Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |   ...   | 17 |

Другими словами, на графике зависимостейбазисных индексов Y,K и L от времени t временной ряд индекса выпускаY должен быть расположенмежду временными рядамииндексов капитала K и трудаL.

Если в выражении Y=F(K,L) перейти от абсолютных величин к темпам, то получим

(3.1),

где для линейно-однородной производственнойфункции, в соответствии с уравнением Эйлера, EL=1-EK и,следовательно, выражение (3.1) определяет δY каквзвешенное среднее арифметическое δK и δL снеотрицательными весами EK и 1-EK, дающими в сумме единицу. Такимобразом, линейно-однородная производственная функция является функциейосреднения не только базисных индексов, но и их темпов, откуда следует, что награфике зависимостей δY, δK иδL от времени временной ряд δY долженбыть расположен междувременными рядами δK и δL.Заметим, что в этом случае проблемы нормировки (выбора единиц измерения) невозникает.

Для производственной функции с показателем однородностиγсправедливо

,

т.е. есть взвешенноесреднее арифметическое и снеотрицательными весами δK и δL,дающими в сумме единицу. Если же ПФ учитывает и автономный технический прогрессс темпом p, то есть среднее δK и δL. Вэтих случаях производственная функция может быть приведена к функции осреднениятемпов простым преобразованиям исходных данных.

Для того, чтобы проиллюстрировать, как обсуждавшиеся выше свойствавыполняются на практике, обратимся к рис.3.1 и рис.3.2, построенным по исходнымданным из работы М.Вейцмана [1]. Видим (рис.3.1), что график базисного индексаY расположен вблизи границыобласти, задаваемой графиками индексов K и L, причем впервой половине 1950-х гг. рост Y, хотя и незначительно, но опережает рост K - наиболее быстро растущего фактора. Более четко это видно награфике темпов (рис.3.2).

1950 г. =100	% загод
Рис.3.1. Примердинамики индексов Y,K и L.	Рис.3.2. Примердинамики δY, δK иδL.

Здесь и ниже, если это не оговорено особо, темпы рассчитаны поформуле центральных разностей

(3.2)

после сглаживания

(3.3)

где Xt - значение базисного индекса периода t, - соответствующее сглаженное значение,, n - длинавременного ряда Xt. Веса метода сглаживания (3.3)подобраны так, чтобы сглаживание полностью гасило временной ряд с компонентамиa(-1)t, где a - произвольная константа, и не искажало линейного тренда.Дифференцирование по формулам (3.2)-(3.3) дает более точную аппроксимацию логарифмической производной,чем, скажем, по формуле темпов прироста.

Вернемся к рис.3.2. В 1950-1954 гг. темп выпуска был выше максимального из темпов фондов итруда, после чего δY перешел в область между δK иδL. Поскольку до 1954 г. темп выпуска δY былвыше, чем темпы факторовδK и δL, следовательно функция, связывающаяδY с δK и δL,не может быть функцией осреднения, как не может быть функцией осреднения и функция, связывающаяY с K и L. Такая совместная динамикарассматриваемых временных рядов может быть описана лишь производственнойфункцией, имеющей степень однородности γ>1, либо ПФ, учитывающей помимоK и L еще какие-либо факторы, приводящие копережающему росту выпуска по сравнению с ростом факторов K и L. Если вклад таких факторов описыватьмультипликативным членом ept при линейно-однородной функцииF(⋅), т.е. в виде

,

то оценка p в этом случае должна бытьположительной. В этом случае можно говорить о существовании положительного"остатка" в том смысле, что факторы K и L неполностью описывают динамику выпуска Y. К этому вопросу мы вернемся ниже.

В любом случае, ситуация

(3.4)

означает, что в окрестности периодаt развитие экономикипроисходит достаточно эффективно в смысле использования факторов производства(разумеется, если факторы выбраны рационально с содержательной точки зрения иизмерены достаточно точно). Такую ситуацию часто интерпретируют в терминахвысокой отдачи на масштаб (γ>1) или положительного технического прогресса, мерой которогоможно считать оценку p.

Напротив, ситуация

(3.5)

означает, что в окрестности периодаt факторы используютсянеэффективно. В этом случае ситуацию часто объясняют в терминах низкой отдачина масштаб (γ<1),либо отрицательного технического прогресса (p<0). Обе ситуации (3.4) и (3.5)означают, что в окрестности периода t линейно-однородная ПФ неприменима.

Ситуация

(3.6)

не противоречит гипотезе замещения и означает,что в окрестности периода tне исключена возможность описания совместной динамики временных рядовY, K и L линейно-однородной производственнойфункцией. Именно эта ситуация и наблюдается в рассматриваемом примере с 1955 г.(рис.3.2).

Таким образом, анализ графиков базисных индексов Y, K и L и темпов δY,δK и δL, типа приведенных на рис.3.1,3.2,позволяет уже на этапе предварительного анализа данных дать ответ оприменимости линейно-однородной производственной функции на всем анализируемоминтервале времени и на отдельных его подпериодах, а также получить некоторуюинформацию об уровне и динамике эффективности производства в терминах наличиянеобъясняемого остатка и его знака.

3.4. Анализ простейшихзависимостей

Как было отмечено в 2.2, если ПФ Y=F(K,L) -линейно-однородна, то ее можно представить как в виде функции y=f(k) среднейпроизводительности труда y=Y/L от средней фондовооруженностиk=K/L, так и в виде функции g=q(l) средней фондоотдачи g=Y/K от среднейтрудовооруженности фондов l=L/K=1/k. Если же такая ПФ удовлетворяет еще истандартным требованиям,,,, то f'>0, q'>0 и f''≤0,q''≤0. Для проверки по исходным данным выполнения предположения оположительности первых и неположительности вторых производных функцийf(k) и q(l) достаточно лишь предположения о линейной однородности ПФ: вслучае, если зависимости (y,k) и(g,l) будут возрастающими и нестроговогнутыми, то эти предположения выполняются. Здесь и ниже зависимость будемсчитать выпуклой, если множество, ограниченное снизу графиком этой зависимостиявляется выпуклым. Соответственно, вогнутой будем считать зависимость, есливыпуклым является множество, ограниченное этой зависимостью сверху.

Заметим, что поскольку исходные данные соответствуют дискретнымпериодам времени, то на практике без ограничения общности можно считатьпроизводственную функцию дифференцируемой необходимое количество раз.Действительно, данные в непрерывном времени могут быть получены из исходныхданных в дискретном времени лишь с использованием методов интерполяции илиаппроксимации, причем многими способами, среди которых всегда можно подобратьобладающие необходимыми свойствами (скажем, для этого можно использоватьаппарат сплайн-функций).

y k	g l
Рис.3.3. Примерзависимости (y,k).	Рис.3.4. Примерзависимости (g,l).

Рис.3.3,3.4 иллюстрируют эти зависимости для рассматриваемогопримера. Зависимость (y,k)демонстрирует рост y сростом k для всегоанализируемого интервала времени. Зависимость (g,l), напротив, демонстрирует рост g с ростом l лишь на интервале 1955-1966 гг. (реально имело место падениеg с падением l). На интервале же 1950-1955 гг. наблюдалось падениеg с ростом l (реально - рост g с падением l), что не соответствует свойствамлинейно-однородной ПФ с положительными первыми производными.

Зависимости (y,k) и(g,l), графики которых приведены нарис.3.3,3.4, являются, в целом, вогнутыми, что соответствует свойствам ПФ.Однако, в 1951-1955 гг. и в1962-1965 гг. этизависимости - выпуклые (этоособенно отчетливо заметно на графике (g,l), рис.3.4),что не согласуется с предположением об убывающей отдаче.

Таким образом, анализ зависимостей (y,k) и (g,l) позволяетконстатировать, что в рассматриваемом случае линейно-однородная ПФ сположительными первыми производными может быть построена на интервале1955-1966 гг. и не можетбыть построена на интервале 1950-1955 гг. При этом, на интервале 1962-1965 гг. следует ожидать нарушениясвойства неположительности ее вторых производных, которое связывают с закономубывающей отдачи. Попытка же построения линейно-однородной ПФ на всем интервалезаведомо приведет к невысокому качеству аппроксимации и положительнойавтокорреляции остатков.

3.5. Анализизоквант

Если ПФ Y=F(K,L) -линейно-однородна, то для произвольного c>0. Следовательно, зависимости для такой производственной функции будут изоквантами (линиямиравного выпуска). Поскольку изокванты однородной ПФ гомотетичны, то достаточнорассматривать лишь одну (любую) из них, например, кривую (L/Y,K/Y).

Таким образом, для построения изокванты по реальным даннымдостаточно только той информации о производственной функции, что оналинейно-однородна. Поэтому зависимость средней трудоемкости выпускаL/Y от его средней капиталоемкостиK/Y можно использовать на этапепредварительного анализа данных для получения информации о возможном видефункции F(K,L). Так, близость изокванты, построенной по реальным данным, кпрямой линии свидетельствует о высоком значении эластичности замещенияσ. Напротив, еслитакая изокванта имеет крутой сопрягающий участок, то можно говорить о низкомуровне замещаемости, т.е. σ близка к нулю. Если кривая (L/Y,K/Y) выпукла, то σ>0. Если же эта кривая вогнута,то σ<0, и,следовательно, ПФ с неположительными вторыми частными производными в данномслучае неприменима. Таким образом, анализируя график зависимости (L/Y,K/Y), построенный по реальным данным, можнов рамках предположения о линейной однородности ПФ по направлению выпуклостиопределять участки с σ>0, σ=±∞, σ<0.

