Книги по разным темам
Pages: | 1 | 2 | Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. 7 01;10 Применение метода матрицантов для расчета аберрационных коэффициентов третьего порядка секторного магнитного поля с учетом краевых эффектов й С.Н. Мордик, А.Г. Пономарев Институт прикладной физики НАН Украины, 244030 Сумы, Украина e-mail: iapuas@gluk.apc.org.(Поступило в Редакцию 11 октября 2000 г.) Для исследования нелинейной динамики заряженных частиц в магнитных секторных анализаторах применен метод матрицантов. При расчете матрицантов (матриц переноса) учтены краевые эффекты, связанные с влиянием рассеянного поля, а также высшие гармоники секторного магнитного поля до третьего порядка включительно. В случае прямоугольного распределения компонент поля вдоль оптической оси получены аналитические выражения для всех аберрационных коэффициентов, в том числе и дисперсионных, до третьего порядка включительно. Для моделирования реальных полей с шириной рассеянного поля, отличной от нуля, применено гладкое распределение компонент, для которого вычисление аналогичных аберрационных коэффициентов выполнено численно с применением консервативного численного метода.
Из всего многообразия подходов к решению задач резкой осечкой (КПРО) [8] в прямоугольной модели нанелинейной динамики пучка особо следует отметить пряженность магнитного поля описывается ступенчатой консервативные (с обеспечением сохранения фазового функцией, первая производная от которой равна дельтаобъема пучка на каждом шаге вычислений) матричные функции. Данная модель позволяет учитывать влияние методы расчета ионно-оптических систем, к которым краевых эффектов на динамику пучка (в частности, при относится метод матрицантов [1Ц6]. Свойство консерва- применении магнитных экранов в масс-анализаторах), тивности особенно важно для исследования нелинейной а также исследовать сходимость решений для гладкой динамики фазового множества в протяженных системах, модели поля к прямоугольной в случае, когда ширина где используются несколько ионно-оптических элемен- рассеянного поля стремится к нулю. Гладкая модель поля тов. Математическая строгость формализма метода ма- вводится с целью аппроксимации распределения поля с трицантов позволяет избегать порой спорных допущений достаточной степенью точности, чтобы учесть влияние при расчетах ионно-оптических систем. К достоинствам краевых рассеянных полей на динамику пучка в ионнометода стоит также отнести простоту алгоритмизации, оптической системе. В отличие от широкоизвестных что позволяет использовать современные программные матриц переноса третьего порядка магнитных секторных средства аналитических вычислений для нахождения реанализаторов [9,10] матрицанты, полученные в данной шений. В настоящее время на основе метода матриработе, позволяют учитывать краевые эффекты как для цантов разработаны и успешно используются численные прямоугольной, так и гладкой модели поля, при этом коды для оптимизации зондоформирующих систем, поконсервативность расчетов обеспечивается на каждом зволяющие решать задачу нелинейной динамики пучков шаге вычислений.
для бездисперсионных систем с прямоугольной осью в Введем натуральную систему координат x, y, s, свядекартовой системе координат для случая верхнетрезанную с плоской кривой, однозначно определяемой угольной матрицы коэффициентов P(3) [2,3]. В данной постоянным радиусом кривизны. Данная система работе для исследования дисперсионных свойств секторкоординат полностью совпадает с системой, применяных магнитных систем вводится вектор дисперсионных емой Брауном [7]. Связь между декартовой системой фазовых моментов. Для случая реального секторного координат x,, z с началом координат в точке начала магнитного поля матрица коэффициентов P(3), полудвижения осевой частицы и выбранной системой коордичаемая при помощи метода погружения в пространнат с началом координат, размещенным в центре радиуса ство фазовых моментов, имеет верхнетреугольный вид кривизны реперной частицы, записывается в виде в общепринятой криволинейной ортогональной системе координат [7] как для фазовых моментов координат, x =(x + ) cos(s/) -, так и дисперсионных фазовых моментов. Для учета влияния краевых эффектов на динамику пучков заряжен = y, z =(x + ) sin(s/).
ных частиц рассмотрены две модели продольного распределения магнитного поля: прямоугольная и гладкая. Рассмотрим нерелятивистский случай движения чаПрямоугольная модель предполагает отсутствие области стиц в выбранной системе координат. С учетом того, рассеянного поля. В отличие от модели краевого поля с что коэффициенты Ламэ для данной системы координат Применение метода матрицантов для расчета аберрационных коэффициентов третьего порядка... h1 = 1, h2 = 1, h3 = 1 + x/, траекторные уравнения Для практических расчетов часто вместо G(s) испольможно записать в виде [11] зуют показатель спада поля JT h3 qT 1 By x + x - = (y Bs - h3By), n =.
