Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | Физика и техника полупроводников, 1998, том 32, № 1 Экситонные поляритоны в длиннопериодных структурах с квантовыми ямами й М.Р. Владимирова, Е.Л. Ивченко, А.В. Кавокин Физико-технический институт им. А.Ф.Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия (Получена 29 мая 1997 г. Принята к печати 3 июня 1997 г.) Методами теории матриц проанализировано распределение на комплексной плоскости собственных частот экситонных поляритонов в конечной периодической структуре с квантовыми ямами. Получены соотношения, накладываемые на суммы собственных частот для поляритонных мод, четных и нечетных относительно центра структуры. Показано, что в антибрэгговской структуре, период которой равен четверти длины волны света на частоте экситонного резонанса 0, наборы собственных частот, соответствующих четным и нечетным решениям, переходят друг в друга при отражении относительно вертикальной оси = 0. Найдены приближенные аналитические выражения для собственных частот ФдолгоживущихФ и ФкороткоживущихФ поляритонных мод. Выяснена связь между формой спектров оптического отражения и множеством собственных частот системы.

Как известно, в объемных кристаллах экситон-фотон- структуры широко изучаются экспериментально и могут ное взаимодействие приводит к образованию возбужде- быть характеризованы как промежуточный случай между ний смешанного типа экситонных поляритонов, которые одиночной квантовой ямой и бесконечной сверхрешетв пренебрежении взаимодействием экситона с фононами кой. Так же, как и в одиночной яме, в данном случае и статическими дефектами распространяются неограни- экситон может рекомбинировать с испусканием фотона ченно далеко без затухания. В бесконечной периодиче- (kx, ky, kz). Однако темп радиационной рекомбинации и ской структуре с квантовыми ямами или сверхрешетке частота излучаемого света зависят от эффектов переоткартина формирования экситонных поляритонов в дета- ражения и интерференции света в многослойной струклях отличается, но, как и в однородных материалах, тер- туре. В терминах квантовой электродинамики экситоны мин радиационного затухания не вводится. В структуре в различных квантовых ямах оказываются связанными с одиночной квантовой ямой понятие экситонного поля- за счет электромагнитного поля. Как и в системе из N ритона претерпело существенные изменения. Экситон, связанных маятников, в системе из N квантовых ям возвозбужденный в идеальной квантовой яме в состояние никает в общем случае N собственных частот. Поскольку с двумерным волновым вектором k = (kx, ky) таким, сохраняется возможность радиационной рекомбинации что k < (0/c)nb, может аннигилировать с испусканием экситона, эти частоты являются комплексными.

света в барьер (0 Ч резонансная частота экситона, c Ч В работе [1] и появившемся вслед за ней ряде раскорость света в вакууме, nb Ч показатель преломления бот [2Ц7] рассмотрены оптические свойства конечных в материале барьера). Частота квазидвумерного экситона длиннопериодных структур с одинаковыми квантовыми с учетом взаимодействия с фотонами незначительно ямами. В [1] подробно проанализирован случай резонансперенормируется и, таким образом, основной результат ной брэгговской структуры с периодом d = (0nb/c)-1.

