Проведено сопоставление результатов расчета по предложенной теории и ранее выполненного эксперимента.

Введение возбуждение как минимум двух продольных резонансных мод. Отметим, что каждая продольная мода за счет Одним из эффективных методов расчета устройств слабой связи между двумя резонаторами в поперечном на поверхностных акустических волнах (ПАВ) являет- направлении и волноводного эффекта расщепляется на ся метод связанных мод. Обычно используемый метод две. Таким образом, в TCRF-фильтре с изменяющейся связанных мод (см., например, [1]), основанный на полярностью подключения пар электродов к контактвыводе системы неоднородных дифференциальных урав- ным шинам может одновременно возбуждаться четынений, неоправданно усложняет решение задачи расче- ре и более мод. Четырехмодовый фильтр обеспечита устройств на ПАВ с произвольно изменяющимися вает большую широкополосность и прямоугольность параметрами. В рамках этой теории затруднен учет амплитудно-частотной характеристики по сравнению с таких факторов, как изменяющийся период структуры, обычным двухмодовым TCRF-фльтром. Предложенная произвольная полярность подключения электродов к теория с одинаковым успехом может быть использована контактным шинам, аподизация, неоднородное распреде- как для расчета обычных TCRF-фильтров, так и для ление поверхностного заряда на электродах структуры.

расчета TCRF-фильтров с изменяющейся полярностью Все перечисленные факторы достаточно просто могут подключения пар электродов.

быть учтены с помощью метода, основанного на мо- В работе на основе модифицированных уравнений для дифицированных уравнениях для связанных мод, опери- связанных мод построена теория фильтров, используюрующего элементарным звеном структуры. Кроме того, щих волноводные моды в структуре двух слабосвязанпредлагаемый метод более перспективен с точки зрения ных в поперечном направлении резонаторов на ПАВ.

дальнейшего усложнения исходной модели структуры.

Проведено сопоставление результатов расчета, провеРанее метод модифицированных уравнений для свя- денного на основе предложенной теории и ранее вызанных мод был использован для расчета различного полненного эксперимента, представленного в работе [6] типа устройств на поверхностных акустических вол- и автором данной статьи совместно с Н.П. Осиповой в нах [2Ц4]. В данной работе рассмотрена теория од- докладе [7].

ного из наиболее перспективных для использования в аппаратуре различного вида связи типов узкопоРаспределение поля акустической лосных фильтров на ПАВ. Это фильтр, использующий волноводные моды в структуре двух слабосвязан- волны в поперечном направлении ных в поперечном направлении резонаторов на ПАВ TCRF-фильтра (в англоязычной литературе Ч transversely coupled resonator filter (TCRF)). TCRF-фильтры привлекательны Пусть R(y, z, ) и S(y, z, ) Ч две связанные между тем, что имеют относительно малые вносимые потери собой неоднородные плоские волны с частотой, распри высоком внеполосном подавлении. Ранее теория пространяющийся в полубесконечном пьезоэлектрике с TCRF-фильтров рассматривалась на основе обычной нанесенными на его поверхность встречно-штыревыми теории связанных мод (COM (coupling modes)-теории) преобразователями (IDT-1 и IDT-2) и отражающив ряде работ (см., например, обзор [5]). Однако расчет ми структурами (RA1-L, RA1-P, RA2-L, RA2-P) в виTCRF с изменяющейся полярностью подключения пар де металлических полосков (рис. 1). Причем волна электродов к контактным шинам на основе обычной R(y, z, ) распространяется в направлении оси z, а COM-теории затруднен. В данном типе TCRF-фильтров волна S(y, z, ) Ч в направлении, противоположном полярность подключения пар электродов к контактным оси z. Будем также полагать, что распределение поля шинам выбирается таким образом, что обеспечивается в поперечном направлении не зависит от координа7 100 В.Ф. Дмитриев искать для области y > 0 в виде разложения по ортонормированной системе функций (t) (t) (y) = (y), (10) n n где (y) =An sin(ktny) +Bn cos(ktny).

