota = - - - = + + H2H3 q2 q3 H3H1 q3 q1 H1H2 q1 q * * * e1 e2 e * * * H2H3 H3H1 H1H2 H1e1 H2e2 H3e 1 = =.
q1 q2 q3 H1H2H3 q1 q2 q H1a1 H2a2 H3a3 H1a1 H2a2 H3a (П.49) Для вычисления оператора Лапласа в криволинейных координатах вос пользуемся тем, что = div(). (П.50) 520 ПРИЛОЖЕНИЕ Подставив в формулу (П.50) выражения (П.41) для и (П.44) для div a, получим 1 H2H3 H3H1 H1H =. (П.51) + + H1H2H3 q1 H1 q1 q2 H2 q2 q3 H3 q Векторные операции в цилиндрической и сферической системах координат В цилиндрической системе координат (рис. П.6) положение точки оп ределяется координатами q1 = r, q2 =, q3 = z. При этом 0 r <, 0 < 2, - < z <. Формулы (П.33) имеют вид x1 = r cos, x = r sin, x3 = z.
Очевидно, что ds1 = dr, ds2 = r d, ds3 = dz, и из формул (П.37) имеем H1 = 1, H = r, H = 1.
2 Обозначив координатные орты через er, e, ez, а координаты вектора a через ar, a, az, из равенств (П.41), (П.44), (П.49), (П.51) получим = er + e + ez, r r z a az ar ar div a = + + +, r r z r 1 er e ez r r (П.52) rot a =, r z ar ra a z 1 1 2 = r + +.
2 2 r r r r z В сферической системе координат (рис. П.7) положение точки определя ется координатами q1 = r, q =, q3 =. Область изменения координат - 0 r <, 0 <, 0 < 2. Формулы (П.33) имеют вид x1 = r sin cos, x2 = r sin sin, x3 = r cos.
ПРИЛОЖЕНИЕ Рис. П6 Рис. П Так как ds1 = dr, ds2 = r d, ds3 = r sin d, то H1 = 1, H = r, H = r sin.
2 Тогда из формул (П.41), (П.44), (П.49), (П.51) имеем 1 = er + e + e, r r r sin a (r ar ) 1 (a sin ) div a = + +, r r r sin r sin er e e r sin r sin r (П.53) rot a =, r ar ra ra sin 1 = r r sin r + sin +.
r sin sin Производные единичных векторов Для вычисления производных единичных векторов рассмотрим век 2r тор. Из формул (П.36) следует, что q1q 2r 2r * * = = (e2H ) = (e1 H1), q1q q2q1 q1 2 q 522 ПРИЛОЖЕНИЕ или * * * H e2 * H1 e e2 2 + H = e1 + H1. (П.54) q1 2 q1 q q * e Очевидно, что годографом для вектора служит координатная ли q ния q1, и в соответствии с определением производной вектора по направ лению (П.5) * e2 * = C1e1.
q Аналогичным образом имеем * e1 * = C2e2.
q Подставив эти соотношения в формулу (П.54), получим * H * * H1 * e2 2 + H C1e1 = e1 + H1C2e2, q1 2 q откуда H H H1C2 =, H C1 =.
q1 2 q Следовательно, * * e1 1 H * e2 1 H1 * = e2, = e1. (П.55) q2 H1 q1 q1 H q 2 При циклической перестановке индексов имеем * * e2 1 H * e3 H * 3 = e3, = e2, q3 H q2 q2 H q 2 (П.56) * * e3 H1 * e1 1 H * = e1, = e3.
q1 H q3 q3 H1 q * * * Так как e1 = e2 e3, то с учетом формул (П.55) и (П.56) получим * e1 1 H1 * H1 * = - e2 - e3, q1 H q2 H q 2 и аналогично * e2 1 H * H * 2 = - e3 - e1, q2 H q3 H1 q * e3 1 H * H * 3 = - e1 - e2.
q3 H1 q1 H q ПРИЛОЖЕНИЕ Преобразование координат Рассмотрим две прямолинейные прямоугольные системы координат Ox1x2x3 и Ox1x2x3 с координатны ми единичными векторами e1, e2, e и e1, e2, e3 соответственно (рис. П.8).
Назовем систему координат Ox1x2x старой, а Ox1x2x3 - новой системой координат.
Поскольку положение точки M в пространстве, или величина и на правление вектора a, при переходе к новой системе координат не изме няется, то M (x1, x2, x3) = M (x1, x, x3), (П.57) Рис. П a = ek xk = ek xk, или, что то же самое, a = ei xi = ek xk. (П.58) Умножив равенство (П.54) на ek, а (П.55) на ek, получим xk = eiek xi = ik xi, xk = ekei xi = ki xi, (П.59) где ik = eiek = cos(xi, xk ). (П.60) Для единичных векторов имеем очевидные формулы ek = ikei, ek = kiei. (П.61) Из формул (П.60) следует, что ik ki и что первый индекс в сим воле mn относится к новым, а второй - к старым координатным осям.
В соответствии с равенствами (П.61) ek = mkem = mkmiei, ek = kmem = kmimei, откуда mkmi = ik, kmim = ik, где 1 при i = k, ik = 0 при i k.
Очевидно, что формулы (П.61) справедливы и для компонент векто ров.
524 ПРИЛОЖЕНИЕ Из формул (П.61) видно, что переход от старой системы координат к новой определяется девятью коэффициентами, из которых можно соста вить матрицу 11 12 22 23. (П.62) 32 Переход от новой системы координат к старой определяется матрицей 11 21 22 32. (П.63) 23 Матрица, в которой строки заменены столбцами, называется транспо нированной. Таким образом, матрицы (П.62) и (П.63) являются взаимно транспонированными.
Тензоры Для описания геометрических, или физических, объектов или процес сов, происходящих в природе, используются геометрические или физичес кие величины, которые обычно рассматриваются в той или иной произ вольно выбранной системе координат. Так как реальные объекты и про цессы существуют, очевидно, независимо от выбора системы координат, то и геометрические и физические величины, описывающие эти процессы, не должны зависеть от выбранной системы координат. Таким образом, геометрическая, или физическая, величина, должна быть определена в ка ждой системе координат и должна задаваться в виде некоторой совокупно сти величин (компонент), но как математический объект должна быть не зависима от выбора системы координат. Это возможно в том случае, если задан закон преобразования компонент при переходе от одной системы ко ординат к другой. В общем случае абстрактные математические объекты, инвариантные относительно преобразования координат, называются тен зорами. Следовательно, геометрические (физические) величины являются тензорами. Простейшие тензоры - скаляр и вектор. Введем понятие тензо ра в наиболее простом случае, а именно, в прямоугольной декартовой сис теме координат.
Тензором ранга n называется совокупность 3n компонент ai i2...in, которые при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по закону j j2... jn j1i1 j2i2 jnin a =... ai i2...in. (П.64) 1 При этом подразумевается, что компоненты ai i2...in занумерованы индекса ми i1, i2,..., in, каждый из которых независимо друг от друга пробегает значе ния 1, 2, 3, а преобразование координат задается формулами (П.59).
ПРИЛОЖЕНИЕ Из приведенного определения следует, что тензор нулевого ранга оп ределяется одним членом, который сохраняет свое значение во всех систе мах координат. Следовательно, тензоры нулевого ранга представляют со бой скаляры. Они определяют физические или геометрические величины, характеризуемые только численным значением. Примерами скаляров яв ляются температура, плотность, расстояние между двумя точками и т.д.
Тензоры первого ранга имеют три компонента, которые преобразуют ся по формулам j a = ijai. (П.65) Так как формулы (П.65) совпадают с формулами (П.59) преобразова ния координат вектора, то тензоры первого ранга часто называют вектора ми. Однако вектор является лишь одним из примеров тензора первого ран га. Другим примером может служить плоскость в трехмерном пространст ве. Ее положение задается тремя коэффициентами, которые, как легко ви деть, преобразуются по закону (П.65). Следовательно, эти три коэффици ента образуют тензор первого ранга.
Тензор второго ранга определяется девятью компонентами, каждая из которых имеет два индекса, взятых в определенном порядке. Для тензора второго ранга из формулы (П.64) имеем j j2 j1i1 j2i a = ai i2. (П.66) 1 Суммирование в формуле (П.65) производится по немым индексам i1, i2. Поэтому, полагая j1 = i, j2 = j, эту формулу можно переписать в виде aij = im amn. (П.67) jn В дальнейшем рассматриваются только тензоры второго ранга.
В качестве примера тензора второго ранга рассмотрим тензор, постро енный с помощью двух векторов. Пусть в системе координат 0x1x x3 зада ны векторы a = ekak и b = eibi. Рассмотрим совокупность всех произведе ний, содержащих на первом месте компоненту вектора a, а на втором - вектора b, то есть совокупность девяти величин aibk. В соответствии с формулами (П.59) имеем aibj = imam an = im aman, jn jn то есть величины aibk действительно являются компонентами тензора вто рого ранга. Тензор второго ранга, образованный по указанному правилу двумя векторами, называется диадой.
Тензору A с компонентами aik соответствует его матрица, в которой первым индексом принято обозначать номер строки матрицы, а вторым - номер столбца. Таким образом, матрица тензора A имеет вид a11 a12 a A = a a, (П.68) a 21 22 a a32 a 526 ПРИЛОЖЕНИЕ а матрица диады - a1b1 a1b2 a1b.
a b1 a b2 a b 2 2 a b1 a3b2 a3b Тензор A*, определяемый транспонированной матрицей (П.68), то есть матрицей 11 21 A* = 22 32, (П.69) 23 называется тензором, сопряженным с тензором A*.
Тензор, компоненты которого удовлетворяют равенствам aik = aki, на зывается симметричным. Если выполняются равенства aik = -aki, то тензор называется антисимметричным.