сводится к появлению у экситона радиационного затуха- Показано, что в этом случае спектр собственных частот ния. Важно отметить, что в отличие от радиационного за- i является сильно вырожденным: для N - 1 моды тухания возбужденных уровней изолированных атомов, собственные частоты совпадают и равны 0 - i, где вклад в которое вносит испускание света в широком те- Ч нерадиационное затухание, т. е. эти моды являются лесном угле, излучение экситона в квантовой яме на ча- радиационно неактивными, а для одной моды частота стоте состоит из двух световых волн с волновыми век- равна 0 -i(N0 +), где 0 Ч радиационное затухание 2 торами k =(kx, ky, kz), где kz =[(/c)2n2 - kx - ky]1/2, экситона в одиночной яме, т. е. такой экситон имеет b так как составляющие волнового вектора в плоскости излучательное время жизни, в N раз меньшее чем в интерфейса сохраняются. Экситон с k > (0/c)nb ин- одиночной квантовой яме. В [7] проведен расчет вещедуцирует в барьерах электромагнитное поле, амплитуда ственной и мнимой частей собственных частот в зависикоторого убывает по мере удаления в глубь правого мости от периода структуры CdTe/CdZnTe, содержащей или левого барьера. Обратное влияние этого поля на 10 квантовых ям. В данной работе проанализированы с экситон приводит к перенормировке резонансной ча- точки зрения четности собственные решения экситонстоты, но не порождает нового канала рекомбинации. поляритонной задачи в структуре с конечным числом Данная работа посвящена рассмотрению радиационных эквидистантных квантовых ям, исследованы закономерсвойств экситона в конечной периодической структуре ности взаимного расположения собственных частот эксис квантовыми ямами, где экситоны в соседних ямах тонных поляритонов на комплексной плоскости, а также достаточно хорошо изолированы друг от друга, чтобы выведены приближенные аналитические выражения для можно было пренебречь туннельными эффектами. Такие частот долгоживущих и быстрозатухающих мод.

102 М.Р. Владимирова, Е.Л. Ивченко, А.В. Кавокин Уравнение для собственных частот Коэффициенты отражения и пропускания определены на плоскостях, смещенных на d/2 влево от центра крайней в методе матриц переноса левой ямы и на d/2 вправо от центра крайней правой В методе матриц переноса в волновом уравнении ямы соответственно.

с помощью материального соотношения исключается Из симметрии системы следует [1], что ее собственные диэлектрическая поляризация и устанавливается связь возбуждения являются либо четными, либо нечетными между амплитудами электрического поля для падающей относительно центра структуры z = 0, в частности, и прошедшей волн. Рассмотрим структуру из N эквиди- диэлектрическая поляризация P (или электрическое постантных квантовых ям, расположенных на расстоянии ле E) нормального возбуждения удовлетворяет одному d друг от друга. Матрица переноса через слой толщины из условий: P(-z) = P(z) или E(-z) = E(z).

d с квантовой ямой посередине может быть записана в Собственные частоты для четных решений являются последующем виде [1,8]:

юсами суммы rN()+tN(), а для нечетных решений Ч полюсами разности rN() - tN(). Отсюда следует, 1 - r2)eikd r (t что числитель дроби rN tN должен обращаться в нуль T = (1) t -r e-ikd, соответственно для четных и нечетных решений, и на эти решения накладываются условия где r и t Ч соответственно коэффициенты отражения и пропускания, отнесенные к центру ямы, UN-1(G) =(t/r). (7) ir =, t = 1 + r. (2) Заметим, что среди 2N корней двух уравнений (7) 0 - - i( + 0) только половина являются собственными частотами геЗдесь и в дальнейшем пренебрегается различием между тероструктуры и удовлетворяют уравнению (5).

n2 и фоновой диэлектрической проницаемостью материb Уравнения (5), (7) позволяют установить соотношеала ямы и рассматривается нормальное падение света ния между собственными частотами для двух структур на структуру. Собственные числа этой матрицы можно с одним и тем же числом N и с периодами d1 и d2, представить в виде [8] = eiQd, а ее собственные удовлетворяющими условию векторы как k(d1 + d2) =. (8) r =, a =. (3) a e-ikd - teiQd Из очевидных равенств cos kd2 = - cos kdи sin kd2 = sin kd1 следует тождество Величина Q имеет смысл волнового вектора света на G(, d1) = -G(20 -, d2). Сравнивая уравнения частоте в неограниченной периодической структуре и (5) для двух структур и учитывая соотношения удовлетворяет дисперсионному соотношению [9] t() = t(20 - ), exp(-ikd1) = - exp(ikd2), Un(-x) = (-1)nUn(x) и Un (x) = Un(x), приходим cos Qd =G(), G()=cos kd-sin kd. (4) 0- - i к выводу о том, что множества собственных частот {i(d1)} и {j(d2)} можно привести к соответствию Для структуры, содержащей конечное число N квантовых ям, спектр собственных частот находится из од j(d2) =20 -i (d1). (9) нородных граничных условий, означающих отсутствие внешней волны, падающей на структуру слева или спраОбозначим собственные частоты для четных и (+) (-) ва, и эквивалентных соотношению a+eiNQd = a-e-iNQd.