n В области 1 ktn = -k2 = -(k2 - k2 ), в области 1n n m ktn = k2 = k2 - k2, в области 3 k3n = k1n, в области 2n e n ktn = -k2 = -(k2 - k2); km, ke, k0 Ч волновые 4n n числа ПАВ для неограниченного пьезоэлектрика под полностью металлизированной поверхностью, под поверхностью с бесконечно длинной решеткой бесконечно длинных электродов и под свободной поверхностью соРис. 1. Топология TCRF-фильтра.

ответственно; kn Чволновое число n-й моды. Поскольку в общем случае в структуре может существовать n типов волноводных мод (n = 0, 1, 2, 3...), причем каждая со своим распределением поля в поперечном направлении, ты z и структура ограниченна в направлении оси y.

решение будем искать для каждой из них.

Тогда в силу ограниченного поперечного размера в С учетом знака постоянной распространения ktn и такой структуре возможно существование волноводных симметрии структуры в областях 1Ц4 решение (3) будем мод. Неоднородные плоские волны, распространяющиискать в виде: в области 1, 0 < y < G/еся в структуре, представленной на рис. 1, запишем в виде (1) (y) =B1nFB, n R(y, z, ) =R() (y) exp(- jkz ), (1) где S(y, z, ) =S() (y) exp(+ jkz ), (2) где R(), S() Ч комплексные амплитуды соответствуch(k1nG/2) для симметричных мод, ющих волн, (y) Ч распределение поля акустической FB = (11) sh(k1nG/2) для антисимметричных мод;

волны в поперечном направлении, k Чволновые числа.

Распределение поля (y) будем искать на основе ре- в области 2, G/2 < y < W + G/шения волнового уравнения для комплексных амплитуд (2) волн, распространяющихся в направлении оси z, (y) =A2n sin(k2ny) +B2n cos(k2ny); (12) n (t) d2 (y) в области 3, W + G/2 < y < W + G/2 + S 2 (t) + kt d (y) =0, (3) d2y (3) (y) =B3n exp(-k3ny); (13) n где t = 1, 2, 3, 4 Ч номер области структуры (согласно рис. 1), для которой записано уравнение. в области 4, y > W + G/2 + S Распределение поля акустической волны должно удо(4) влетворять граничным условиям (y) =B4n exp(-k4ny). (14) n (1) (2) (y) = (y) при y = G/2, (4) Значения коэффициентов B1n, A2n, B2n, A3n, B3n, B4n можно определить из граничных условий (4)Ц(9) и (2) (3) (y) = (y) при y = G/2 + W, (5) условия ортонормировки (3) (4) (y) = (y) при y = G/2 + W + S, (6) (t) (t) (1) (2) dy (y) (y) =nmW, (15) (y) (y) n m = при y = G/2, (7) y y (2) (3) (y) (y) где nm Ч символ Кронекера.

= при y = G/2 + W, (8) y y Используя граничные условия (5) и (8) и выражения (12) и (13), нетрудно получить дисперсионное (3) (4) (y) (y) уравнение, связывающее волновые числа акустических = при y = G/2 + W + S. (9) y y волноводных мод с их круговой частотой. Условия В силу симметрии структуры относительно оси z существования решения дисперсионного уравнения расрешение (3) с граничными условиями (4)Ц(9) будем смотрены в работе [1].

Журнал технической физики, 2003, том 73, вып. Теория фильтра на слабо связанных резонансных модах поверхностных акустических волн Модифицированные COM-уравнения работы [3] для каждого преобразователя, затем подставляя разложения (16) и (17) в полученные уравнения, для TCRF-фильтра умножая обе части уравнений на (y) и интегрируя n Для расчета входной проводимости TCRF-фильтра по y в пределах апертуры каждого преобразователя, для воспользуемся уравнениями (9)Ц(11) из работы [3] и изменения тока в ВШП за счет преобразования прямой разложением поля акустической волны в ряд по волно- и обратной волн получим водным модам. Тогда с учетом выражений (1), (2) и (10) I1,K,n() - I1,K+1,n() =2K() exp[- j pK/2] можно записать n R(y, z, ) = Rn() exp(- jknz ) (y), (16) n Tn(1)[RK,n() +SK,n()], (20) n I2,K,n() - I2,K+1,n() =2K() exp[- j pK/2] n S(y, z, ) = Sn() exp(+ jknz ) (y). (17) n n Tn(2)[RK,n() +SK,n()]. (21) Далее, выполним стандартные преобразования. Подставляя разложения (16) и (17) в уравнения (9) и (10) Изменение тока в шинах за счет падения напряжения из работы [3], умножая обе части уравнений на (y), на емкости ВШП учтем позже.

n интегрируя по y от - до + и учитывая условия Соотношения (18)Ц(21) можно записать в матричной нормировки (15), получим фарме SK,n() =rK1,K exp[- j pK]RK,n() n SK,n() P(1, 1) P(1, 2) P(1, 3) P(1, 4) RK+1,n() P(2, 1) P(2, 2) P(2, 3) P(2, 4) + 1,K(1 -|rK|2)1/2 exp[- j pK]SK+1,n() = n I1,K,n() P(3, 1) P(3, 2) P(3, 3) P(3, 4) I2,K,n() P(4, 1) P(4, 2) P(4, 3) P(4, 4) + K()2,K exp[- j pK/2](Tn(1)U1 + Tn(2)U2), (18) n RK,n() RK+1,n() =1,K(1 -|rK|2)1/2 exp[- j pK]RK,n() n SK+1,n(), (22) + rK1,K exp[- j pK]SK+1,n() n UU+ K()2,K exp[- j pK/2](Tn(1)U1 + Tn(2)U2), (19) n где I1,K,n() =I1,K,n() - I1,K+1,n(), I2,K,n() = где rK Ч комплексный коэффициент отражения от k-го = I2,K,n() - I2,K+1,n(), электрода; = kn - k0 - j, k0 = 2/pK, pK Ч n расстояние между центрами k + 1-го и k-го электроP(1, 1) =rK1,K exp[- j pK], n дов; K Ч коэффициент преобразования ПАВ на k-м электроде [3]; 1,K = W1,K/W, 2,K = W2,K/W, W Ч P(1, 2) =1,K(1 -|rK|2)1/2 exp[- j pK], n максимальная апертура, W1,K Ч перекрытие соседних электродов, W2,K = W в случае, если используются P(1, 3) =K()2,K exp[- j pK/2]Tn(1), n холостые электроды, и W2,K = W1,K, если холостые электроды не используются; Ч суммарные потери P(1, 4) =K()2,K exp[- j pK/2]Tn(2), n при распространении ПАВ в электродной структуре на единицу длины; LK Ч ширина k-го электрода; центр P(2, 1) =1,K(1 -|rK|2)1/2 exp[- j pK], n отражения (преобразования) ПАВ принят находящимся в центре электрода.

P(2, 2) =rK1,K exp[- j pK], n (1) Величины Tn и Tn(2) равны P(2, 3) =K()2,K exp[- j pK/2]Tn(1), n G/2+W P(2, 4) =K()2,K exp[-k pK/2]Tn(2), n Tn(1) =(1/W ) dy (y), n G/P(3, 1) =P(3, 2) =2K() exp[- j /2]Tn(1), K -G/P(4, 1) =P(4, 2) =2K() exp[- j PK/2]Tn(2), n Tn(2) =(1/W ) dy (y).

n -(G/2+W) P(3, 3) =P(3, 4) =P(4, 3) =P(4, 4) =0.

Отметим, что для симметричных мод Tn(1) = Tn(2), а Для расчета компонент P-матрицы TCRF-фильтра на (2) для антисимметричных Tn(1) = -Tn. Число электродов первом этапе найдем компоненты суммарной P-матрицы в каждом ВШП примем равным NT, а в каждой отра- двух ПАВ структур с матрицами [P(1)] и [P(2)], вклюжающей структуре Ч NG. Записывая уравнение (11) из ченных последовательно. Для упрощения записываемых Журнал технической физики, 2003, том 73, вып. 102 В.Ф. Дмитриев P(S4)(1, 4) =P(1)(1, 4) +P(1)(1, 2) P(2)(1, 4) соотношений индекс n опустим. Тогда мактрицу [P(1)] определим как + P(2)(1, 1)P(1)(2, 4) /P0; (29) SK() RK+1() P(S4)(2, 1) =P(1)(2, 1)P(2)(2, 1)/P0; (30) = I1,K() P(S4)(2, 2) =P(2)(2, 2) I2,K() + P(2)(2, 1)P(1)(2, 2)P(2)(1, 2)/P0; (31) P(1)(1, 1) P(1)(1, 2) P(1)(1, 3) P(1)(1, 4) RK() P(1)(2, 1) P(1)(2, 2) P(1)(2, 3) P(1)(2, 4) SK+1(), P(S4)(2, 3) =P(2)(2, 3) +P(2)(2, 1) P(1)(2, 3) UP(1)(3, 1) P(1)(3, 2) P(1)(3, 3) P(1)(3, 4) UP(1)(4, 1) P(1)(4, 2) P(1)(4, 3) P(1)(4, 4) + P(2)(1, 3)P(1)(2, 2) /P0; (32) (23) где I1,K() = I1,K() - I1,K+1(), I2,K() = I2,K() P(S4)(2, 4) =P(2)(2, 4) +P(2)(2, 1) P(1)(2, 4) - I2,K+1().

Матрицу [P(2)] определим как + P(2)(1, 4)P(1)(2, 2) /P0; (33) SK+1() P(S4)(3, 1) =P(1)(3, 1) +P(1)(2, 1) P(2)(3, 1) RK+2() = I1,K+1() + P(2)(1, 1)P(1)(3, 2) /P0; (34) I2,K+1() P(S4)(3, 2) =P(2)(3, 2) +P(2)(1, 2) P(1)(3, 2) P(2)(1, 1) P(2)(1, 2) P(2)(1, 3) P(2)(1, 4) RK+1() P(2)(2, 1) P(2)(2, 2) P(2)(2, 3) P(2)(2, 4) SK+2(), + P(1)(2, 2)P(2)(3, 1) /P0; (35) P(2)(3, 1) P(2)(3, 2) P(2)(3, 3) P(2)(3, 4) UU2 P(S4)(3, 3) =P(1)(3, 3) +P(2)(3, 3) P(2)(4, 1) P(2)(4, 2) P(2)(4, 3) P(2)(4, 4) (24) где I1,K+1() = I1,K+1() - I1,K+2(), I2,K+1() + P(1)(3, 2)[P(2)(1, 3) +P(2)(1, 1)P(1)(2, 3)] = I2,K+1() - I2,K+2().

Используя системы уравнений (23), (24) с произ+ P(2)(3, 1)[P(1)(2, 3) +P(1)(2, 2)P(2)(1, 3)] /P0; (36) вольными коэффициентами, записанные для двух последовательно включенных ПАВ структур TCRF-фильтра, P(S4)(3, 4) =P(1)(3, 4) +P(2)(3, 4) нетрудно получить компоненты суммарной P-матрицы + P(1)(3, 2)[P(2)(1, 4) +P(2)(1, 1)P(1)(2, 4)] SK() RK+2() I1() + P(2)(3, 1)[P(1)(2, 4) +P(1)(2, 2)P(2)(1, 4)] /P0; (37) I2() P(S4)(4, 1) =P(1)(4, 1) +P(1)(2, 1) P(2)(4, 1) P(S4)(1, 1) P(S4)(1, 2) P(S4)(1, 3) P(S4)(1, 4) P(S4)(2, 1) P(S4)(2, 2) P(S4)(2, 3) P(S4)(2, 4) + P(2)(1, 1)P(1)(4, 2) /P0; (38) = P(S4)(3, 1) P(S4)(3, 2) P(S4)(3, 3) P(S4)(3, 4) P(S4)(4, 2) =P(2)(4, 2) +P(2)(1, 2) P(1)(4, 2) P(S4)(4, 1) P(S4)(4, 2) P(S4)(4, 3) P(S4)(4, 4) RK() + P(1)(2, 2)P(2)(4, 1) /P0; (39) SK+2(), (25) P(S4)(4, 3) =P(1)(4, 3) +P(2)(4, 3) UU+ P(1)(4, 2)[P(2)(1, 3) +P(2)(1, 1)P(1)(2, 3)] где I1() = I1,K() - I1,K+2(), I2() = I2,K() - I2,K+2(), + P(2)(4, 1)[P(1)(2, 3) +P(1)(2, 2)P(2)(1, 3)] /P0; (40) P(S4)(1, 1) =P(1)(1, 1) P(S4)(4, 4) =P(1)(4, 4) +P(2)(4, 4) + P(1)(1, 2)P(2)(1, 1)P(1)(2, 1)/P0; (26) + P(1)(4, 2)[P(2)(1, 4) +P(2)(1, 1)P(1)(2, 4)] P(S4)(1, 2) =P(1)(1, 2)P(2)(1, 2)/P0; (27) P(S4)(1, 3) =P(1)(1, 3) +P(1)(1, 2) P(2)(1, 3) + P(2)(4, 1)[P(1)(2, 4) +P(1)(2, 2)P(2)(1, 4)] /P0, (41) + P(2)(1, 1)P(1)(2, 3) /P0; (28) где P0 = 1 - P(2)(1, 1)P(1)(2, 2).

Журнал технической физики, 2003, том 73, вып. Теория фильтра на слабо связанных резонансных модах поверхностных акустических волн Верхние индексы S4, 1 и 2 относятся соответственно Акустическая связь между преобразователями IDT-к суммарной P-матрице, P-матрице ПАВ структуры, и IDT-2, а также отражающими структурами RA1-L находящейся слева, и P-матрице ПАВ структуры, нахо- и RA2-L, RA1-P и RA2-P определяется распределением дящейся справа. ПАВ структурой может быть как от- поля акустической волны в поперечном направлении структуры, и описывается выражениями (11), (12).

дельный электрод, так и группа электродов, для которой вычислена суммарная P-матрица. Приведенные соотно- Записывая уравнения, аналогичные уравнениям (22) для k-го электрода IDT-1 и IDT-2 фильтра, и приняв шения позволяют рассчитывать входную проводимость pK = dT, а затем выполняя последовательное перемноTCRF-фильтра с произвольно меняющейся полярностью жение компонент матриц согласно (25)Ц(41), получим подключения пар электродов к шинам преобразователя, компоненты матриц [P(IDT)], описывающей преобразоваизменяющимся периодом структуры, аподизацией электели TCRF-фильтра в отсутствие отражающих структур тродов как в ВШП, так и в отражающей структуре и RA1-L (RA2-L) и RA1-P (RA2-P) реальным распределением поверхностного тока (заряда) на электродах ВШП [3].

SA1() RA1() = Расчет входной проводимости I1() TCRF-фильтра I2() Расчет входной проводимости TCRF-фильтра будем P(IDT)(1, 1) P(IDT)(1, 2) P(IDT)(1, 3) P(IDT)(1, 4) проводить на основе модифицированного COM-метода.