График этой зависимости для рассматриваемого примера приведен нарис.3.5. Для того, чтобы реальную траекторию {Y,K,L}t можно было описать линейно-однороднойпроизводственной функцией, необходимо, чтобы зависимость (L/Y,K/Y) удовлетворяла свойствам изоквант такойПФ. На рис.3.5 видно, что кривая (L/Y,K/Y) является монотонно убывающей лишь на интервале 1955-1966 гг., причем в середине 1960-х гг.кривая вогнута, что соответствует отрицательной эластичностизамещения.

L/Y K/Y	y g
Рис.3.5. Примерзависимости (L/Y,K/Y).	Рис.3.6. Примерзависимости (y,g).

Наклон кривой на участке 1950-1955 гг. соответствует случаю, когдавыпуск сохраняется неизменным при уменьшающихся затратах факторов, что несоответствует свойствам линейно-однородной ПФ. Тот факт, что к 1960-м гг.участок изокванты, построенной в предположении линейной однородности ПФ,становится почти горизонтальным, свидетельствует о том, что в эти годы трудстановится лимитирующим фактором производства, тогда как в 1950-е гг.лимитирующим фактором был капитал.

Поскольку зависимости (L/Y,K/Y) являются изоквантами линейно-однородной ПФ в координатах(L,K), то зависимости (y,g) будут изоквантами в координатах (L-1,K-1).

Если в выражении CES-функции (2.3) положить γ=1, т.е. если оналинейно-однородна, то

.

Если, кроме того, ρ=1 (т.е. σ=1/2), то

,

т.е. средняя производительность трудаy и средняя фондоотдачаg связаны в этом случаелинейной зависимостью. Таким образом, анализируя график зависимости(y,g), построенной по реальным данным, можнов рамках предположения о линейной однородности ПФ по направлению выпуклостиопределять участки с σ>1/2, σ=1/2 и σ<1/2. Следовательно, построение зависимости (y,g) представляет интерес для предварительного анализа данных.Семейство кривых (y,g) для разныхзначений эластичности замещения σ представлено на рис.2.4.

График (y,g), построенныйпо данным рассматриваемого примера, приведен на рис.3.6. Судя по направлениювыпуклости, участок 1955-1966 гг. в целом может быть описан линейно-однородной ПФ сσ<1/2. Участок1950-1955 гг.характеризуется одновременным ростом средней производительности труда и среднейфондоотдачи, что не соответствует свойствам линейно-однородной ПФ.

Таким образом, анализ зависимости (y,g) позволяет заключить, что если выбирать ПФ из класса CES, тоэластичность замещения такой функции должна быть несколько меньше 1/2. Этоозначает, в частности, что функция Кобба-Дугласа (у которой эластичностьзамещения равна 1) не подходит для описания траектории {Y,K,L}t на рассматриваемом периоде.

3.6. Анализ факторныхэластичностей

Если ПФ Y=F(K,L) дифференцируема и линейно-однородна, то справедливы следующие дваравенства

(3.7)

которые для каждого момента t образуют систему из двух линейныхуравнений относительно EK,t и EL,t. Эта системапри δK,t≠δL,t имеет решение

(3.8)

Если в (3.8) подставить аппроксимациилогарифмических производных δY,t, δK,t иδL,t, полученныепо формулам (3.2)-(3.3),получим показатели εK,t и εL,t, которыеявляются оценками факторных эластичностей EK,t иEL,t впредположении линейной однородности производственной функции. Поэтому, еслизависимость (εK,k) соответствует одной из изображенных на рис.2.5, то этосвидетельствует о применимости производственной функции типа CES; в противномслучае CES-функция неприменима. Если εK≈const, то можно использоватьфункцию Кобба-Дугласа, а если εK монотонно убывает с ростом k, то в этом случае траектория{Y,K,L}t насоответствующем интервале должна хорошо описываться функцией CES сэластичностью замещения σ<1. Таким образом, анализируя график зависимости (εK,k), построеннойпо реальным данным, можно в рамках предположений о дифференцируемости илинейной однородности ПФ определять участки с σ>1, σ=1 и σ<1.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |   ...   | 17 |    Книги по разным темам