нечетных решений в виде i (d), i (d), где После подстановки в это соотношение выражения (3) i, i = 1,..., N/2 при четномNи i =1,..., (N+1)/2, для коэффициентов a и некоторых дополнительных i = 1,..., (N - 1)/2 при нечетном N. Используя преобразований приходим к трансцендентному уравнеуравнения (7), можно переписать соотношения (9) в нию для нахождения N собственных комплексных частот терминах четных и нечетных решений системы UN-1(G) () teikd =, (5) 20-i (d1), если N нечетно, UN-2(G) ()(d2)= (10) j () 20-i (d1), если N четно.

где Un(x) = (1 - x2)-1/2 sin[(n + 1) arccos x] Ч многочлены Чебышева второго рода степени n (см., наприОсобый случай представляет антибрэгговская структура мер, [10]), а аргумент G определен согласно (4).

с kd = /2. Подставляя в (10) значения d1 = d2 = /2k, Амплитудные коэффициенты отражения и прохожденаходим, что для такой структуры при нечетных N сово(+) (-) ния света для системы из N квантовых ям, заключенной купности частот i и i по отдельности распределемежду однородными неограниченными барьерами, выраны на комплексной плоскости симметрично относительжаются через a и Q следующим образом:

но вертикальной прямой = 0, а при четных N мно(-) (+) жество i получается из множества i в результате a+a-(1 - e2iNQd) (a- - a+)eiNQd rN =, tN =. (6) отражения относительно прямой = 0. Заметим, что a- - a+e2iNQd a- - a+e2iNQd Физика и техника полупроводников, 1998, том 32, № Экситонные поляритоны в длиннопериодных структурах с квантовыми ямами Рис. 2. Комплексные собственные энергии для экситонных поляритонов в антибрэгговской структуре (d = dA) c 20 квантовыми ямами при = 0. Стрелками показаны края запрещенной зоны в бесконечной периодической гетероструктуре.

при выводе формул (9), (10) не учитывалась дисперсия волнового вектора k =(/c)nb, т. е. предполагалось, что Nnb| - 0|d/c 1.

На рис. 1 показаны комплексные энергии экситонных поляритонов для трех структур с N = 10 и с периодами, удовлетворяющими условию kd = /4 (a), kd = /2 (b, антибрэгговская структура) или kd = 3/4 (c). Четные и нечетные решения обозначены разными символами.

При расчете были выбраны параметры гетероструктуры, характерные для системы GaAs/GaAlAs: энергия возбуждения квазидвумерного экситона в одиночной квантовой яме 0 = 1.524 эВ, радиационное затухание 0 = 0.08 мэВ, показатель преломления в барьере nb = 3.64, различием между nb и фоновым показателем преломления в материале ямы пренебрегалось. Для простоты безызлучательное затухание полагалось равным нулю, для его учета достаточно сдвинуть все точки на рис. 1 на величину -i. В соответствии с (10) точки на рис. 1, c получаются из рис. 1, a отражением относительно прямой 0 и переменой символа четности, а комплексные энергии поляритонов в антибрэгговской структуре (рис. 1, b) расположены симметрично относительно этой прямой. Расположение собственных энергий для антибрэгговской структуры с 20 ямами показано на рис. 2.

Уравнение для собственных частот Рис. 1. Комплексные собственные энергии для экситонных в методе связанных осцилляторов поляритонов в структуре с 10 квантовыми ямами и периодом d = dA/2 (a), d = dA (b), d = 3dA/2 (c); dA Ч период В этом методе собственные частоты находятся из антибрэгговской структуры. Нерадиационное затухание эксиуравнения тона положено равным нулю. Белые и черные квадраты Ч соответственно четные и нечетные решения, звездочка Ч det Alm - lm = 0, собственная энергия экситона в одиночной квантовой яме.