x= m By x y=JT qT С учетом того, что скалярный магнитный потенциал y + y = (h3Bx - x Bs), m V должен удовлетворять уравнению Лапласа V = 0, d q 2x получим выражения для компонент потенциала с точJ = = (x By - y Bx) -, ds T mh3 T h3 ностью до третьего порядка разложения в ряд вблизи осевой траектории T = h2 + x 2 + y 2, (1) V03(s) =- B 0 (s) +W(s) +hG(s), штрих означает дифференцирование по s; T Ч абсолютная величина элемента длины траектории при одноV13(s) =2hB 0 (s) +h2G(s) - G (s) - O(s) - hW(s), (3) временном приращении всех трех координат;, m, q Ч постоянная скорость, масса и заряд частицы.
где h = 1/.
Учитывая условие симметрии V (x, y, s) = Выражение для индукции магнитного поля, а также = -V(x, -y, s), выражения для скалярного магнитного коэффициентов G(s), W (s) и O(s) может быть предстапотенциала V (x, y, s) и индукции магнитного поля влено в виде B(x, y, s) с точностью до третьего порядка разложения в ряд вблизи осевой траектории имеют вид B0( ) = B0( ), G( ) = ( ), W( ) = W( ), O( ) = ( ). (4) -V(x, y, s) =V01(s)y + V11(s)xy + V21(s)x2y Для прямоугольной модели поля 1 1 + V03(s)y3 + V31(s)x3y + V13(s)xy3, 6 6 6 ( ) =u+( - s0) - u+(s - ), (5) 1 где u+(t) Ч ступенчатая функция [12], удовлетворяющая Bx(s) =V11(s)y + V21(s)xy + V31(s)x2y + V13(s)y3, 2 условиям d u+(t) =+(t), By(s) =V01(s) +V11(s)x + V21(s)xdt b 1 1 t < a, t b, + V03(s)y2 + V31(s)x3 + V13(s)xy2, ()+( - t)d = 2 6 (t + 0) a t < b, a+1 1 Bs(s) = V01(s)y +V11xy + V21(s)x2y + V03(s)y3.
b h3 2 t < a, t b, (r) (2) ()+ (-t)d = (-1)r Очевидно, что коэффициенты (r)(t+0), a t < b.
a+(6) j By(s) Vj1(s) = Для гладкой модели поля xj x=y= s1 s2, Введем обозначение
x2 x=y=Для исследования дисперсионных свойств секторных 3By(s) магнитных систем введем вектор дисперсионных V31(s) = = O(s).
фазовых моментов {, }T, где =(p)/p Чразброс x3 x=y=заряженных частиц по импульсу. В связи с тем, что 7 Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. 100 С.Н. Мордик, А.Г. Пономарев в секторных магнитных анализаторах = 0, для вается следующим образом:
описания нелинейной динамики заряженных частиц в d (3) (3) секторных магнитных полях будем использовать вектор Qx,x,y,y, = P(3)Qx,x,y,y,, (8) ds (3) Qx,x,y,y, = {x, x, y, y, , x2, x x, x 2, y2, y y, y 2, x y, где x y, x y, x y, x , x , y , y , 2, x3, x2 x, P1,1 P1,2 P1, x x 2, x 3, x y2, x y y, x y 2, x y2, x y y, x y 2, P(3)(s) = 0 P2,2 P2, 0 0 P3,y3, y2 y, y y 2, y 3, y x2, y x x, y x 2, y x2, y x x, y x 2, x2 , x x , x 2 , y2 , y y , y 2 , x y , Ч матрица коэффициентов, имеющая верхнетреугольx y , x y , x y , x 2, x 2, y 2, y 2, 3}T, ную структуру.
Решение таким образом полученной линейной сиссодержащий пятьдесят пять фазовых моментов первого, темы уравнений является приближением к решению второго и третьего порядков.
исходной нелинейной системы с заданным порядком Нелинейные уравнения движения пучка заряженных аппроксимации по фазовым переменным.
частиц в секторном магнитном поле (1) посредством x,x,y,y, Для определения блочных элементов матрицы коэфпогружения в пространство фазовых моментов Q(3) фициентов P(3) применим метод погружения в пространзаменяются расширенной системой линейных дифференство фазовых моментов [1]. После преобразований циальных уравнений, которая в матричном виде записы- получим H1,1 0 H1,3 H1,4 H1,5 0 H1,7 0 H1,P1,1 = 0 H2,2 0, P1,2 = 0 0 H2,6 0 H2,8 0, 0 0 H3,3 0 0 0 0 0 H1,10 H1,11 0 H1,13 0 H1,15 H1,16 H1,17 0 H1,P1,3 = 0 0 H2,12 0 H2,14 0 0 0 H2,18 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 H4,4 0 0 H1,7 0 0 H5,5 0 0 0 0 0 H6,6 0 H6,8 P2,2 =, 0 0 0 H7,7 0 H7, 0 0 0 0 H8,8 0 0 0 0 0 H9, H4,10 H4,11 0 0 H4,14 0 0 H4,16 0 0 H5,11 0 0 0 H5,15 0 0 0 0 0 H6,12 H6,13 0 0 H6,16 0 H6,18 P1,3 =, 0 0 0 0 H7,14 H7,15 0 H7,17 0 H7, 0 0 0 0 0 0 H8,16 0 H8,18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10, H 0 0 0 H10,14 0 0 0 0 0 H11,11 0 0 0 H11,15 0 0 0 0 0 H12,12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 H13,13 0 0 H13,16 0 0 0 0 0 0 H14,14 0 0 H14,17 0 P3,3 =, 0 0 0 0 0 H15,15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 H16,16 0 H16,18 0 0 0 0 0 0 0 H17,17 0 H17, 0 0 0 0 0 0 0 0 H18,18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 H19,Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. Применение метода матрицантов для расчета аберрационных коэффициентов третьего порядка... 0 1 H1,1 = H7,7 = H17,17 =, H1,3 = H7,9 = H17,19 =, -k 0 h 00 0 00 H1,4 = H7,14 =, H1,5 = H7,15 =, 1 1 1 1 1 -h3 + 2hg - w 0 h b2 - hg + w b1 - h 2 2 2 2 2 0 0 00 0 H1,7 = H7,17 =, H1,10 =, 1 1 2h2 - g 0 h4 + h2g - hw + o 0 -2h2 + g 2 6 0 0 0 0 0 0 H1,9 = H7,19 =, H1,11 =, 1 1 3 -h - h2g - g2 + hw - o -g1 1 g 0 -g 2 2 2 2 0 0 00 0 H1,17 =, H1,14 =, H3,3 = H9,9 = H19,19 =, 1 -2h2 + g 0 h3 - 2hg + w 0 h 2 00 0 0 0 H1,15 =, H1,19 =, H2,2 = H8,8 = H18,18 =, 1 1 - b2 + hg - w b1 1 h h -g 2 2 2 0 0 0 0 0 H2,6 = H8,16 =, H2,8 = H8,18 =, -2hg 0 -b1 h g 0 0 0 0 0 0 0 0 0 H2,12 =, H2,13 =, 3 1 0 0 - g - h -h2g g1 - g 0 -2h2 + g 2 2 0 2 0 0 0 0 0 H2,16 =, H2,18 =, H4,4 = H14,14 = -k 0 1, 2hg - w 0 b1 h -g 0 -2k 00 0 0 0 0 0 1 1 1 H4,7 = H17,15 = h 0, H4,11 = b2 - hg + w b1 - h 0 0 0, 2 2 0 2h 00 0 b2 - hg + w 2b1 -h 00 0 0 00 1 H4,10 = -h3 + 2hg - w 0 h 0, H4,14 = 2h2 - g 0 0, 2 0 -2h3 + 4hg - w 0 h 0 4h2 - 2g 0 0 0 2 H4,17 = -h 0, H5,5 = H15,15 = -g 0 1, 0 -2h 0 -2g 0 0 0 0 0 0 0 H5,11 = -2hg 0 0 -b1 h 0, H5,15 = g 0 0, 0 -4hg 0 0 -2b1 2h 0 2g Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. 102 С.Н. Мордик, А.Г. Пономарев 0 1 1 0 0 0 0 0 0 -g 0 0 1 g 0 0 H6,6 = H16,16 =, H6,8 =, H6,16 =, -k 0 0 1 h 0 2h2 - g 0 0 0 -k -g 0 0 h 0 2h2 - g g 00 0 00 0 H6,12 =, 1 b2 - 1 hg + 1 wb- h 2 2 1 1 1 0 b2 - hg + w b1 - h 2 2 2 00 0 0 0 0 -2hg + w -b1 00 h 0 0 H6,13 =, H6,18 =, -h3 + 2hg - 1 w 0 1 h -h 00 2 1 0 -2hg + w -b1 -h3 + 2hg - w 0 h 0 -h 2 0 3 0 0 0 3 0 0 0 0 h 0 0 -k 0 2 0 -g 0 2 H10,10 =, H10,14 =, H12,12 =, 0 2h 0 0 -2k 0 1 0 -2g 0 0 0 -3k 0 0 0 3h 0 0 -3g 0 0 0 2 0 1 0 0 0 -g 0 1 0 1 0 0 0 -2g 0 0 0 H11,11 =, H11,15 =, -k 0 0 0 2 0 h 0 0 h 0 -k 0 -g 0 0 0 -k 0 -2g 0 0 0 h 0 0 0 0 2 0 1 0 h 0 0 -k 0 1 0 1 0 0 2h 0 -2k 0 0 0 H13,13 =, H13,16 =, (9) -g 0 0 0 2 0 0 0 0 0 h 0 0 -g 0 -k 0 1 0 0 -g 0 -2k 0 0 0 0 2h где m 1 B0 B 0(s) B 0 (s) G(s) B =, h = =, b1 =, b2 =, k = h2 - g, g = -, q B B B B G (s) W (s) O(s) g1 = -, w =, o = -.
B B B Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. Применение метода матрицантов для расчета аберрационных коэффициентов третьего порядка... Связь между коэффициентом g и показателем спада n Для однородного поля (n = 0) можно записать в виде r11 = cos h(s - s0), r12 = sin h(s - s0), g = nh2. (10) h Решение уравнения (8) записывается через матрицант r21 = -h sin h(s - s0), r22 = cos h(s - s0), в виде q11 = 1, q12 = s - s0, q21 = 0, q22 = 1, (3) (3) Qx,x,y,y, = X(P(3), s/s0)Qx0,x, (11),y0,y 0, d11 = 1 - cos h(s - s0), d21 = sin h(s - s0).
h (3) где Qx0,x Ч начальные координаты частиц;
,y0,y 0, Пусть bi j Ч элементы блочной матрицы X1,1, X(P(3), s/s0) Ч матрицант (матрица переноса) третьего i = 1,..., 5, j = 1,..., 5. Тогда аналитичеx,x,y,y, порядка по фазовым переменным Q(3).
ские решения для уравнения (15) в рамках прямоМатрицант X(P(3), s/s0) имеет такую же, как и маугольной модели поля для диагональных матричных трица коэффициентов P(3), верхнетреугольную блочную блоков Xk,k, где k = 2, 3, несложно получить при структуру помощи простых алгебраических вычислений. Напри мер, для y x x строки матричного блока X3,3 из X1,1 X1,2 X1, y xx =(b41x0+b42x 0+b43y0+b44y 0+b45)(b11x0+b12x 0+ X(P(3), s/s0) = 0 X2,2 X2,+b13y0+b14y 0+b15)(b21x0+b22x 0+b23y0+b24y 0 +b25), учитывая, что b11 = r11, b12 = r12, b21 = r21, 0 0 X3,b22 = r22, b15 = d1, b25 = d21, b43 = q21, b44 = q22, b13 = b14 = b23 = b24 = b41 = b42 = b45 = 0, получаем и удовлетворяет дифференциальному уравнению 3,3 3,X (P(3),s/s0)= P(3)X(P(3) s/s0), X(P(3) s/s0)= I, (12) X16,15 = r11r12q21, X16,16 =(r11r22 + r21r12)q21,,, где I Ч единичная матрица.
3,3 3,X16,17 = r12r22q2, X16,18 = r11r21q22, Для прямоугольной модели поля интегралы в (12) могут быть взяты в квадратурах, а следовательно, элементы 3,3 3,X16,19 =(r11r22 + r21r12)q22, X16,20 = r12r22q22, матрицанта X(P(3), s/s0) будут иметь аналитический вид.
Решения линеаризованных уравнений 3,X16,27 =(r11d21 + r21d11)q21, dX1,1(s/s0) = P1,1(s)X1,1(s/s0), X1,1(s/s0) =I 3,3 3,ds X16,28 =(r12d21+r22d11)q2, X16,29 =(r11d21+r21d11)q22, можно записать в виде 3,X16,30 =(r12d21 + r22d11)q22, r r12 0 0 d 3,3 3,r r22 0 0 d X16,33 = d11d21q2, X16,34 = d11d21q22, X1,1 = 0 0 q11 q12 0, (13) остальные матричные элементы этой строки равны нулю.
Применяя аналогичную процедуру для всех компонент 0 0 q21 q22 фазовых моментов второго и третьего порядка, получаем 0 0 0 0 аналитические выражения для всех элементов диагональных блоков X2,2 и X3,3. Для недиагональных блоков Xi,k, где k > i имеет место общая формула [1] r11 = cos k(s - s0), r12 = sin k(s - s0), s k k Xi,k(s/s0) = Xi,i(s/ )Pi, j( )Xi,k(/s0)d. (14) j=1+i r21 = - k sin k(s - s0), r22 = cos k(s - s0), s Таким образом, аберрационные коэффициенты второго q11 = cos g(s - s0), q12 = sin g(s - s0), g порядка в выбранной криволинейной системе координат мы можем определить при помощи формулы q21 = - g sin g(s - s0), q22 = cos g(s - s0), s h h d11 = 1-cos k(s-s0), d21 = sin k(s-s0).
Pages: | 1 | 2 | Книги по разным темам