Если тензор aij симметричный, то в соответствии с формулой (П.67) ji aij = im amn = imanm = a.
jn jn Если тензор aij антисимметричный, то ji aij = im amn = - imanm = -a.
jn jn Таким образом, свойства симметричности и антисимметричности тен зоров не зависят от принятой системы координат.
Из формул (П.68) и (П.69) следует, что для симметричного тензо ра A* = A, то есть симметричный тензор является самосопряженным.
Легко видеть, что для антисимметричного тензора A* = -A.
Алгебраические операции над тензорами Пусть даны тензоры с компонентами aij и bij. Складывая их покомпо нентно, имеем cij = aij + bij. (П.70) В соответствии с формулами (П.67) cij = aij + bij = iminamn + iminbmn = = imin (amn + bmn ) = imincmn, то есть сумма тензоров также является тензором.
Аналогичным образом доказывается, что если умножить все компо ненты тензора aij на скаляр, то получится новый тензор с компонента ми cij = aij.
ПРИЛОЖЕНИЕ Рассмотрим тензор с компонентами aij. В соответствии с правилом сложения тензоров (П.70) имеем очевидное тождество 1 aij = (aij + a )+ (aij - a ) = bij + cij, ji ji 2 где 1 bij = (aij + a ) = bji, cij = (aij - a ) = -c.
ji ji ji 2 Таким образом, всякий тензор второго ранга может быть разложен на симметричную и антисимметричную части.
Умножение тензора А с компонентами aik на вектор x = ek xk справа определяется как A x = ekaki xi = b (П.71) или, в координатной форме, aki xi = bk. (П.72) Переходя к системе координат 0x1x2x3 из равенства (П.72), с учетом формул (П.59) и (П.67) имеем aki xi = bk = kminamn xi = kmamn xn = kmbm.
Полученное выражение представляет собой формулу преобразования компонент вектора при переходе к новой системе координат, и, следова тельно, величина b действительно является вектором. Таким образом, ум ножение тензора на вектор справа представляет собой преобразование од ного вектора в другой.
Так как векторы представляют собой величины, инвариантные отно сительно преобразования системы координат, то и тензор есть объект, ин вариантный относительно такого преобразования.
Умножение тензора А на вектор x слева определяется как x A = ek xiaik. (П.73) Из равенств (П.71) и (П.73) следует, что Ax = xA*, A*x = xA.
Рассмотрим тензор с компонентами aij. Операция, при которой пола гается j = i и производится суммирование, то есть aii = a11 + a + a33, называется свертыванием тензора. В результате свертки тензора второго ранга образуется скаляр, который называется следом и обозначается tr aij или Spaij.
Тензор второго ранга, след которого равен нулю, называется девиато ром. Например, тензор с компонентами bij = aij - aij, где a = tr aij является девиатором.
528 ПРИЛОЖЕНИЕ Тензор второго ранга называется шаровым, или изотропным, если в лю бой системе координат его компоненты имеют одни и те же значения, то есть если aij = aij. Введем новую систему координат x1 = -x1, x = x2, x3 = x3.
В соответствии с формулами (П.67) получим a12 = -a12, a13 = -a13, отку да a12 = a13 = 0. Аналогичным образом доказывается равенство нулю ос тальных недиагональных компонент. С помощью преобразования x1 = x1, x2 = x3, x3 = -x2 показывается, что aij = ij, где - скаляр.
Линейная векторная функция и тензор второго ранга Закон L, с помощью которого в пространстве устанавливается соот ветствие между векторами, называется векторной функцией. В символичес ком обозначении векторная функция имеет вид u = Lx.
Если для любых векторов x и y и любого скаляра выполняется ра венство L(x + y) = Lx + Ly, (П.74) L(x) = Lx, (П.75) то векторная функция L называется линейной, или аффинором.
Пусть аффинор L ставит в соответствие базисным векторам ei векто ры ui, то есть ui = Lei. (П.76) Так как рассматривается не преобразование системы координат 0x1x2x3, а закон, устанавливающий соответствие между векторами в одной и той же системе, то любой вектор ui однозначно разлагается по векторам базиса и ui = a e. (П.77) ji j Рассмотрим произвольный вектор-аргумент x с компонентами x1, x2, x3.
Тогда для линейной векторной функции u = Lx в соответствии с правила ми (П.74), (П.75) и формулами (П.76), (П.77) имеем u = Lx = L(ei xi ) = xi Lei = xiui = xia e = u e, ji j j j откуда u = a xi. (П.78) j ji Таким образом, аффинор в базисе ei представляется в виде матрицы aij.
ПРИЛОЖЕНИЕ В системе координат 0x1x x3 векторы u и x имеют компоненты ui, xi, а равенство (П.78) принимает вид j ji u = a xi, ji где a - компоненты аффинора в новой системе координат.
Pages: | 1 | ... | 4 | 5 | 6 | 7 | Книги, научные публикации