Alm =(0 -i)lm - i0eik|l-m|, (11) Стрелками показаны края запрещенной зоны в бесконечной периодической гетероструктуре, определенные согласно (15).

которое полностью эквивалентно уравнению (5). Так как след любой квадратной матрицы равен сумме ее Физика и техника полупроводников, 1998, том 32, № 104 М.Р. Владимирова, Е.Л. Ивченко, А.В. Кавокин i ( собственных чисел, на эту сумму накладывается огра(+)() =1-)(-) =- 0 1 +1,2,ничение N (1 +2)2 +4(1 +2) (N=4).

j = 0, j = j - 0 + i( + 0). (12) j=Легко убедиться, что эти частоты удовлетворяют тождеСогласно теореме Гершгорина [11], характеристические ствам (12), (13).

числа комплексной квадратной матрицы alm порядка n лежат в замкнутой области комплексной плоскости Приближенные выражения z = z + iz, образованной кругами для собственных частот |z - all| |alm|.

Анализ рис. 1, 2 показывает, что ряд поляритонных мод m =l обладает малым радиационным затуханием, и в то же Отсюда следует, что собственные частоты системы из N время имеются отдельные поляритонные состояния, хаквантовых ям локализованы в круге с центром в точке рактеризуемые повышенной радиационной активностью.

0-i(+0) ирадиусом(N-1)0. Учитывая симметрию Для этих двух типов экситонных поляритонов в структусистемы, получим соотношения сумм корней для четных рах с квантовыми ямами можно вывести приближенные и нечетных решений в отдельности. С этой целью прону- аналитические выражения для собственных частот.

меруем последовательность N квантовых ям от m = -n Прежде всего заметим, что, согласно (4), в неоградо m = n, исключая нуль при четном N = 2n и включая ниченной периодической гетероструктуре с квантовыми значение m = 0 при нечетномN=2n + 1, и перейдем от ямами дисперсия нормальных световых волн имеет вид базиса одноямных экситонных состояний |m к базису sin kd |m = (|m | -m )/ 2 (m = 1,..., n), если N = 0 - i+ 0. (14) cos Qd - cos kd четно, и базису |m (m = 1,..., n), |0 |0, если N + нечетно. В новом базисе матрица трансформируется в При = 0 в спектре имеется запрещенная зона, квазидиагональную матрицу лежащая между значениями (+) =. = 0 - 0 tg(kd/2) при Q = /2 и 0 (-) = 0 +0 ctg(kd/2) при Q = 0. (15) Собственные числа матриц () определяют совокупСтрелками на рис. 1 и 2 показаны края запрещенной зоны ность частот () для четных и нечетных решений j для экситонных поляритонов, задаваемые значениями соответственно. Диагональные элементы этих матриц 0 +(1 2)0 в структуре с периодом, равным 1/легко вычисляются: A() = 0 i02m-1, если Nчетно, mm длины волны света, 0 0 в антибрэгговской структуре A(+) = 0 и A() = 0 i02m, если N нечетно, где mm и 0 +( 2-1)0, если период равен 3/4 длины волны.

0 = 0 - i( + 0) и = eikd. Суммируя их отдельно, получаем n n (+) = - (-) j j j=1 j=1 - 2n = -i0 при N = 2n, (13) 1 - n+1 n (+) = - (-) j j j=1 j=1 - 2n = -i02 при N = 2n + 1.

1 - Соотношения (20) из [1] позволяют найти частоты () j для N = 14:

Рис. 3. Комплексные собственные частоты для экситонных поляритонов в антибрэгговской структуре (d = dA) с 10 кван(+) = 0 (N = 1); () = i0 (N = 2);

1 товыми ямами. 1 Ч точный расчет, представленный также на рис. 1, b, 2 Ч расчет по формулам (14), (17), 3 Ч расчет по i (-) (+) = - 0( 2 + 8), 1 = i02 (N = 3);

приближенной формуле (18).

Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам